(浙江工商大學(xué) 浙江 杭州 310018)

引言

準(zhǔn)備金是保險(xiǎn)公司主要的負(fù)債，未決賠款準(zhǔn)備金是指在會(huì)計(jì)年度決算以前發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)任未賠償或未給付保險(xiǎn)金，是在當(dāng)年收入的保費(fèi)中提取的資金。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者關(guān)于準(zhǔn)備金的研究大都集中以賠款額為應(yīng)變量[1-3]，忽略了索賠次數(shù)等賠付信息，只有少數(shù)學(xué)者將索賠次數(shù)與案均賠款額結(jié)合起來(lái)，但都將其置于廣義線性模型中[4-7]，未考慮不可觀測(cè)因素即模型中參數(shù)的分布。為了充分考慮索賠次數(shù)、賠款額這兩種賠付信息與不可觀測(cè)因素，本文建立了雙貝葉斯模型并從理論上給出了此模型的預(yù)測(cè)誤差，與此同時(shí)比較模型的優(yōu)劣。最后，本文進(jìn)行實(shí)證分析，結(jié)果表明建立的模型具有較高的預(yù)測(cè)精度。

一、兩階段貝葉斯模型

流量三角形是對(duì)未決賠款準(zhǔn)備金進(jìn)行估計(jì)的數(shù)據(jù)組織形式。利用流量三角形上三角的數(shù)據(jù)估計(jì)出下三角的數(shù)據(jù)是流量三角形的最終目的。本文中，假設(shè)交叉排列的矩陣為I×J型矩陣，令索賠次數(shù)流量上三角形觀測(cè)數(shù)據(jù)為A，下三角形預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)為Ac，案均賠款額流量上三角形觀測(cè)數(shù)據(jù)為U，下三角形預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)為Uc。增量賠付額流量上三角形觀測(cè)數(shù)據(jù)為B，下三角形預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)為Bc。第i個(gè)事故發(fā)生年在第j個(gè)進(jìn)展年的累計(jì)索賠次數(shù)為Ni,j(0≤i≤I,0≤j≤J)，增量索賠次數(shù)ni.j=Ni,j-Ni,j-1，ni.0=Ni,0。Yi,j表示第i個(gè)事故發(fā)生年在第j個(gè)進(jìn)展年的賠款額數(shù)據(jù)，案均賠款額為:

(一)第一階段：索賠次數(shù)的預(yù)測(cè)

1.索賠次數(shù)模型的假設(shè)

本文采用超散布泊松模型(ODP模型)?？紤]不可觀測(cè)因素即模型中參數(shù)自身的變化，根據(jù)Wüthrich(2013)中的研究，將模型中參數(shù)假設(shè)為Gamma分布。因此，采用貝葉斯ODP-Gamma模型對(duì)索賠次數(shù)進(jìn)行研究。做出以下假設(shè)：

其中，Ψ=(p0,p1,…,pI,q0,q1,…,qJ)，p=(p0,p1,…,pI)，q=(q0,q1,…,qJ)，pi：事故發(fā)生年因子；qj：事故進(jìn)展年因子；ni,j之間相互獨(dú)立。

由于pi為事故發(fā)生年因子，所以pi服從的Gamma分布中形狀參數(shù)pai與事故發(fā)生年有關(guān)，且不好估計(jì)，因此本文假設(shè)

I.pi服從無(wú)信息先驗(yàn)分布，即pai→0；II.pi服從強(qiáng)信息先驗(yàn)分布，即pai→∞。

事故進(jìn)展年因子qj的先驗(yàn)分布Gamma分布中形狀參數(shù)根據(jù)Wüthrich(2013)的研究不發(fā)生變化，所以本文嘗試通過(guò)最小二乘法擬合增量索賠次數(shù)按列求均值求得形狀參數(shù)pb。

在以上假設(shè)成立的情況下，有

E[ni,j|Ψ,A]=piqj，

(1)

var[ni,j|Ψ,A]=φpiqj，

(2)

第i事故發(fā)生年的條件最終索賠次數(shù)為

(3)

Ψ=(p0,p1,…,pI,q0,q1,…,qJ)標(biāo)準(zhǔn)化后的密度函數(shù)為

(4)

由式(4)得qj在(A,p)下的條件密度函數(shù)為

(5)

pi在(A,q)下的條件密度函數(shù)為

(6)

2.索賠次數(shù)的期望與方差

根據(jù)Wüthrich(2013)中的研究，索賠次數(shù)的期望即為索賠次數(shù)的估計(jì)值。所以，為了更好的計(jì)算索賠次數(shù)的預(yù)測(cè)值，根據(jù)式(1)(5)(6)本文有以下結(jié)論：

