廣東省華南師范大學(xué)附屬中學(xué)(510630) 黎海燕

今年全國(guó)I卷“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”試題題型與往年相比無(wú)明顯變化，比如冪、指、對(duì)函數(shù)值的大小比較，函數(shù)的圖像，函數(shù)的性質(zhì)(包括函數(shù)單調(diào)性，奇偶性，對(duì)稱性，周期性等)函數(shù)的切線方程，零點(diǎn)問(wèn)題，極值問(wèn)題，不等式恒(能)成立等.試題從較為全面地考查了學(xué)生的函數(shù)的基本知識(shí)、綜合素養(yǎng)和學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力—“函數(shù)”始終貫穿高中數(shù)學(xué)的函數(shù)和方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法.今年的試題難度較往年有所下降，試題分布較往年有較大的調(diào)整，如何更科學(xué)有效地備考? 我們有必要繼續(xù)研究高考的命題規(guī)律和解題策略.[1]

一、2019年高考全國(guó)I卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題評(píng)析

(一)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的客觀題評(píng)析

題目1(全國(guó)I卷文、理科第3題)已知a = log20.2，b=20.2，c=0.20.3，則( )

A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜b C.c ＜a ＜b D.b ＜c ＜a

評(píng)析本題屬基礎(chǔ)題，是高考的?？碱}型，考查冪指對(duì)函數(shù)值大小比較的通解通法，充分體現(xiàn)基本初等函數(shù)冪指對(duì)函數(shù)在函數(shù)中的重要地位.

題目2(全國(guó)I卷文、理科第5題)函數(shù)f(x)=在[-π,π]的圖像大致為( )

評(píng)析本題是函數(shù)圖像的識(shí)圖問(wèn)題，這類問(wèn)題在高考試題中屢屢出現(xiàn)，主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性和綜合運(yùn)用函數(shù)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.但本題可用排除法和特殊值法巧解，只需考慮函數(shù)的奇偶性和f(π)的符號(hào)即可解決，屬容易題.

題目3(全國(guó)I卷文、理科第13題)曲線y =3(x2+x)ex在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為____.

評(píng)析函數(shù)圖像的切線問(wèn)題是高考的高頻考點(diǎn)，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線的斜率，本題是“已知切點(diǎn)”求切線方程的問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題.

(二)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的解答題評(píng)析

題目4(全國(guó)I卷理科第20題)已知函數(shù)f(x)=sin x-ln(1+x).f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).證明：

(1)f′(x)在存在唯一極大值點(diǎn)；

(2)f(x)有且僅有2 個(gè)零點(diǎn).

評(píng)析本題的函數(shù)模型是正弦函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)組合，考查函數(shù)的極值和函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題.本題不同于往年高考?jí)狠S題，函數(shù)不含參數(shù)，無(wú)需對(duì)參數(shù)分類討論.雖然三角函數(shù)在往年全國(guó)高考?jí)狠S題中從未出現(xiàn)過(guò)，但萬(wàn)變不離其宗，函數(shù)是學(xué)生熟悉的，解題方法和過(guò)程也是學(xué)生熟悉的，還是用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像和性質(zhì)的問(wèn)題.本題第(1)問(wèn)難度較往年加大，首先，審題易出錯(cuò)，求的是f′(x)的極值點(diǎn)存在性問(wèn)題；其次，導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)不能直接求出，需用零點(diǎn)存在性定理設(shè)出零點(diǎn)，是一個(gè)抽象的零點(diǎn)，但不管是抽象的零點(diǎn)還是具體的零點(diǎn)，都是一個(gè)數(shù)，前者需作存在性說(shuō)明，后者直接求解得到，對(duì)往下說(shuō)明函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)并無(wú)影響.第二問(wèn)難度較往年低，要求學(xué)生有較好的函數(shù)基本功.

(1)的解法一設(shè)g(x)=f′(x)，則當(dāng)時(shí)，g′(x)單調(diào)遞減，而可得g′(x)在有唯一零點(diǎn)，設(shè)為α.則當(dāng)x ∈(-1,α)時(shí)，g′(x)＞0，當(dāng)時(shí)，g′(x)＜0，所以g(x)在(-1,α)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故g(x)在存在唯一極大值點(diǎn)，即f′(x)在存在唯一極大值點(diǎn).

