廣東省華南師范大學附屬中學(510631) 林 琪

廣東省惠州市教育科學研究院(516001) 廖偉君

1.試題呈現(xiàn)

題目(2019年高考全國I卷文理第23題)已知a,b,c 為正數(shù)，且滿足abc=1.證明：

本題主要考查利用二元基本不等式、三元基本不等式證明不等式，也可以運用柯西不等式、排序不等式等知識解題，解答涉及根式與冪的運算，同時體現(xiàn)了轉化與化歸的思想方法.

2.解法研究

2.1.主要解法及點評

2.1.1.第一問主要解法

解法1因為a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac，又abc=1，故有a2+b2+c2≥ab+bc+ca=所以≤a2+b2+c2(當且僅當a=b=c=1 時等號成立).

解法2因為a,b,c 為正數(shù)且abc=1，故有

所以

解法3(柯西不等式)因為a,b,c 為正數(shù)且abc = 1，故有

因為a,b,c 為正數(shù)且abc=1 及柯西不等式，故有

所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac，所以a2+b2+c2≥所以≤a2+b2+c2(當且僅當a=b=c=1 時等號成立).

解法4(排序不等式)因為a,b,c 為正數(shù)且abc = 1，故有

對于兩組數(shù)a,b,c 和a,b,c，不妨設a ≥b ≥c ＞0，則a2+b2+c2為其順序和，bc+ca+ab 為其亂序和，所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca，所以≤a2+b2+c2(當且僅當a=b=c=1 時等號成立).

點評這4 種解法的關鍵在于證明不等式a2+b2+c2≥ab+bc+ca，證明過程中涉及二元基本不等式、柯西不等式、排序不等式、完全平方的非負性等相關知識.

2.1.2.第二問主要解法

解法1因為a,b,c 為正數(shù)且abc=1，故有

所以(a + b)3+ (b + c)3+ (c + a)3≥ 24 (當且僅當a=b=c=1 時等號成立).

解法2因為a,b,c 為正數(shù)且abc=1，故有

所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24(當且僅當a=b=c=1時等號成立).

解法3因為a,b,c 為正數(shù)且abc=1，故有

所以(a + b)3+ (b + c)3+ (c + a)3≥ 24 (當且僅當a=b=c=1 時等號成立).

解法4因為a,b,c 為正數(shù)且abc=1，故有

所以(a + b)3+ (b + c)3+ (c + a)3≥ 24 (當且僅當a=b=c=1 時等號成立).

解法5因為a,b,c 為正數(shù)且abc=1，故有

所以(a+b)3+(b+c)3+(a+c)3+8×6 ≥24(a+b+c)≥所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24(當且僅當a=b=c=1 時等號成立).

解法6因為a,b,c 為正數(shù)且abc = 1 及冪平均不等式，故有

所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3×23= 24，所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24(當且僅當a=b=c=1時等號成立).

解法7因為a,b,c 為正數(shù)且abc=1 及赫爾德(H?lder)不等式，故有

所以(a + b)3+ (b + c)3+ (c + a)3≥ 24 (當且僅當a=b=c=1 時等號成立).

點評本題廣東文科考生的解法相對比較單一，大多是直接先利用二元基本不等式，再用三元基本不等式處理；而理科考生的思路較為開闊，解法相對更多樣化，除了利用基本不等式，還有利用冪平均不等式，但較多的學生選擇將原不等式的(a+b)3+(b+c)3+(a+c)3展開，利用不同的組合方式使用基本不等式從而得證.

2.2.典型錯誤及分析

2.2.1.運算出錯

第一問通分整理，出現(xiàn)

等錯誤.在利用分析法或作差法證明不等式時移項出錯，如：

要證2bc+2ac+2ab ≤2a2+2b2+2c2，

即證(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2≥0.

2.2.2.二元或三元或n 元基本不等式出錯

本題最為關鍵的是利用基本不等式證明，部分考生對基本不等式的結構及其成立的條件掌握不到位，導致證明難以進行下去或出現(xiàn)錯誤.

使用二元基本不等式出現(xiàn)缺少系數(shù)或根號等錯 誤，如ab ≤ a2+ b2，ab ≤ab + bc + ac ≤等.使用三元或n 元基本不等式時，出現(xiàn)了與二元基本不等式的形式混淆，缺少或寫錯指數(shù)、根指數(shù)、系數(shù)等，如

等.

