【摘要】本文以人教版數(shù)學八年級上冊《三角形》一章中的一道練習題為例，結合實踐，從審題分析、解題指導、變式引申、總結反思四個方面闡述說題在初中數(shù)學教學中的應用。

【關鍵詞】初中數(shù)學 說題 《三角形》

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2019）08A-0089-03

隨著教育改革的不斷深入，傳統(tǒng)的數(shù)學教學方式已經(jīng)無法滿足學生對數(shù)學知識的學習。由于中學數(shù)學知識的邏輯性、抽象性很強，很多學生面對稍微有點難度的綜合性題目就束手無策，這就需要教師不斷地創(chuàng)新課堂教學，根據(jù)學生的實際情況進行解題教學。“說題”，能讓學生在說的過程中，在審題、思考、探究、解決問題的過程中感受數(shù)學思想方法，激發(fā)數(shù)學思維，領悟數(shù)學本質(zhì)，轉(zhuǎn)變學習方式。

一、數(shù)學“說題”概述

“說題”是深入備課的一種方式，通過說題，能促進教師深入研究數(shù)學問題及教學策略，提升例題講評的質(zhì)量與效果。數(shù)學“說題”教學，在形式上就是對題目進行審題分析，說題目的解題方法、技巧，對題目進行變式引申，反思總結出這一類題型的特點及本質(zhì)，厘清數(shù)學知識點的前后聯(lián)系，形成數(shù)學知識整體框架結構，并且體會蘊含的數(shù)學思想方法。說題教學，能夠培養(yǎng)學生對數(shù)學的鉆研精神。

二、數(shù)學“說題”的教學過程

筆者結合自身的教學經(jīng)驗，以教材中的一道習題為例，從審題分析、解題指導、變式引申、總結反思這四個方面具體論述說題步驟和方法。

（一）審題分析

在進行說題教學之前，教師必須做好充分的準備，即審題分析，包括題目背景、學情分析、題目的重難點、教學方法。

1.題目背景

本題選自新人教版教材八年級數(shù)學上冊P29習題11“拓廣探索”第11題，是學生在學習了《三角形》全章內(nèi)容的基礎上呈現(xiàn)的，其中涉及的知識點有：角平分線的定義、三角形的有關概念以及三角形的內(nèi)角和定理。

2.學情分析

本題的教學對象是八年級學生，開學以來，他們一直處在學習幾何的狀態(tài)，對圖形有一定的認識和感受，但是對所學內(nèi)容綜合運用能力還有所欠缺，推理能力和表達能力還有待加強。預設學生會出現(xiàn)的困難有：第一，對結論的直接證明學生很難下手;第二，證明過程的書寫表達比較模糊。因此，本題的教學策略為：第一，以通過已知特殊值求解作為鋪墊，降低解題難度;第二，引導學生使用劃記法對圖形進行標識整理，有效提高觀察的準確度。

3.重難點

重點：角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理的應用;

難點：尋找與證明角與角之間的數(shù)量關系。

4.教學方法

在教學過程中，筆者主要采用以學生為主體，以教師為主導，以訓練思維為主線的啟發(fā)式教學法。通過一系列的變式，總結解答此類題的一般規(guī)律，讓學生掌握解決數(shù)學題的一般思路與策略。

（二）解題指導

本題是一道證明題，學生對結論的直接證明是比較困難的，因此筆者設計了用特殊值來求解的引例。

1.引例鋪墊

筆者提問：“要想求出∠BGC的度數(shù)，可以有哪些方法呢？”要求一個角的度數(shù)有很多種方法，學生一般能想到的方法是利用三角形內(nèi)角和定理或三角形的外角求角的度數(shù)。在這里，學生更容易想到利用三角形內(nèi)角和定理求角的度數(shù)。

（2）∠BGC在哪個三角形中呢？

由三角形內(nèi)角和定理得出：∠BGC=180°-（∠2+∠4）

又∵∠2=[12]∠ABC=25°，∠4=[12]∠ACB=30°

∴∠BGC=180°-（25°+30°）

∴∠BGC=125°

2.解題分析

（3）如果∠ABC和∠ACB的度數(shù)都沒告訴我們，你能發(fā)現(xiàn)∠BGC與∠ABC、∠ACB之間的關系嗎？

此時，25°、30°顯然已經(jīng)不能用了，但是，∠2=[12]∠ABC與∠4=[12]∠ACB仍成立，通過前面的特殊值求解，學生容易發(fā)現(xiàn)并代入式子得出第一個結論，即∠BGC=180°-[12]（∠ABC+∠ACB），這里體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學思想。

證明：由三角形內(nèi)角和得出：∠BGC=180°-（∠2+∠4）

又∵∠2=[12]∠ABC，∠4=[12]∠ACB

∴∠BGC=180°-（[12]∠ABC+[12]∠ACB）

∴∠BGC=180°-[12]（∠ABC+∠ACB）

于是證明出∠BGC與∠ABC、∠ACB這兩個角的關系。

（4）那∠BGC與∠A又有怎樣的數(shù)量關系？也就是第二問要證明的結論。

由三角形的內(nèi)角和定理可以得出：∠A+∠ABC+∠ACB=180°，即∠ABC+∠ACB=180°-∠A。

將180°-∠A代入第一問的結論，就可以得出第二問的結論，體現(xiàn)了“整體代換”的數(shù)學思想。

∴∠BGC=180°-[12]（∠ABC+∠ACB）

=180°-[12]（180°-∠A）

=180°-90°+[12]∠A

=90°+[12]∠A

3.解題過程

教師通過分析引導，讓學生組織解題思路，并規(guī)范其書寫步驟。

4.其他證法

當然，也有部分學生可能有其他的證法，如利用外角的性質(zhì)，通過添加輔助線，連接AG交BC于點H.

