廣東省廣州大學(xué)附屬中學(xué)(510000) 韓智明

廣東省華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 劉 巖

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要知識模塊之一，是歷年高考必考內(nèi)容，也是廣大考生“搶分爭分”之地.在高考試卷有關(guān)數(shù)列的試題通常題量是一大一小，它們也經(jīng)常作為壓軸題出現(xiàn)，大題則穩(wěn)在17題，與三角考查交替進行，分值約占15 分左右.數(shù)列題是考查學(xué)生綜合素養(yǎng)的重要載體，其蘊含了構(gòu)造、轉(zhuǎn)化和化歸、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、幾何直觀等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).數(shù)列備考問題存在題量大、所包含知識面廣、題型復(fù)雜、難易大小程度區(qū)分大且文理不同科考查要求不易把握等情形；近幾年的高考都是把數(shù)列作為核心內(nèi)容來考查，從總體上來看，難度雖然有所降低，但是創(chuàng)意不斷，而且是?？汲Ｐ?本文通過對高考全國I卷數(shù)列題的分析，從文理科數(shù)列考題在知識要求、思想方法、能力及核心素養(yǎng)考查等角度進行探討，旨在為2020 屆高三數(shù)學(xué)數(shù)列復(fù)習(xí)備考提供一個參考，也期望對高三文理科教師進行復(fù)習(xí)備考時起到一個較為明晰的教學(xué)引領(lǐng)和導(dǎo)向作用.

1.試題分析

1.1 試題呈現(xiàn)

題目1(2019年高考全國I卷文科第14題)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n 項和.若則S4=____.

題目2(2019年高考全國I卷理科第9題)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n 項和.已知S4=0，a5=5，則( )

A.an=2n-5 B.an=3n-10

C.Sn=2n2-8n D.

題目3(2019年高考全國I卷理科第14題)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n 項和.若則S5=____.

題目4(2019年高考全國I卷文科第18題)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n 項和，已知S9=-a5.

(1)若a3=4，求{an}的通項公式；

(2)若a1＞0，求使得Sn≥an的n 的取值范圍.

題目5(2019年高考全國I卷理科第21題)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗.試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗.當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4 只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1 分，乙藥得-1 分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1 分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0 分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α 和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X.

(1)求X 的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4 分，pi(i =0,1,··· ,8)表示“甲藥的累計得分為i 時，最終認為甲藥 比 乙 藥 更 有 效”的 概 率，則p0= 0，p8= 1，pi=api?1+bpi+cpi+1(i = 1,2,··· ,7)，其中a = P(X = -1)，b=P(X =0)，c=P(X =1).假設(shè)α=0.5，β =0.8.

(i)證明：{pi+1-pi}(i=0,1,2,··· ,7)為等比數(shù)列；

(ii)求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性.

1.2 試題解析

題目1 解析設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由已知S3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2=即q2+q+=0，解得q =所以

另解：本題在求得數(shù)列的公比后，可利用已知計算S4=S3+a4=S3+a1q3=避免繁分式計算.

題目2 解析題目2 解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意可知解得所以an=2n-5，故選A.

另解：本題還可用排除法：由于a5= 5，若B 正確，則有矛盾，故B 不成立； 若C 正確，則S4= 0，a5= S5-S4= 2×52-8×5-05，矛盾，故C 不成立； 若D 正確，則S4= 0，a5= S5-S4=矛盾，故D 不成立.

題目3 解析設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由已知a24= a6，所以又所以q = 3，故

以上三個題目都是考查數(shù)列的定義概念、性質(zhì)，題目的難度不大，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查.主要考查等差(等比)數(shù)列通項公式與前n 項和公式，滲透方程思想與數(shù)學(xué)計算等學(xué)科素養(yǎng).利用等差(等比)數(shù)列通項公式與前n項公式即可列出關(guān)于首項與公差(公比)的方程，解出首項與公差，再適當計算即可.