說(shuō)明重視“導(dǎo)函數(shù)是一個(gè)函數(shù)”的理解，研究f′(x)的極值，則需對(duì)f′(x)求導(dǎo)，判斷f′(x)的導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而得到f′(x)的單調(diào)性.由于不能直接判斷出f′(x)的導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，需研究f′(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像，關(guān)鍵是獲得f′(x)的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，這里靈活運(yùn)用減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)的性質(zhì)，快速獲得了f′(x)的導(dǎo)函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，避免了對(duì)f′(x)的導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)的過(guò)程.

(1)的解法二設(shè)g(x)=f′(x)，則令g′(x)= 0，得sin x =令h(x)= sin x，u(x)=其中x ∈因?yàn)閔(x)在單調(diào)遞增，u(x)在單調(diào)遞減，且h(0)＜u(0)，h所以h(x)與u(x)在有且只有1 個(gè)交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為α.當(dāng)x ∈(-1,α)時(shí)，h(x)＜u(x)，即u(x)- h(x)＞0，也 即g′(x)＞ 0； 當(dāng)時(shí)，h(x)＞ u(x)，即u(x)- h(x)＜0，也即g′(x)＜0.所以g(x)在(-1,α)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故g(x)在存在唯一極大值點(diǎn)，即f′(x)在存在唯一極大值點(diǎn).

說(shuō)明在判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)時(shí)，關(guān)鍵是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)求解或零點(diǎn)存在性說(shuō)明，將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，并對(duì)方程等價(jià)轉(zhuǎn)化，通過(guò)研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)的交點(diǎn)來(lái)研究方程的根的存在性，體現(xiàn)化復(fù)雜為簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想方法.

(2)的解法一(i)當(dāng)時(shí)，由(1)知，f′(x)在(-1,α)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，而f′(0)= 0，所以，f′(x)在(-1,α)存在唯一零點(diǎn)x = 0，f′(x)在也存在唯一零點(diǎn)，設(shè)為β.因此，當(dāng)x ∈(-1,0)時(shí)，f′(x)＜0； 當(dāng)x ∈(0,β)時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)時(shí)，f′(x)＜0，故f(x)在(-1,0)單調(diào)遞減，在(0,β)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增減.又f(0)= 0，且從而x = 0 是f(x)在的唯一零點(diǎn).

(iii)當(dāng)x ∈(e-1,+∞)時(shí)，f(x)=sin x-ln(1+x)≤1-ln(1+x)＜1-ln(1+e-1)= 0，所以f(x)＜0，從而f(x)在(e-1,+∞)沒有零點(diǎn).綜上，f(x)有且僅有2 個(gè)零點(diǎn).

說(shuō)明1在(ii)中，可改成(或相應(yīng)地f(e-1)＜0 可改為f(π)＜0(或在(iii)中，x ∈ (e - 1,+∞)改成x ∈(π,+∞)(或x ∈).

說(shuō)明2第一問(wèn)已得到了f′(x)在的大致圖像，從而不難得到f(x)在的大致圖像及零點(diǎn)的情況，所以本題關(guān)鍵是研究f(x)在的零點(diǎn)情況，由y = sin x 的有界性和y = ln(1+x)的單調(diào)性(單調(diào)遞增)，可得f(x)在(e-1,+∞)沒有零點(diǎn)，所以，只需研究在的零點(diǎn)情況，不難發(fā)現(xiàn)f(x)在有且只有一個(gè)零點(diǎn).在培養(yǎng)學(xué)生分類討論的思維能力中，應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生化整為零的解題習(xí)慣，和將新問(wèn)題與已解決的問(wèn)題作對(duì)比的解題意識(shí)，學(xué)會(huì)“站在巨人的肩膀上看問(wèn)題”.