在使用基本不等式時，考生對“一正二定三相等”不是特別理解，出現(xiàn)了如下的錯誤：

當且僅當a = b = c = 1 取等號，所以a2b + ab2+b2c + bc2+ c2a + a2c = 6.在這里，“當且僅當a =b = c = 1 取等號”指的是不等式 ①中的等號成立，即而不是說a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+a2c=6.

在多元的基本不等式，也存在類似這樣的問題，比如有考生將原不等式的左邊展開并利用基本不等式：

2(a3+b3+c3)+3(a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2)≥

在這里，學生并沒有真正計算根式的值，而且該等號不成立.

2.2.3.運用柯西不等式或赫爾德(H?lder)不等式出錯

定理設aij(i = 1,2,···n,j = 1,2,···m)是正實數(shù)，αj(j = 1,2,··· ,m)是正實數(shù)，且α1+α2+···+αm= 1，則

推論(赫爾德(H?lder)不等式)：設xi＞0，yi＞0，zi＞0(i=1,2,3)，則有

當m = 2 時，不等式便是著名的柯西不等式，這說明赫爾德不等式本質上是柯西不等式的一種推廣.

柯西不等式在選修4-5《不等式選講》中出現(xiàn)，部分考生對其形式不太理解，出現(xiàn)了

等錯誤形式.也有考生寫出

從這個式子來看，考生大致有兩種可能的錯誤原因，一是誤以為是可直接利用柯西不等式，二是將赫爾德不等式的形式記錯成如上的形式，少了一個因式13+13+13.

2.2.4.錯誤的推理導致出錯

個別考生對多變量的問題較陌生，不能很好理解abc = 1 這個條件，甚至推導得出a = b = c = 1，或者a ＜1,b ＜1,c ＜1 等錯誤結論.有些考生證明中發(fā)現(xiàn)可由基本不等式得到如下兩個不等式并錯誤地使用不等式的傳遞性得出

2.2.5.用特例驗證不等式的等號或不等號成立

部分考生因對不等式證明不知如何處理或知識本身的不足，在處理本題時，運用了特例驗證不等式的等號或不等號成立.如當a=b=c=1 時，如當時，

3.備考建議

3.1.考法研究

下表是近四年全國課標卷“不等式選講”的考點分布表：

年份全國I卷全國II卷全國III卷_____________2016分段函數(shù)的圖象的畫法，絕對值不等式的解法絕對值不等式的解法，不等式的證明絕對值不等式的解法，由不等式求參數(shù)的取值范圍__________________2017絕對值不等式的解法，由不等式求參數(shù)的取值________范圍.柯西不等式、基本不等式的應用絕對值不等式的解法，由不等式求參數(shù)的取值范圍._________________2018絕對值不等式的解法，由不等式求參數(shù)的取值_______________________________________范圍.絕對值不等式的解法，由不等式求參數(shù)的取值范圍.___________________分段函數(shù)圖像的畫法，由不等式求參數(shù)的取值范圍.__________________2019運用二元、三元基本不等式證明不等式，根式____________________________________及冪的運算.絕對值不等式的解法，由不等式求參數(shù)的取值范圍.___________________構造基本不等式證明不等式求最值，由不等式證明參數(shù)的取值范圍.____

從上表中可以看出，近四年“不等式選講”在全國卷中的考法在內(nèi)容上是穩(wěn)中有變.大部分以考查絕對值不等式為主，也穿插考查基本不等式或柯西不等式的運用.

3.2.教學建議

3.2.1.立足基礎，關注公式教學，注重知識生成

2019年全國I卷23題不等式的考查方式與前幾年有一些變化，從考查絕對值不等式的解法及不等式恒成立問題求參數(shù)范圍，轉變?yōu)樽C明不等式.這一風格的轉變讓許多考生不大適應，由于在復習和備考過程中，他們以絕對值函數(shù)或絕對值不等式為主要復習訓練內(nèi)容，忽視對基本不等式、柯西不等式等內(nèi)容的復習和訓練，因此造成本題廣東考生得分較低.

從評卷的情況可以發(fā)現(xiàn)，考生們在解答過程中出現(xiàn)頻數(shù)較多的公式錯誤，同時他們對二元基本不等式掌握得更為熟練，而對三元基本不等式卻未能識別其結構.部分考生在面對(a + b)3+ (b + c)3+ (a + c)3時，并未能將(a+b)3,(b+c)3,(a+c)3看成整體，利用三元基本不等式求解，導致后續(xù)解答更復雜.