題目4 解法一(1)設(shè)等差數(shù)列{an} 的公差為d.由S9= -a5得a1+4d = 0，由a3= 4 得a1+2d = 4，解得a1=8，d=-2，故數(shù)列的通項公式為an=10-2n.

(2)由(1)得a1= -4d，故an= (n - 5)d，Sn=由a1＞ 0 得d ＜ 0.故Sn≥ an等價于n2- 11n +10 ≤0，解得1 ≤n ≤10.所以n 的取值范圍是{n|1 ≤n ≤10,n ∈N}.

題目4 解法二(1)設(shè)等差數(shù)列{an} 的公差為d.S9= 9a5，由S9= -a5得a5= 0，由a3= 4 得d = -2，由于an=a5+(n-5)d，故數(shù)列的通項公式為an=10-2n.

(2)由(1)得a1= -4d，故由a1＞0，故Sn≥an等價于n2-11n+10 ≤0，解得1 ≤n ≤10.所以n 的取值范圍是{n|1 ≤n ≤10,n ∈N}.

題目4 解法三(1)同解法一或二；

(2)由(1)得a1=-4d，

①當n = 1，S1= a1成立，由Sn≥an得na1+整理得(n-1)d；

由 ① ②可知1 ≤n ≤10.

題目4 解法四(1)同解法一或二；(2)由(1)得a1=-4d.

①當n=1，S1=a1成立；

②當n ≥ 2 時，由an= Sn- Sn?1代入Sn≥an得Sn≥ Sn- Sn?1，即Sn?1≥ 0，即(n - 1)a1+同除n-1 得即即n ≤10.

由 ① ②可知1 ≤n ≤10.

題目4 解法五(1)同解法一或二；

(2)S9= 9a5或a5= a1+4d = 0，由S9= -a5得由a1＞0 得d ＜0，則由a1＞0 得，d ＜0，則an＜0(n ≥6)，當1 ≤n ≤5 時，Sn= a1+···+an≥an，當n ≥6 時，{Sn}是遞減數(shù)列，由Sn≥an得Sn?1≥0=S9，則n-1 ≤9，所以1 ≤n ≤10.

題目5 解法參見參考文獻[2]，不再贅述.

1.3 試題評析

1.3.1 文理科數(shù)列知識考綱考查要求如下表

考查要求知識點及能力要求內(nèi)容____________________________________了解1.數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖像、通項公式)、數(shù)列的函數(shù)本質(zhì)；________________________________________理解2.等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念；______________________________掌握3.等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式和前n 項和公式；___________應(yīng)用4.能在具體的問題情景中識別數(shù)列的等差(等比)關(guān)系，并能用相關(guān)知識解決相應(yīng)的問題._________________________________

1.3.2 文理科數(shù)列能力考綱考查要求

考綱中明確規(guī)定高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要培養(yǎng)的數(shù)學(xué)能力是指：空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.數(shù)列知識模塊涉及到的數(shù)學(xué)能力主要有：①推理論證能力，②運算求解能力，③應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.

1.3.3 文理科數(shù)列數(shù)學(xué)思想、方法考綱考查要求

考綱中提出高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要具備的七大基本數(shù)學(xué)思想方法是指：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、化歸和轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想、有限與無限的思想、或然與必然的思想.數(shù)列知識模塊涉及到的數(shù)學(xué)思想方法主要有：①函數(shù)與方程思想，②分類與整合思想，③化歸和轉(zhuǎn)化思想，④特殊與一般思想，⑤數(shù)形結(jié)合思想.

