秦國剛

[摘 ?要] 運用文獻法、案例法、分析法等，基于核心素養(yǎng)視角，從教會學生用函數(shù)的角度看數(shù)列、教會學生用聯(lián)系的觀點看數(shù)列、教會學生用數(shù)列的眼光看世界三個方面，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析的能力.

[關鍵詞] 核心素養(yǎng);高中數(shù)學;數(shù)列

數(shù)列，作為高中數(shù)學的核心內容之一，一直是高考命題的熱點，數(shù)列高考考什么這話題已成“老生常談”. 當下，當我們排除應試教育的干擾，從數(shù)學核心素養(yǎng)角度重新審視數(shù)列教學，我們應該教會學生什么呢？我們知道，數(shù)學核心素養(yǎng)主要包含數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析等六個方面 . 那么，在數(shù)列教學中，我們該如何讓教學內容處處體現(xiàn)數(shù)學核心素養(yǎng)呢？筆者談幾點拙見，供同仁參考，并以斧正.

教會學生從函數(shù)的角度看數(shù)列

任何一個數(shù)學觀念的產生都有它的前因后果. 數(shù)列誕生于函數(shù)，又不同于普通的函數(shù). 教會學生從函數(shù)角度看數(shù)列，其中就包含了數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)據(jù)分析等能力的培養(yǎng).

例如，從普通函數(shù)圖像到數(shù)列的圖像的演變，離不開數(shù)學抽象，從數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)列的通項公式，離不開數(shù)據(jù)分析;用函數(shù)的觀點去解決數(shù)列問題，又離不開邏輯推理. 我們不僅要教會學生“知其然”，更要教會學生“知其所以然”.

數(shù)列雖然可以看作是一類特殊的函數(shù)，但它有著自身獨特的解決問題的方法，什么事情都是一分為二的，如果我們教學生一遇到數(shù)列問題，就想到函數(shù)方法，這就有失偏頗了，只抓矛盾的普遍性而忽視矛盾的特殊性，這是數(shù)列教學中極易走入的誤區(qū). 我們應該要讓學生知道，數(shù)列是函數(shù)，但不可認為數(shù)列就是函數(shù)，不可將數(shù)列與函數(shù)等同起來 .

例1：已知數(shù)列{an}.

（1）若an=n2-5n+4，則①數(shù)列中有多少項是負數(shù)？②n為何值時，an有最小值？并求出最小值.

（2）若an=n2+kn+4且對于n∈N*，都有an+1>an成立，求實數(shù)k的取值范圍.

分析：（1）本題雖然是數(shù)列問題，其實就是二次函數(shù)求最小值問題，與二次函數(shù)不同的就是，這里的自變量n是正整數(shù). （2）數(shù)列是一類特殊函數(shù)，本題的通項公式可以看作相應的解析式f（n）=n2+kn+4. f（n）在N*上單調遞增，但自變量不連續(xù).從二次函數(shù)的對稱軸研究單調性，我們也可以利用an+1>an恒成立，即轉化為不等式恒成立問題.

本題的答案：（1）n=2或n=3時，an有最小值，其最小值為a2=a3=-2;（2）k>-3.

點評：（1）當數(shù)列通項公式可以看作是一個定義在正整數(shù)集N*上的二次函數(shù)時，通常可以利用二次函數(shù)的對稱軸來研究其單調性，從而得到實數(shù)k的取值范圍，使問題圓滿解決.

（2）在運用二次函數(shù)的觀點解決數(shù)列問題時，一定要注意二次函數(shù)所對應的拋物線的對稱軸位置.

本題是個數(shù)列問題，卻用函數(shù)的思想加以解決. 同時，又體現(xiàn)了數(shù)列是一類特殊的函數(shù).

教會學生用聯(lián)系的觀點看數(shù)列

萬事萬物都存在著聯(lián)系，用聯(lián)系的觀點看問題，有助于我們更能把握數(shù)列的本質，能更好地培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng). 數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系，等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系，以及數(shù)列解題方法之間的聯(lián)系，都是數(shù)列教學的好素材.

例如，在等差數(shù)列和等比數(shù)列的教學中，可不斷滲透類比思想，將一次函數(shù)與等差數(shù)列作比較，將指數(shù)函數(shù)與等比數(shù)列作比較，將等比數(shù)列與等差數(shù)列作類比，通過比較與類比抽象出有關性質和解題方法.

用聯(lián)系的觀點分析問題與解決問題，有利于學生形成科學的世界觀，從而更能把握住數(shù)列的內涵，從而不斷地提高數(shù)學素養(yǎng).

例2：已知首項為 的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列，其前n項和為Sn（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列{an}的通項公式;

（2）設Tn=Sn- （n∈N*），求數(shù)列{Tn}的最大項的值與最小項的值.

解析：本題是等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合性問題，如何解決問題？需通過知識與方法的“雙重”聯(lián)系才能解決. 知識層面上的聯(lián)系，是本題與等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系，方法層面上的聯(lián)系，是數(shù)列{Tn}最值與數(shù)列單調性的聯(lián)系.

