徐文軒 劉焱

摘?要：“同心協(xié)力”是一項(xiàng)團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力拓展項(xiàng)目。該項(xiàng)目以團(tuán)隊(duì)各人員用繩牽拉同心鼓顛球，通過合格的顛球數(shù)量比拼。本文綜合數(shù)學(xué)與物理學(xué)知識(shí)建立了二階微分方程組的數(shù)學(xué)模型，來分析如何更多的顛球和即時(shí)調(diào)整，最終對(duì)模型的結(jié)果做出了誤差分析

關(guān)鍵詞：牛頓第二定律;二階微分方程組;剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律;控制變量法

一、前言

“同心協(xié)力”活動(dòng)是以團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力為核心的拓展活動(dòng)，該活動(dòng)是以團(tuán)隊(duì)各人員用繩牽拉同心鼓顛球的過程，同心鼓的轉(zhuǎn)動(dòng)可以等效為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)，則可計(jì)算鼓的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，然后給八人均分站位，根據(jù)其給出的數(shù)據(jù)計(jì)算出傾角大小。再以球與鼓的接觸點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以球、鼓為研究對(duì)象求出若干分鐘后穩(wěn)定狀態(tài)下球下落（鼓上升）的時(shí)間、人拉繩所產(chǎn)生的合外力和最佳顛球高度。因此對(duì)鼓上力的大小，發(fā)力時(shí)機(jī)，顛球高度和所用的時(shí)間的細(xì)化計(jì)算尤為重要。

二、顛球高度、時(shí)間和鼓轉(zhuǎn)動(dòng)傾角的理論分析

2.1模型假設(shè)

①假設(shè)球與鼓接觸時(shí)恰巧繩拉直②忽略自然風(fēng)產(chǎn)生的外力和球與鼓接觸時(shí)產(chǎn)生的摩擦力③球與鼓接觸時(shí)發(fā)生彈性形變所產(chǎn)生間隔和時(shí)間忽略不計(jì)④不考慮能量損耗 ⑤若干分鐘后球（>=40cm）保持平穩(wěn)狀態(tài)。

2.2問題一模型建立

利用牛頓第二定律建立一階非線性微分方程模型，分別以球、鼓為研究對(duì)象求出若干分鐘后穩(wěn)定狀態(tài)的球下落（鼓上升）的時(shí)間、人拉繩所產(chǎn)生的合外力和最佳顛球高度。

本文以豎直向下為正方向，建直角坐標(biāo)系，已知球下落的時(shí)間與鼓上升的時(shí)間相同。以“球在空氣中運(yùn)動(dòng)”的狀態(tài)將常數(shù)取值，則取空氣密度（20℃時(shí)）。垂直下落的球受到重力G、空氣浮力和空氣黏滯阻力三個(gè)力的作用，其中m M分別為球和鼓的質(zhì)量，V為球的體積，為空氣阻力系數(shù)，分別為球和鼓的最大橫截面積，分別為球和鼓相對(duì)于空氣的速度。但是在計(jì)算過程中，我們求得空氣浮力約為N可忽略不計(jì)。

2.3 問題一模型計(jì)算

我們根據(jù)牛頓第二定律分別列出排球和鼓的微分方程：

根據(jù)題 “可以精確控制用力方向、時(shí)機(jī)和力度”的要求，對(duì)鼓的合外力設(shè)為45N，求得鼓位移函數(shù)為：S1與S2。利用MATLAB畫出圖1

如圖當(dāng)s時(shí)符合“顛球高度0.4m以上”的要求。且“顛球次數(shù)盡可能多”則需要顛球一次所用時(shí)間越短，在相同時(shí)間內(nèi)累計(jì)顛球次數(shù)就越多，所以取0.34s為一次顛球所用時(shí)間，則此時(shí)高度m。

2.4問題二模型建立

同心鼓為一剛體，不同位置的人向上拉時(shí)，鼓做剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，因?yàn)楣臑榭招目杉俣ㄆ錇橐粓A盤，解得同心鼓的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=0.216kg.m2由剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律列出二階微分方程組：（i=1，2，3，4，5，6，7，8）?（3）

該方程組用于研究隊(duì)員發(fā)力時(shí)機(jī)、力度和某一特定時(shí)刻的鼓面傾斜角度的關(guān)系，其中變化很小，近似當(dāng)做恒定值。

根據(jù)上式求得九組鼓面傾角分別為：0.6939、0.484959、1.08711、0.86352、1.14108、0.937536、0.925118、1.013865、0.461058。

在計(jì)算過程中，我們求得空氣浮力對(duì)模型影響很小，故該因素忽略不計(jì)

三、模型檢驗(yàn)

以排球?yàn)檠芯繉?duì)象，在理想狀態(tài)下忽略空氣阻力，排球做自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí)所用時(shí)間為s，所以與實(shí)際相符。

本文給合外力賦值，利用MATLAB畫出與的變化關(guān)系如下圖2，由圖知F=45N時(shí) 0.3378≈0.343s。因此本文根據(jù)一階非線性方程模型求得的t=0.34s是合理的。

四、總結(jié)

承接以上問題，拋去所需的理想狀態(tài)，在現(xiàn)實(shí)情形中計(jì)算顛球時(shí)間和高度策略不再合適，因此根據(jù)人的發(fā)力時(shí)機(jī)、發(fā)力大小對(duì)模型的影響建立新的策略模型，使之更符合現(xiàn)實(shí)情形。而對(duì)于這方面的深入研究還需要進(jìn)一步完善。

參考文獻(xiàn)：

[1]?司守奎，孫兆亮，數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用，北京：國防工業(yè)出版社，2018.9。

[2]?鞠衍清，垂直下落球體運(yùn)動(dòng)的數(shù)值分析，大學(xué)物理，第27卷第11期。

作者簡介：徐文軒，男，漢族，新疆省塔城市，1999，3，大學(xué)本科，機(jī)械設(shè)計(jì)制造及自動(dòng)化專業(yè);

劉焱，女，漢族，研究生，講師，研究方向：數(shù)學(xué)建模。

（作者單位：山東協(xié)和學(xué)院）