1.3.4 考題考查到的知識、能力、思想方法、核心素養(yǎng)如下表

題目知識要求能力要求思想方法要求核心素養(yǎng)要求__1等比數(shù)列公式運算求解能力方程思想數(shù)學(xué)運算______2等差數(shù)列公式運算求解能力方程思想數(shù)學(xué)運算______3等比數(shù)列公式運算求解能力方程思想數(shù)學(xué)運算______4(1)等差數(shù)列公式運算求解能力方程思想數(shù)學(xué)運算______(2)等差數(shù)列公式運算求解能力方程、分類討論思想數(shù)學(xué)運算______(2)(i)等比數(shù)列概念推理論證能力化歸和轉(zhuǎn)化能力邏輯推理_____5(2)(ii)等比數(shù)列公式運算求解能力方程思想數(shù)學(xué)運算_____

1.3.5 試題綜述

今年文理科試卷在數(shù)列知識模塊的考查中做到了統(tǒng)籌兼顧，展現(xiàn)了穩(wěn)中有變，變中有新，新中有活的出題特點，堅持以能力立意，以知識為載體，落實核心素養(yǎng)，體現(xiàn)了選拔功能和區(qū)分度，對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)科學(xué)導(dǎo)向，從各個角度全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

文理科都以小題的形式考查了等差數(shù)列的定義、通項公式、前n 項和公式與性質(zhì)，滲透方程思想、化歸和轉(zhuǎn)化思想，突顯運算能力和推理論證能力，尤其集中對數(shù)列必備重點基礎(chǔ)知識的考查.

今年較以往有所不同，理科在大題中雖然沒有和文科一樣專門把數(shù)列作為一個大題出現(xiàn)，出乎大家意料地是在壓軸概率統(tǒng)計大題中巧妙地植入數(shù)列知識，單獨成問，重點對遞推數(shù)列中的等比數(shù)列證明和求和進行考查，在概率大題中與數(shù)列知識聯(lián)系緊密，做到了三角和數(shù)列在大題中考查的兼顧；文科在大題中對知識層面的考查也一改以往數(shù)列求和的套路，通過對二元方程組的求解及簡單不等式的化簡和求解，考查了學(xué)生對基礎(chǔ)知識的簡單掌握及應(yīng)用能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運算能力，試題滲透了轉(zhuǎn)化化歸、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等思想方法，試題設(shè)計新穎、把數(shù)列知識和方程、不等式巧妙結(jié)合，對考生的綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)進行了較為全面的考查.

2.考生答題情況分析

2.1 典型錯誤詳情參見參考文獻[3]，不再贅述.

2.2 考生答題情況錯因分析

2.2.1 知識性錯誤不熟悉等差數(shù)列的公式，張冠李戴，亂用公式或自己造公式，不知道數(shù)列通項公式的表示方法出現(xiàn)“{an}=10-2n”的常識性錯誤；對等差數(shù)列的概念模糊，利用特殊有限幾項通過不完全歸納法得到一般性結(jié)論，缺乏嚴格的推理論證；對題設(shè)條件不清楚，大量考生出現(xiàn)依賴第一問結(jié)論來解第二問的錯誤；對不等式的性質(zhì)不熟，解不等式變形時不考慮字母符號出現(xiàn)不等號不變號的錯誤n.

2.2.2 方法性錯誤本題對數(shù)列知識模塊的考查一改以往特別專注數(shù)列求和的特點，在注重數(shù)列基礎(chǔ)知識的前提下，滲透融合數(shù)列和方程、不等式相關(guān)知識，特別是設(shè)置當考生錯誤利用第一問結(jié)論解決第二問時，同樣可以出現(xiàn)相同的答案，對考生的知識辨析能力要求較高；解法四中對不等式中“n-1”的處理沒有考慮n 的取值范圍直接消掉；解法五中沒有說清楚當n ≥6 時，{Sn}是遞減數(shù)列，由Sn≥an得Sn?1≥0 = S9，則n-1 ≤9，而是直接得到結(jié)論，對等差數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)理解不到位；數(shù)列試題應(yīng)該成為廣大考生得分的重要陣地，結(jié)果4.5 分左右的平均分，未免讓人感慨萬分.