(2)的解法二令f(x)= 0，得sin x = ln(1 + x).令h(x)=sin x，v(x)=ln(1+x)，故f(x)有且僅有2 個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于h(x)與v(x)有且只有兩個(gè)交點(diǎn).

(i)當(dāng)x = 0 時(shí)，h(x)= v(x)= 0.當(dāng)x ∈(-1,0)時(shí)，因?yàn)閟in x ＞x ＞ln(1+x)，所以h(x)與v(x)在(-1,0)無(wú)交點(diǎn)，從而h(x)與v(x)在(-1,0]只有1 個(gè)交點(diǎn)(0,0).

(iv)當(dāng)x ∈(e - 1,+∞)時(shí)，因?yàn)閔(x)≤1，v(x)＞v(e-1)= 1，所以h(x)與v(x)在(e-1,+∞)無(wú)交點(diǎn).綜上，h(x)與v(x)有且只有2 個(gè)交點(diǎn)，從而f(x)有且僅有2 個(gè)零點(diǎn).

說(shuō)明零點(diǎn)問(wèn)題本質(zhì)是方程問(wèn)題，好處是可將函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，因?yàn)閷?duì)方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)牡葍r(jià)轉(zhuǎn)化后，可數(shù)形結(jié)合地研究?jī)蓚€(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)得到方程的根的個(gè)數(shù)，直觀地發(fā)現(xiàn)本題的解題思路，體現(xiàn)化復(fù)雜為簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化思想.

題目5(全國(guó)I卷文科第20題)已知函數(shù)f(x)=2 sin x-x cos x-x，f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).

(1)證明：f′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點(diǎn)；

(2)若x ∈[0,π]時(shí)，f(x)≥ax，求a 的取值范圍.

評(píng)析本題的函數(shù)模型是正、余弦函數(shù)與一次函數(shù)組合，考查函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題和含參不等式恒成立問(wèn)題.第一問(wèn)難度不大，但審題易出錯(cuò)，求的是f′(x)的零點(diǎn)問(wèn)題.第二問(wèn)是含參不等式恒成立問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合的方法，難度不大.

解(1)設(shè)g(x)= f′(x)，則g(x)= cos x+x sin x-1，g′(x)=x cos x.當(dāng)時(shí)，g′(x)＞0；當(dāng)時(shí)，g′(x)＜0，所以g(x)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.又故g(x)在(0,π)存在唯一零點(diǎn).所以f′(x)在(0,π)存在唯一零點(diǎn).

說(shuō)明考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)的存在性定理.

(2)的解法一由題設(shè)知f(π)≥aπ，f(π)= 0，可得a ≤0.由(1)知，f′(x)在(0,π)只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為x0，且當(dāng)x ∈(0,x0)時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)x ∈(x0,π)時(shí)，f′(x)＜0，所以f(x)在(0,x0)單調(diào)遞增，在(x0,π)單調(diào)遞減.又f(0)= 0，f(π)= 0，所以，當(dāng)x ∈[0,π] 時(shí)，f(x)≥0.又當(dāng)a ≤0，x ∈[0,π]時(shí)，ax ≤0，故f(x)≥ax.因此，a 的取值范圍是(-∞,0].

說(shuō)明1恒成立問(wèn)題，利用一般與特殊的關(guān)系，特殊值法縮小參數(shù)討論范圍，得到a ≤0 的必要性，只需證明a ≤0 的充分性.

說(shuō)明2由第一問(wèn)，f(x)的圖像與性質(zhì)已確定，因此由第二問(wèn)中不等式兩邊的函數(shù)f(x)和y = ax 的圖像可得a 的取值范圍是(-∞,0].數(shù)形結(jié)合的方法直觀地判斷出a 的取值范圍是(-∞,0]，獲得了對(duì)參數(shù)a 的范圍討論的分界點(diǎn)0.

說(shuō)明3往年高考中，第一問(wèn)獲得的函數(shù)圖像與性質(zhì)，第二問(wèn)常常會(huì)用到，所以在問(wèn)題的轉(zhuǎn)化中需以保留或還原第一問(wèn)獲得的函數(shù)為解題的切入點(diǎn)，在2019年廣州綜合測(cè)試(二)文21 也考查了這種化歸思想.

