廣東省華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 趙 萍

廣東省佛山市樂從中學(xué)(528315) 林國紅

一.2019年全國I卷概率與統(tǒng)計(jì)試題分布一覽表

科別題型及題號(hào)分值考查內(nèi)容交匯知識(shí)難度選擇題6 5排列組合、古典概型易理科全國I卷填空題15 5獨(dú)立事件、分類加法計(jì)數(shù)原理中解答題21 12離散型隨機(jī)變量分布列、統(tǒng)計(jì)推斷數(shù)列難文科選擇題6 5系統(tǒng)抽樣易解答題17 122×2 列聯(lián)表、獨(dú)立性檢驗(yàn)易

二.2019年概率與統(tǒng)計(jì)試題特點(diǎn)分析

特點(diǎn)1：基礎(chǔ)性

題目1(全國I卷文科第6題)某學(xué)校為了解1 000 名新生的身體素質(zhì)，將這些學(xué)生編號(hào)為1，2，…，1 000，從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100 名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測(cè)驗(yàn).若46 號(hào)學(xué)生被抽到，則下面4 名學(xué)生中被抽到的是( )

A.8 號(hào)學(xué)生 B.200 號(hào)學(xué)生

C.616 號(hào)學(xué)生 D.815 號(hào)學(xué)生

分析本題考查的是抽樣方法中的系統(tǒng)抽樣，理解系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)是關(guān)鍵.抽取100 名學(xué)生，可分為100 組，由于組距為10，因此選出的號(hào)碼所成為的數(shù)列是以10 為公差的等差數(shù)列，46 號(hào)學(xué)生被抽到，可知被抽的標(biāo)號(hào)為6，16，26……，尾號(hào)都為6，故選C.

特點(diǎn)2：應(yīng)用性

題目2(全國I卷理科第15題)甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”.設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4：1 獲勝的概率是____.

解析本題從試題中體現(xiàn)體育，引入非常普及的籃球運(yùn)動(dòng)比賽，以普遍存在的比賽結(jié)果的預(yù)估和比賽場(chǎng)次的安排提出問題，考查學(xué)生應(yīng)用獨(dú)立事件、統(tǒng)計(jì)推斷等數(shù)學(xué)知識(shí)、方法解決問題.欲使甲隊(duì)4：1 獲勝，則第五場(chǎng)甲勝，前四場(chǎng)甲勝三場(chǎng)負(fù)一場(chǎng).可能情況為：1 負(fù)或2 負(fù)或3 負(fù)或4 負(fù)，即兩主場(chǎng)負(fù)一場(chǎng)或兩客場(chǎng)負(fù)一場(chǎng)，故概率為

特點(diǎn)3：創(chuàng)新性

全國I卷(理科)第21題信息量大、情景陌生，除了考查概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)外，還綜合考查等比數(shù)列的證明與數(shù)列求和等相關(guān)知識(shí)，具有較大的創(chuàng)新性，具體分析見文章第三部分理科21題-試題呈現(xiàn)與解答.

特點(diǎn)4：突出數(shù)學(xué)文化

題目3(全國I卷理科第6題)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化，每一“重卦”由從下到上排列的6 個(gè)爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3 個(gè)陽爻的概率是 ( )

圖1

解法1從在所有重卦中隨機(jī)取一重卦這句話，大部分考生會(huì)聯(lián)想到此題的數(shù)學(xué)模型是古典概型，這樣第一步求出基本事件的總數(shù)是26=64，恰有3 個(gè)陽爻的重卦有C36=20個(gè)，第二步用古典概型的概率公式求出答案A.

解法2從陽爻和陰爻這2 個(gè)原子概念學(xué)生很容易聯(lián)想到拋硬幣的正面和反面，這樣可以概率統(tǒng)計(jì)思想及基本概念分析：陽爻“——”和陰爻“——”—隨機(jī)現(xiàn)象—拋硬幣的正面和反面，

“重卦”從下到上排列的6 個(gè)爻組成—隨機(jī)過程—拋6次硬幣，

“重卦”—隨機(jī)事件—獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn).

一個(gè)“重卦”里陽爻的個(gè)數(shù)—隨機(jī)變量X —獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)里事件A 發(fā)生的次隨機(jī)變量X 服從二項(xiàng)分布不難理解求在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3 個(gè)陽爻的概率等價(jià)于求在一個(gè)重卦里恰好有3 個(gè)陽爻的概率，就是拋6 次硬幣里恰好有3 次正面的概率

三.理科21題解析

題目4(全國I卷理科第21題)為了治療某種疾病，研制甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4 只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1 分，乙藥得-1 分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1 分，甲藥得-1 分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0 分.甲、乙兩藥的治愈率分別記為α 和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.