定理1.1：若假設(shè)1、假設(shè)2成立，且i+j>max(I,J)，則基于貝葉斯ODP-Gamma模型的索賠次數(shù)預(yù)測(cè)值為

(7)

定理1.3：若假設(shè)1、假設(shè)2成立，且i+j>max(I,J)，則基于貝葉斯ODP-Gamma模型的索賠次數(shù)的方差為

(8)

(二)第二階段：案均賠款額的預(yù)測(cè)

1.案均賠款額模型的假設(shè)

指數(shù)分布是對(duì)單位時(shí)間內(nèi)案均賠款額進(jìn)行擬合的常用分布?？紤]不可觀測(cè)因素即模型中參數(shù)自身的變化，根據(jù)Wüthrich(2013)中的研究，將模型中參數(shù)假設(shè)為Gamma分布。因此，在已知每一事故發(fā)生年總索賠次數(shù)Ni,J的條件下，根據(jù)增量賠付額數(shù)據(jù)，得出案均賠款額Ci,j，且Ci,j相互獨(dú)立，采用貝葉斯指數(shù)-Gamma模型對(duì)案均賠款額進(jìn)行研究。做出以下假設(shè)：

假設(shè)3：Ci,j服從指數(shù)分布，即Ci,j|Θexp(wivj)

其中，Θ=(w0,w1,…,wI,v0,v1,…,vJ)，w=(w0,w1,…,wI)，v=(v0,v1,…,vJ)。wi為事故發(fā)生年因子；vj為事故進(jìn)展年因子；Ci,j之間相互獨(dú)立。

由于wi為事故發(fā)生年因子，所以wi服從的Gamma分布中形狀參數(shù)αi與事故發(fā)生年有關(guān)，且不好估計(jì)，因此本文假設(shè)

I.wi服從無(wú)信息先驗(yàn)分布，即αi→0；II.wi服從強(qiáng)信息先驗(yàn)分布，即αi→∞。

根據(jù)Wüthrich(2013)中的研究，事故進(jìn)展年因子vj服從的Gamma分布中形狀參數(shù)β唯一。在以上假設(shè)成立的情況下，有

(9)

(10)

Θ=(w0,w1,…,wI,v0,v1,…,vJ)標(biāo)準(zhǔn)化后的密度函數(shù)為

(11)

v在(U,w)，w在(U,v)下的條件密度函數(shù)分別為

(12)

(13)

記si=J-i+min(max(I-J,0),i)，dj=I-j+min(max(J-I,0),j)。特別地，當(dāng)I>J時(shí)，vJ+1=vJ+2=…=vI=0。當(dāng)I

2.案均賠款額的期望與方差

根據(jù)Wüthrich(2013)中的研究，案均賠款額的期望即為案均賠款額的估計(jì)值。所以，為了更好的計(jì)算案均賠款額的預(yù)測(cè)值，根據(jù)式(9)(12)(13)本文有以下結(jié)論：

定理1.5：若假設(shè)3、假設(shè)4成立，且i+j>max(I,J)，有

(14)

其中，

(15)

(16)

由式(13)可知，當(dāng)事故發(fā)生年因子w具有強(qiáng)信息先驗(yàn)，即先驗(yàn)分布Gamma分布中形狀參數(shù)αi→∞時(shí)，對(duì)于E[Ci,j|Ni,j,U]有以下推論：

推論1.6：當(dāng)αi→∞時(shí)，有

(17)

為了更好的刻畫未決賠款準(zhǔn)備金的預(yù)測(cè)精度，因此本文給出案均賠款額方差，根據(jù)式(9)(10)(12)(13)本文有以下結(jié)論：

定理1.7若假設(shè)3、假設(shè)4成立，且αi+si>1、i+j>max(I,J)時(shí)，有

其中，

(18)

推論1.8：當(dāng)αi→∞時(shí)，有

(19)

推論1.9：當(dāng)αi→1-si時(shí)，有以下結(jié)論

若si>1，則αi∈(0，∞)；若si<1，則αi∈(1-si+0.1，∞)。當(dāng)αi→左邊界表示無(wú)信息先驗(yàn)，當(dāng)αi→∞表示強(qiáng)信息先驗(yàn)。

二、未決賠款準(zhǔn)備金預(yù)測(cè)誤差

(一)預(yù)測(cè)誤差概述

對(duì)預(yù)測(cè)值的變異性進(jìn)行估計(jì)是隨機(jī)模型的一大突出優(yōu)點(diǎn)，從而了解模型估計(jì)的準(zhǔn)確程度。MSEP是保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中度量不確定性最重要的一項(xiàng)指標(biāo)。