2.2.3 能力性錯誤高考命題不光是凸顯知識立意、能力立意，而且已經(jīng)走向素養(yǎng)立意了，在試題中體現(xiàn)學(xué)科核心素養(yǎng)也是體現(xiàn)一道試題價值的核心指標，文科考生發(fā)散思維較強，理性思維普遍偏弱，在平時的學(xué)習(xí)中多偏好按套路解題，不理解數(shù)學(xué)公式的來龍去脈和本質(zhì)含義，在第一問中甚至出現(xiàn)一元一次方程組不會解得情況； 試題包含數(shù)學(xué)知識面廣，通過數(shù)列問題列出方程組和不等式，出現(xiàn)幾次數(shù)學(xué)思維的轉(zhuǎn)換，考生在哪一方面不熟就會出現(xiàn)錯誤；試題蘊含數(shù)學(xué)思想方法較多，在解題過程中函數(shù)方程、化歸和轉(zhuǎn)化、分類討論甚至是數(shù)形結(jié)合思想都有所體現(xiàn)，足以綜合考查考生的綜合能力；試題考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也較為豐富，要求考生必須有較強邏輯推理和數(shù)學(xué)運算方面的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3.備考復(fù)習(xí)建議

3.1 研究高考考綱，把握高考命題方向立足高考考綱，把脈高考命題方向是每位教師在進行備考前的一項重要工作，從近幾年的文理高考數(shù)列考查內(nèi)容和方向來分析，變化不大，保持了較高的穩(wěn)定性，注重考查數(shù)列的基本定義和概念，滲透數(shù)學(xué)思想方法，體現(xiàn)數(shù)學(xué)能力，考核學(xué)科素養(yǎng)，前幾年的考查都是從數(shù)列的基本通項和求和公式方面重點考查學(xué)生的運算能力居多，從2019年的文科數(shù)列大題來看，一改畫風(fēng)，把數(shù)列知識和方程、不等式等知識結(jié)合，具有一定的綜合性，對學(xué)生的能力要求更高，從整道試題的均分4.5 的得分就可以知道.理科數(shù)列試題在大家千呼萬喚中今年作為大題中出現(xiàn)(前幾年理科大題一直考查三角)，不過不是像大家猜測那樣用數(shù)列替換三角而獨立成題，而是把數(shù)列知識巧妙地融合到概率統(tǒng)計壓軸題中，巧妙而又自然地對遞推數(shù)列證明和求和進行了考查，試題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識模塊之間的互相滲透，從數(shù)學(xué)能力和學(xué)科素養(yǎng)上對學(xué)生進行了一次挑戰(zhàn).

作為一線教師，要對高考方向有一個比較精準的判斷和預(yù)測，除了研究高考試題，還要研究《課程標準》、《考試大綱》與《考試說明》.這三者是高考命題的指揮棒和重要依據(jù)，當然研究高考試題也要不局限某年某地，而是要放眼所有年份或省市的高考卷.

3.2 熟悉數(shù)列定義，訓(xùn)練學(xué)生辨析理解能力在數(shù)列知識模塊的教學(xué)或備考活動中，首先要讓學(xué)生理解數(shù)列的函數(shù)本質(zhì)，體驗數(shù)列相關(guān)公式的推導(dǎo)過程，清楚其來龍去脈，通過不斷的變式和訓(xùn)練題來提升學(xué)生的運算能力和邏輯推理能力，在解題過程中重點關(guān)注學(xué)生在計算中出現(xiàn)的高頻錯點，通過對知識錯點的再糾正來加深學(xué)生對等差(等比)數(shù)列定義的理解，強化對數(shù)列一系列公式的記憶，促使學(xué)生明晰概念，增強對數(shù)列類型的識別能力.