證法2：∠BGC=∠BGH+∠CGH

=∠1+∠2+∠3+∠4

=[12]（∠ABC+∠ACB）+∠BAC

=[12]（180°-∠BAC）+∠BAC

=90°+[12]∠BAC

當然有部分學生不添加輔助線，同樣可以利用外角的性質(zhì)來證明結論。

證法3：∵∠BGC=∠1+∠BFG，∠BFG=∠3+∠A

∴∠BGC=∠1+∠3+∠A

=[12]（∠ABC+∠ACB）+∠A

=[12]（180°-∠A）+∠A

=90°+[12]∠A

5.方法總結

在探尋證明角與角之間的數(shù)量關系或求角的度數(shù)時，我們一般可以利用三角形內(nèi)角和定理或外角的性質(zhì)，通過數(shù)量關系的轉(zhuǎn)化來解決問題。在解決問題時，可以運用從特殊到一般、整體代換等數(shù)學思想。

（三）變式引申

在實際的課堂教學或考試中，筆者發(fā)現(xiàn)將題目的背景或數(shù)據(jù)稍加變換，學生就不知所措了?；诖?，教師需要創(chuàng)新引導，對題目進行變式引申，讓學生對這一類題型有深刻、整體的理解。具體來說，教師可以改變題目的已知條件形成新的題目，或是改變題目的結論。

變式一：把其中一條平分線改為一個外角的平分線，與一個內(nèi)角的平分線相交于點G。

如圖4，∠ACN是△ABC的外角，∠ABC的平分線與∠ACN的平分線交于點G，若∠A=a°，求∠G的度數(shù)。

這道題目涉及外角，因此我們可以利用外角的性質(zhì)來分析。在△ABC中，∠ACN是它的一個外角，∠ACN=∠A+∠ABC;在△GBC中，∠GCN是它的一個外角，∠GCN=∠G+∠GBC。得到這兩個關系式后，教師讓學生觀察∠ACN與∠GCN，發(fā)現(xiàn)∠GCN=[12]∠ACN，∠ABC與∠GBC也是[12]的關系，即∠GBC=[12]∠ABC，由此推出∠A與∠G也是[12]的關系，因此得到∠G=[12]∠A=[12]a°。

提升這道理的難度，對三角形進行不斷的平分，依次求出∠A1、∠A2、∠An的度數(shù)。

對于這個復雜圖形，我們可以不斷地抽取基本圖形，得到∠A1與∠A的關系、∠A2與∠A1的關系。這道題目讓學生學會對復雜圖形進行抽取基本圖形，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，便于做題。

變式二：把“兩個內(nèi)角平分線”改成“兩個外角平分線”

如圖6，∠MBC、∠NCB是△ABC的外角，∠MBC的平分線與∠NCB的平分線交于點G，若∠A=a°，求∠G的度數(shù)。

這道題目同樣可以利用三角形內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)、角關系的轉(zhuǎn)化和代換來解決。

通過幾個變式，對教材習題不斷引申、挖掘，深化題目的內(nèi)涵，讓學生看到教材習題的全貌和本質(zhì)，對提高學生解題綜合能力及培養(yǎng)他們的思維有很大的幫助。

（四）總結反思

總結反思能促使我們不斷進步，教師可以培養(yǎng)學生從不同層面進行總結反思。在題目本身的知識點上，學生靈活運用幾何中角平分線、三角形內(nèi)角和及外角和定理等知識;在做題方法的技巧上，學生明白這一類題型不管怎么變式，所運用的解題方法都是“換湯不換藥”，掌握圖形的基本模型，對于類似的題目進行基本圖形的抽取，從而有效解題;在數(shù)學思想方法上，學生深刻理解數(shù)學中從特殊到一般以及整體代換思想對解題的幫助。通過對本題的探究，學生的思維角度更多，思維的范圍更廣，真正達到增加學生思維寬度和深度的目的。

說題不只是針對一道題目進行解答，而是在說題的過程中，展示思維方法及過程，讓學生有一個循序漸進的思考過程，更好地將外在知識內(nèi)化形成自己的知識。同時，教師在課堂教學中進行說題活動不僅培養(yǎng)學生對題目的審題分析能力、觀察思考能力，幫助學生理解數(shù)學知識的本質(zhì)，而且有利于自身對教材例題、習題的研究，從而更有效地把握課堂，對明確命題的方向，提高課堂教學的質(zhì)量，更好地促進自身專業(yè)水平的提升。

【參考文獻】

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作者簡介：沈曉紅（1990— ），女，浙江長興人，中學二級教師，理學學士學位，研究方向：中學數(shù)學教學。

（責編 劉小瑗）