(2)的解法二(分離變量法)當(dāng)x = 0 時(shí)，不等式成立.當(dāng)時(shí)，f(x)≥ ax 等價(jià)于則令 k(x)=2x cos x + x2sin x - 2 sin x，則k′(x)= x2cos x.當(dāng)x ∈時(shí)，k′(x)＞0； 當(dāng)時(shí)，k′(x)＜0，所以k(x)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.又k(0)=0，-2 ＞0，k(π)= -2π，故k(x)在(0,π)存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為x1.當(dāng)x ∈(0,x1)時(shí)，h′(x)＞0； 當(dāng)x ∈(x1,π)時(shí)，h′(x)＜0，所以h(x)在(0,x1)單調(diào)遞增，在(x1,π)單調(diào)遞減.又limx→0+h(x)= 0，h(π)= 0，所以當(dāng)x ∈[0,π]時(shí)，h(x)≥0.因此a 的取值范圍是(-∞,0].

說(shuō)明不等式進(jìn)行“參變分離”后，即轉(zhuǎn)化為求一個(gè)不含參的新函數(shù)的最值問(wèn)題，再把這個(gè)最值與a 進(jìn)行比較即可[2].求新函數(shù)的最值過(guò)程中，熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像和性質(zhì)，每一次求導(dǎo)為了獲得導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而獲得原函數(shù)的單調(diào)性并作出原函數(shù)的大致圖像進(jìn)一步解決問(wèn)題.

(2)的解法三由題設(shè)知f(π)≥πa，f(π)= 0，可得a ≤0.設(shè)h(x)=f(x)-ax=2 sin x-x cos x-x-ax.則h′(x)=cos x+x sin x-a-1，h′′(x)=x cos x.當(dāng)時(shí)，h′′(x)＞0；當(dāng)時(shí)，h′′(x)＜0，所以h′(x)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.又h′(0)= -a ＞0，-a-1 ＞0，h′(π)=-2-a.

當(dāng)a ＜-2 時(shí)，得h′(π)＞0，所以h′(x)＞0，從而h(x)在[0,π]上單調(diào)遞增，所以h(x)≥h(0)=0；

當(dāng)-2 ≤a ≤0 時(shí)，得h′(π)＜0，所以h′(x)在(0,π)內(nèi)存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，記為x1.當(dāng)x ∈(0,x1)時(shí)，h′(x)＞0；當(dāng)x ∈(x1,π)時(shí)，h′(x)＜0，所以h(x)在(0,x1)單調(diào)遞增，在(x1,π)單調(diào)遞減.又h(0)= 0，h(π)= -aπ ≥0，所以當(dāng)x ∈[0,π]時(shí)，h(x)≥0.

綜上所述，a 的取值范圍是(-∞,0].

說(shuō)明解法三對(duì)不等式恒等變形(移項(xiàng))后，構(gòu)造新函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題，雖然沒有解法一簡(jiǎn)便，但由于新函數(shù)h(x)= f(x)- ax 的二階導(dǎo)與f(x)的二階導(dǎo)相同，所以h(x)= f(x)-ax 的一階導(dǎo)函數(shù)圖像是f(x)的一階導(dǎo)函數(shù)圖像上下平移所得，類似第一問(wèn)研究f(x)的函數(shù)圖像與性質(zhì)的過(guò)程，不難得到h(x)的函數(shù)圖像的討論.

二、近三年全國(guó)I卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題的考點(diǎn)分析

表1 近三年全國(guó)I卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題考點(diǎn)與分值統(tǒng)計(jì)表(理科)

表2 近三年全國(guó)I卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題考點(diǎn)與分值統(tǒng)計(jì)表(文科)