3.3 掌握數(shù)列性質(zhì)，提升學(xué)生綜合能力數(shù)列的定義和概念是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列知識必須掌握到位的知識，也是我們在進行高考備考務(wù)必具備的教學(xué)環(huán)節(jié)，由數(shù)列定義而提取的數(shù)列性質(zhì)則是學(xué)習(xí)數(shù)列的重點內(nèi)容，只有深刻理解數(shù)列的定義才能領(lǐng)悟的數(shù)列的系列性質(zhì)，比如：理解了數(shù)列的函數(shù)本質(zhì)，你就知道通過數(shù)列通項或求和公式就可以對一個數(shù)列進行判斷，從文科數(shù)列解法五可以看出考生充分利用數(shù)列性質(zhì)解答，過程簡潔美觀，達到事半功倍的效果.熟練掌握和運用數(shù)列性質(zhì)去處理數(shù)學(xué)中的數(shù)列問題，必須在高考備考中通過題組形式對學(xué)生進行針對訓(xùn)練，在題組訓(xùn)練中體驗數(shù)列性質(zhì)的靈活運用，加深對數(shù)列性質(zhì)的理解.

3.4 理解數(shù)列背景，促成學(xué)生轉(zhuǎn)化應(yīng)用能力縱觀數(shù)列試題的命制，其考查內(nèi)容離不開定義和性質(zhì)，只是考查的形式和角度不一樣，文科試題把數(shù)列知識和方程、不等式相關(guān)知識相結(jié)合，理科試題把數(shù)列知識巧妙自然地“鑲嵌”在壓軸概率統(tǒng)計題中，它們都是搭載其它數(shù)學(xué)知識的平臺，互為知識背景，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識之間的自然融合，實現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識之間的完美互動，綜合性較強.這種試題命制特點和風(fēng)格是否預(yù)示著為即將到來的文理同卷作鋪墊，數(shù)學(xué)知識的考查不再單一化，而是重在穿插和滲透融合.試題對考生的考查不僅僅局限于數(shù)列知識，它要求考生在多個數(shù)學(xué)知識模塊的解題活動中實現(xiàn)多種知識間的思維轉(zhuǎn)換，在其它知識系統(tǒng)中明晰數(shù)列知識的角色參與，在數(shù)列的知識系統(tǒng)里熟悉其它數(shù)學(xué)知識的“客串”功能，從而實現(xiàn)知識間的相互轉(zhuǎn)化，試題蘊含豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).此類題的備考重點是理解數(shù)列的本質(zhì)內(nèi)涵，熟悉數(shù)列知識的背景，提升是學(xué)生解題的轉(zhuǎn)化能力.

3.5 挖掘數(shù)列本質(zhì)，達成學(xué)生創(chuàng)新思維能力一道試題的命制體現(xiàn)一種思維過程，其考查某種知識內(nèi)容的形式有顯性和隱性之分.理科試題以pi+1= 5pi- 4pi?1遞推數(shù)列的形式呈現(xiàn)，從表面上看仿佛此題與數(shù)列相關(guān)知識無關(guān)，其實它是隱性地考查等比數(shù)列知識.通過仔細觀察遞推式結(jié)構(gòu)，合理變形和重組，就可以構(gòu)造等比數(shù)列pi+1- pi= 4(pi-pi?1)(i = 1,2,.....,7)來求解，它是以等比數(shù)列知識搭建平臺，把學(xué)生的思維提升到一個源于等比數(shù)列而又高于等比數(shù)列的高度，綜合性強，是運用構(gòu)造思想解題的典例.文科試題第二問還可以把看做關(guān)于n 的二次函數(shù)作出圖像通過數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果，這些解法都是對數(shù)列本質(zhì)內(nèi)涵的深刻理解后而得到的創(chuàng)新思維，學(xué)生只有掌握了數(shù)列知識所蘊含的本質(zhì)問題，才能在解題過程中領(lǐng)悟和轉(zhuǎn)化，觸類旁通，化繁為簡.在高考復(fù)習(xí)備考中，我們要求學(xué)生在熟練掌握運用數(shù)列定義和性質(zhì)處理相關(guān)數(shù)學(xué)問題的同時，更要深刻理解和挖掘數(shù)列的本質(zhì)，能夠運用轉(zhuǎn)化和等價思想巧妙合理地處理看似復(fù)雜實則簡單的數(shù)學(xué)問題.