因此，教師在初授公式課時，盡量避免呈現(xiàn)式的教學方式，應更關注公式的生成，更多地采取生成式、探究式的教學方式，關注類似公式之間的區(qū)別與聯(lián)系，并可以讓學生發(fā)揮自己的創(chuàng)造力，從有限的式子拓展一些變形，促進學生對新知的認識.這樣的教學方式看似占用了更多的教學時間，但能從多維度提升學生對公式的理解，加強新舊知識的關聯(lián)，形成螺旋式的結構.當面對陌生的問題時，學生的思維能擁有更多的發(fā)散性和創(chuàng)造性.

2019年全國I卷23題的第(1)問的關鍵步驟“a2+b2+c2≥ab+bc+ca”與教材選修4-5 第10 頁習題1-1 第7題“求證a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da”如出一轍，教材第11題“已知a,b,c ∈R+，a+b+c=1，求證也與本題類似.

無獨有偶，2013年高考全國II卷理科第24題與本題類似，只是條件從abc=1 變成a+b+c=1：

題目(2013年高考全國II卷理科第24題)設a,b,c 均為正數(shù)，且a+b+c=1，證明：

我們高三的復習工作要緊扣教材、變式教學、抓綱務本，由重結論轉化為重過程以及重能力培養(yǎng)等要落實在教學活動中.高考題源自于課本，而高于課本，在平常利用教材教學時，需要我們教師更多地挖掘教材，多角度多維度地思考課本素材的應用.

3.2.2.思考關聯(lián)，關注長遠發(fā)展，注重能力提升

從近幾年的全國卷可以發(fā)現(xiàn)，試題突出學科素養(yǎng)導向，重點考查基礎知識的運用和思維方法的掌握，增強綜合性和應用性，突出對創(chuàng)新應用能力的考查.尤其今年高考數(shù)學全國卷設置的情境真實、貼近生活，體現(xiàn)數(shù)學知識和方法在解決問題中的價值和作用，同時對主觀題考查內(nèi)容的位置安排進行了調整，難度也有相應變化.這種設計有助于學生全面學習掌握重點知識和重點內(nèi)容，同時有助于破解僵化的應試教育.從長遠來看，我們要培養(yǎng)的是更多具有創(chuàng)新性的人才，而非只會簡單地套用知識的學生.

結合這樣的變化，作為教師的我們應思考中學教學的導向應是指向哪里?

首先，我們應該做到不隨意刪減教學內(nèi)容.廣東省2019年只有11.37% 的考生選擇做23題，2018年則是12.50%，2017年更是低至9.00%.這與考生對不等式證明這部分的內(nèi)容不夠重視有關，考生本身對不等式證明的接受能力較弱，平?？荚囍贿x做22題，極少做23題，而且只保留解絕對值不等式的經(jīng)驗，面對基本不等式等問題則基本束手無策.部分學校甚至沒有開設《不等式選講》這門課程，短期來看刪減了部分學習內(nèi)容，提高了學生的精力付出，節(jié)省了教學及復習時間.但從長遠來看，這門課程中涉及的知識對于提升學生的思維層次有很大幫助，能促使他們更靈活更全面地思考問題.另外不等式的相關問題與大學數(shù)學數(shù)學分析的知識聯(lián)系緊密.缺少這部分知識，對于學生長期發(fā)展來說是相當不利的.

其次，多挖掘一些創(chuàng)新性情景，為學生創(chuàng)造解決真實問題的機會.《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》突出函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、建模與探究四條主線，體現(xiàn)了社會發(fā)展的時代性.在教學的過程中，我們更應突出主線的教學，加強重要模型的構建，探索建模與探究的實踐.數(shù)學模型搭建了數(shù)學與外部世界聯(lián)系的橋梁，是數(shù)學應用的重要形式.數(shù)學建模是應用數(shù)學解決實際問題的基本手段，也是推動數(shù)學發(fā)展的動力.

最后，雖然當前的選考題型將在2020年最后一次出現(xiàn)在高考數(shù)學中，但作為教師必須積極負責地站好最后一班崗，畢竟絕大多數(shù)學生的高考只有一次.教學必須以學生為主體，嚴格按照課程標準和考試大綱的要求，把選擇的權利還給學生.學生在面對多種選擇能自主做出正確的判斷，這需要學生有獨立思考和風險決策能力，這正是學生核心素養(yǎng)中自主發(fā)展的一種體現(xiàn).尊重學生認知發(fā)展規(guī)律，引導學生面對挑戰(zhàn)獨立決策，這正是教學過程中立德樹人的一種體現(xiàn).