(20)

同理可得

(21)

(二)雙貝葉斯未決賠款準(zhǔn)備金的預(yù)測(cè)誤差

1.未決賠款準(zhǔn)備金的過(guò)程方差var[Yi,j|B]

(22)

(23)

(24)

案均賠款額的預(yù)測(cè)值為

(25)

相同事故發(fā)生年索賠總次數(shù)預(yù)測(cè)值的估計(jì)平方值為

(26)

(3)雙貝葉斯ODP-指數(shù)-Gamma模型總預(yù)測(cè)誤差

(27)

其中，

(28)

三、實(shí)證分析

數(shù)據(jù)來(lái)源：采用Mario(2003)中關(guān)于某瑞士汽車保險(xiǎn)公司案例賠付。

(一)索賠次數(shù)的預(yù)測(cè)

根據(jù)1.1中索賠次數(shù)模型，本文將第0年的事故發(fā)生年作為基礎(chǔ)年，令pm0=1，得出貝葉斯ODP-Gamma模型索賠次數(shù)預(yù)測(cè)值見表1。

表1 貝葉斯ODP-Gamma模型索賠次數(shù)預(yù)測(cè)值Ni,j

(二)案均賠款額的預(yù)測(cè)

根據(jù)1.2案均賠款額模型，增量索賠次數(shù)事故發(fā)生年因子為無(wú)信息先驗(yàn)即pαi→0時(shí)，得出αi→0，αi→∞時(shí)，案均賠款額流量下三角形預(yù)測(cè)值分別見表2、表3。

表2 pαi→0，αi→0時(shí)，案均賠款額流量下三角形預(yù)測(cè)值

表3 pai→0，αi→∞案均賠款額流量下三角形預(yù)測(cè)值

增量索賠次數(shù)事故發(fā)生年因子為強(qiáng)信息先驗(yàn)即時(shí)，得出αi→0，αi→∞時(shí)，案均賠款額流量下三角形預(yù)測(cè)值分別見表4、表5。

表4 pai→∞，時(shí)，案均賠款額流量下三角形預(yù)測(cè)值

表5 pai→∞，αi→∞時(shí)，案均賠款額流量下三角形預(yù)測(cè)值

(三)未決賠款準(zhǔn)備金的預(yù)測(cè)與預(yù)測(cè)誤差

通過(guò)以上模型得到總未決賠款準(zhǔn)備金的預(yù)測(cè)誤差，并與閆春等(2016)中的預(yù)測(cè)誤差進(jìn)行比較。

表6已有模型估計(jì)結(jié)果

表7 本文模型估計(jì)結(jié)果

四、結(jié)論

本文采用貝葉斯理論分別對(duì)索賠次數(shù)與案均賠款額進(jìn)行研究。通過(guò)全文的理論研究和實(shí)證分析，得出以下結(jié)論：

(1)在估計(jì)出進(jìn)展年因子服從的先驗(yàn)分布(Gamma分布)中的形狀參數(shù)的基礎(chǔ)上，未決賠款準(zhǔn)備金的預(yù)測(cè)值與預(yù)測(cè)誤差主要受到第二階段案均賠款額模型中事故發(fā)生年因子服從的Gamma分布中形狀參數(shù)的影響。

(2)就本文實(shí)證數(shù)據(jù)結(jié)果顯示，與閆春等(2016)中使用的兩階段GLMM、LMM模型相比，本文所建立的貝葉斯ODP-指數(shù)-Gamma模型在事故發(fā)生年因子分布中的形狀參數(shù)為零(無(wú)信息先驗(yàn))時(shí)，預(yù)測(cè)的未決賠款準(zhǔn)備金精度較低。當(dāng)事故發(fā)生年因子分布中參數(shù)為無(wú)窮大(強(qiáng)信息先驗(yàn))時(shí)，本模型的預(yù)測(cè)精度較高。

(3)若按照原有文獻(xiàn)中參數(shù)的取值方式，事故發(fā)生年因子服從的Gamma分布形狀參數(shù)為無(wú)窮大，進(jìn)展年因子服從的Gamma分布形狀參數(shù)趨近于零，得到預(yù)測(cè)精度低于估計(jì)出進(jìn)展年因子服從的Gamma分布形狀參數(shù)的預(yù)測(cè)精度。

(4)本文模型的預(yù)測(cè)精度受參數(shù)的影響較大。在實(shí)際測(cè)算中，參數(shù)的選取因根據(jù)先驗(yàn)信息確定，可提高未決賠款準(zhǔn)備金的預(yù)測(cè)精度。