通過(guò)對(duì)近三年全國(guó)I卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題考點(diǎn)分析，可以發(fā)現(xiàn)，全國(guó)I卷對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)內(nèi)容的考查總體穩(wěn)定.客觀題考查冪指對(duì)的函數(shù)值大小比較，函數(shù)的圖像，曲線的切線方程基本問(wèn)題，基本方法和通解通法；解答題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像和性質(zhì)的常見題型(函數(shù)極值、零點(diǎn)問(wèn)題、不等式恒成立問(wèn)題)和常用思想方法(數(shù)形結(jié)合、分類討論，轉(zhuǎn)化與化歸).與往年不同之處在于，客觀題的題號(hào)較大幅度地前移，主觀題的題號(hào)也由往年的21題移至20題，難度大大降低.理科試題由往年的“一大兩小共22 分”變?yōu)椤耙淮笕」?7 分”，文科試題保持“一大三小共27 分”，且文、理科的客觀題首次使用一模一樣的試題.解答題不同于往年以冪、指、對(duì)式和含參的二次三項(xiàng)式、含參的分式組成的函數(shù)為載體，首次引進(jìn)了新的組合元素—三角函數(shù)，但不變的是方法，需培養(yǎng)學(xué)生解決新問(wèn)題的心理素質(zhì).

三、備考建議

1.認(rèn)真研究考試大綱，全面?zhèn)淇几呖济}的依據(jù)是《考試大綱》，不是往年高考真題，復(fù)習(xí)備考必須把考綱要求的內(nèi)容都認(rèn)真復(fù)習(xí)一遍，不放過(guò)任何一個(gè)可能考查到的知識(shí)點(diǎn)，注意在知識(shí)的交匯處設(shè)計(jì)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生綜合處理問(wèn)題的能力.[3]因此，不能將高考函數(shù)壓軸題考查的函數(shù)模型定格在往年高考的模型中，今年全國(guó)I卷文理20題的函數(shù)模型都引進(jìn)了三角函數(shù)，跳出了以冪指對(duì)式和含參的二次三項(xiàng)式、含參的分式組成的函數(shù)局限.體現(xiàn)了高考對(duì)創(chuàng)新型人才的選拔標(biāo)準(zhǔn)，但變的是形式，不變的是方法.在復(fù)習(xí)備考中，教師應(yīng)精選以各種函數(shù)模型為載體的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生深刻體會(huì)“換湯不換藥”、“萬(wàn)變不離其宗”的解題過(guò)程，同時(shí)，也能開闊學(xué)生視野，在高考中習(xí)以為常地面對(duì)新問(wèn)題.

2.重視概念教學(xué)在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題中，有很多重要的概念—導(dǎo)數(shù)、極值點(diǎn)、函數(shù)零點(diǎn)、不等式恒成立、不等式能成立、基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)等.在復(fù)習(xí)備考中，首先讓學(xué)生深刻的理解好以上概念，才能更好地解決問(wèn)題.

導(dǎo)數(shù)(1)導(dǎo)數(shù)是一個(gè)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的全稱是導(dǎo)函數(shù)，只是簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)而已，能理解導(dǎo)數(shù)符號(hào)f′(x)是一個(gè)函數(shù)符號(hào)，是一個(gè)關(guān)于x 的函數(shù).(2)導(dǎo)數(shù)是原函數(shù)圖像中任意一點(diǎn)切線的斜率，是原函數(shù)圖像中切線的斜率關(guān)于x 的函數(shù)，導(dǎo)數(shù)大于零，原函數(shù)遞增，導(dǎo)數(shù)小于零，原函數(shù)遞減.另外，同一起點(diǎn)的兩個(gè)函數(shù)圖像增長(zhǎng)的快慢可通過(guò)比較兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)大小關(guān)系，如h(x)= sin x，v(x)= ln(1+x)的圖像在的交點(diǎn)情況說(shuō)明，類似同一起跑線上的追及問(wèn)題，函數(shù)圖像增長(zhǎng)的快慢，類比加速度的大小，h′(x)＞v′(x)，說(shuō)明h(x)比v(x)增長(zhǎng)地快，h′(x)＜v′(x)，說(shuō)明h(x)比v(x)增長(zhǎng)地慢.

極值點(diǎn)若x=x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，需同時(shí)滿足兩個(gè)條件：(1)f′(x0)=0，(2)f(x)在x=x0附近導(dǎo)函數(shù)異號(hào).極值是f(x)在x = x0附近的局部性質(zhì)，通過(guò)舉反例，讓學(xué)生深刻理解極值的兩個(gè)條件缺一不可，并在解題中規(guī)范表達(dá).