第（1）題先證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列，再求出其通項為an= ×- ?=（-1）n-1· .

第（2）題利用第（1）題的結論寫出Sn=1-- ?=1+ ，n為奇數(shù)，1- ，n為偶數(shù)，進而通過討論Sn的單調性，來求出數(shù)列{Tn}的最大項的值為 ，最小項的值為- . 具體過程略.

點評：解答本題，處處體現(xiàn)了聯(lián)系的觀點和數(shù)學核心素養(yǎng). 從原問題中抽象出等比數(shù)列模型，又與數(shù)列的單調性聯(lián)系，求出數(shù)列{Tn}的最大項的最大值與最小值，而對奇偶數(shù)的分析與最值得運算，體現(xiàn)了數(shù)據(jù)分析和數(shù)學運算這兩個最基本的數(shù)學素養(yǎng).

數(shù)列是什么？數(shù)列是一列按一定次序排列的數(shù)，這是數(shù)列的本質. 研究數(shù)列，其實就是揭示數(shù)列中各項之間的內在聯(lián)系和不同數(shù)列之間的內在聯(lián)系. 當我們用聯(lián)系的觀點去審視數(shù)列問題時，思維就會被打開. 不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)列求和中的錯位相減法與等比數(shù)列求和公式的推導，有著“驚人相似的一幕”，而數(shù)列求和的倒序相加法，正是啟發(fā)于等差數(shù)列求和公式的推導. 因此，教會學生用聯(lián)系的觀點看數(shù)列，切實可行，也十分有效.

教會學生用數(shù)列的眼光看世界

教會學生用數(shù)列的眼光看世界，既體現(xiàn)了數(shù)學核心素養(yǎng)中數(shù)學抽象與數(shù)學建模的要求，同時也是數(shù)列教學的落腳點，用數(shù)學知識解決實際問題，也是新課標的教學目的. 與此同時，教師也可將數(shù)列中的數(shù)學文化滲透其中，讓學生感受到數(shù)列知識的博大精深與數(shù)列歷史的源遠流長.

例如，中國古代數(shù)學名著《九章算術》中記載：“今有大夫、不更、簪裊、上造、公士，凡五人. 共獵得五鹿，欲以爵次分之，問各得幾何？ ”細讀題目，可以發(fā)現(xiàn)，這是一個等差數(shù)列問題.

又如，《算法統(tǒng)宗》書中寫到：“三百七十八里關，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔仔細算相還. ?”仔細閱讀題目，可以看出它是個等比數(shù)列問題.

與此同時，在數(shù)列教學中，我們要時刻關心身邊的客觀世界，引導學生去發(fā)現(xiàn)問題、分析問題，并用數(shù)列的觀點與方法去解決問題.

例3：濱海市2017年發(fā)放汽車牌照12萬張，其中燃油型汽車牌照10萬張，電動型汽車牌照2萬張. 為了節(jié)能減排和控制總量，從2017年開始，每年電動型汽車牌照的發(fā)放量按50%增長，而燃油型汽車牌照每一年比上一年減少0.5萬張，同時規(guī)定一旦某年發(fā)放的牌照超過15萬張，以后每一年發(fā)放的電動型汽車的牌照的數(shù)量維持在這一年的水平不變.

（1）記2017年為第一年，每年發(fā)放的燃油型汽車牌照數(shù)構成數(shù)列{an}，每年發(fā)放的電動型汽車牌照數(shù)構成數(shù)列{bn}，完成下列表格，并寫出這兩個數(shù)列的通項公式;

（2）若從2017年算起，你能算出二十年發(fā)放的汽車牌照總量嗎？

解析：（1）完成表格如下：

當1≤n≤20且n∈N*，an=10+（n-1）×（-0.5）=- + ;當n≥21且n∈N*，an=0，所以an=- + ，1≤n≤20且n∈N*，0，n≥21且n∈N*.

因為a4+b4=15.25>15，所以bn=2× ?，1≤n≤4且n∈N*，6.75，n≥5且n∈N*.

（2）a1+a2+…+a20=10×20+ ×- =105，b1+b2+b3+b4+b5+…+b20= +6.75×16=124.25.

所以從2017年算起，二十年發(fā)放的汽車牌照總量為229.25萬張.

點評：現(xiàn)實生活中數(shù)列問題的模型極為廣泛，如物群的生長和消亡，人們生活的收入與支出等.解決此類問題的途徑有兩種：一是逐項列舉前幾項，尋求規(guī)律，滿足某種數(shù)列;二是尋求任意前后兩項間的關系式，轉化為遞推式問題.這些都是數(shù)列教學的好素材.

用數(shù)列的眼光看世界，也是學生研究性學習的好素材，是數(shù)列教學中值得做大做強的一篇好文章.

新的時代呼喚新的教育，新的教育呼喚核心素養(yǎng). 教師應解放思想，擺脫應試教育的束縛，讓核心素養(yǎng)觀滲透到每一堂數(shù)學課中去. 或許我們會少做幾個難題，或許階段性測試會暫時落后，“十年樹木百年樹人”，但我們收獲的是學生思維的可持續(xù)發(fā)展.