函數(shù)零點(diǎn)全面理解函數(shù)零點(diǎn)的概念和零點(diǎn)存在性定理，尤其是函數(shù)零點(diǎn)與方程的根的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，有利于學(xué)生在解題中靈活轉(zhuǎn)化問(wèn)題，化繁為簡(jiǎn).判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，除了滿足零點(diǎn)存在性定理，還需注意函數(shù)單調(diào)性說(shuō)明.

不等式恒成立需讓學(xué)生從兩個(gè)維度認(rèn)識(shí)不等式恒成立問(wèn)題：(1)不等式(2)恒成立.對(duì)于不等式，需讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到不等式可以恒等變形，可將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，將陌生問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題.對(duì)于恒成立，應(yīng)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到恒成立是一個(gè)一般性結(jié)論，特殊情況也成立，可代入特殊值縮小參數(shù)討論的范圍.也可將恒成立所在的區(qū)間劃分為若干個(gè)區(qū)間，對(duì)某些區(qū)間容易證明不等式恒成立，只需重點(diǎn)討論其余區(qū)間.

不等式能成立需讓學(xué)生從兩個(gè)維度認(rèn)識(shí)不等式恒成立問(wèn)題：(1)不等式(2)能成立.對(duì)于能成立，應(yīng)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到能成立是個(gè)存在性問(wèn)題，不等式有解的問(wèn)題.

基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)熟練基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)，以及基本初等函數(shù)之間的大小關(guān)系.如x ∈(-1,0)時(shí)，sin x ＞x ＞ln(1 + x)； x ∈(0,+∞)時(shí)，ex＞x+1，ex＞x2(如圖1)，ln x ≤x-1 ＜x ＜x2(如圖(如圖3)，(如圖(如圖5)； x ∈(-∞,0)時(shí)，(如圖6).在研究函數(shù)趨向性時(shí)，常常利用以上函數(shù)關(guān)系將指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)放縮成冪函數(shù).

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

3.重視培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考能力和解決問(wèn)題的能力在函數(shù)題中，?？疾閷W(xué)生轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法.在備考中，除了讓學(xué)生掌握這些數(shù)學(xué)思想方法，還要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這些數(shù)學(xué)思想方法在解題中的相互作用，數(shù)形結(jié)合可讓學(xué)生直觀地理解問(wèn)題和解決問(wèn)題，直觀地發(fā)現(xiàn)分類討論的區(qū)間劃分.而在數(shù)形結(jié)合中，學(xué)生擅長(zhǎng)畫簡(jiǎn)單的函數(shù)圖像，所以將問(wèn)題中的函數(shù)類型轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的函數(shù)類型是解題的突破點(diǎn).同時(shí)，還要培養(yǎng)學(xué)生新舊問(wèn)題對(duì)比、化整為零地解決問(wèn)題的思想方法和能力.在函數(shù)壓軸題的備考教學(xué)中，建議堂上示范加堂上訓(xùn)練，必要時(shí)一題一課，切記“貪心嚼不爛”.給學(xué)生足夠的獨(dú)立思考時(shí)間，讓學(xué)生在及時(shí)理解思路和發(fā)現(xiàn)疑難，反思、總結(jié)、優(yōu)化方法中提升解決問(wèn)題的能力.

4.重視運(yùn)算能力熟記求導(dǎo)公式和求導(dǎo)運(yùn)算法則并做專題的求導(dǎo)運(yùn)算訓(xùn)練.在高考中，求導(dǎo)正確至少得1 分，在激烈的競(jìng)爭(zhēng)中，1 分之差在總分排名中常常有幾千名的差別.其次，求導(dǎo)正確是解函數(shù)題的重要前提和基礎(chǔ)，高考中，運(yùn)算能力弱的學(xué)生常常因運(yùn)算出錯(cuò)而影響解題進(jìn)度，使解答進(jìn)入困境.[4]