(1)求X 的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4 分，pi(i =0,1,···8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0= 0，p8= 1，pi=api?1+bpi+cpi+1(i = 1,2,···7)，其中a = P(X = -1)，b=P(X =0)，c=P(X =1)，假設(shè)α=0.5，β =0.8.

(i)證明：{pi+1-pi}(i=0,1,2,···7)為等比數(shù)列；

(ii)求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

1.試題評(píng)析

本題在具體情境中融合概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)列的知識(shí)，主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、抽象概括、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，具體考查離散型隨機(jī)變量的分布列、互斥事件的概率解法公式、相互獨(dú)立事件的概率乘法公式、等比數(shù)列證明、遞推數(shù)列求通項(xiàng)、求和，小概率事件的決策問題等，屬于半開放的綜合性試題.題目具有創(chuàng)新性，有很好的區(qū)分度.

2.試題解析

第(1)問解法1由題意X 可能的取值為-1,0,1，P(X =-1)=(1-a)β，P(X =0)=αβ+(1-α)(1-β)=2αβ-(α+β)+1，P(X =1)=α(1-β)，所以X 的分布列為

X -1 0 1_____P (1-α)β αβ+(1-α)(1-β)α(1-β)_

第(1)問解法2由題意X 可能的取值為-1,0,1，所以X 的分布列為

X -1 0 1____P (1-α)β αβ+(1-α)(1-β)α(1-β)_

第(1)問解法3(1)由題意X 可能的取值為-1,0,1，所以X 的分布列為

X -1 0 1____P β-αβ 2αβ-(α+β)+1 α-αβ_

第(2)問(i)解法1(i)由(1)得a = P(X = -1)=(1 - α)β = (1 - 0.5)× 0.8 = 0.4，b = P(X = 0)=αβ + (1 - α)(1 - β)= 0.5 × 0.8 + 0.5 × 0.2 = 0.5，c = P(X = 1)= α(1 - β)= 0.5 × 0.2 = 0.1，因此pi= 0.4pi?1+ 0.5pi+ 0.1pi+1，故pi+1= 5pi- 4pi?1，得pi+1- pi= 4(pi-pi?1)(j = 1,2,······ ,7).因 為p1-p0=p1/=0，所以{pi+1-pi}(i=0,1,2,……,7)是以p1為首項(xiàng)，4 為公比的等比數(shù)列.

第(2)問(i)解法2因?yàn)閜i=a·pi?1+b·pi+c·pi+1，又因?yàn)?-b=a+c，所以(a+c)pi=a·pi?1+c·pi+1，故c·(pi+1-pi)=a·(pi-pi?1)，即因?yàn)樗詛pi+1-pi}(i=0,1,2,……,7)是以p1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.

第(2)問(i)解法3因?yàn)閜i= (1-α)β·pi?1+(αβ-(1-α)(1-β))·pi+α(1-β)·pi+1，所以(α+β-2α·β)pi=(1-α)β·pi?1+α(1-β)·pi+1，故α(1-β)·(pi+1-pi)=(1-α)β·(pi-pi?1)，即因?yàn)閜1-p0=p1/=0，所以{pi+1-pi}(i=0,1,2,……,7)是以p1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.

第(2)問(ii)解法1由(i)得p8=p8-p7+p7-p6+···+p1-p0+p0=(p8-p7)+(p7-p6)+······+(p1-p0)+p0=因?yàn)閜8= 1，故所以p4= (p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-p0)+p0=表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率.由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小，說明這種實(shí)驗(yàn)方案合理.

第(2)問(ii)解法2由(i)有pi+1- pi= p1·4i(i = 0,1,2,……,7)，累加可得p8- p0= p1·(40+41+······+47)得

同理p4-p0=p1·(40+41+42+43)，得

第(2)問(ii)解法3由(i)得解方程組得即表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率.由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8 時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小，說明這種實(shí)驗(yàn)方案合理.

第(2)問(ii)解法4由(i)有pi+1- pi= p1·4i(i = 0,1,2,……,7)累加可得 p8- p0= p1·(40+41+······+47)，得解得所以

第(2)問(ii)解法5由(i)有

所以

可得

即

又

可得

即

由 ① ②可得3pi=(4i-1)· p1，即由p8= 1，可得所 以p4=表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率.由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8 時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小，說明這種實(shí)驗(yàn)方案合理.

第(2)問(ii)解法6由

又p8=1，p0=0，得表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率.由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8 時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小，說明這種實(shí)驗(yàn)方案合理.

3.探究試題中初始條件與遞推公式的由來

進(jìn)一步思考：試題中所給出的初始條件p0= 0，p8= 1和遞推公式pi= api?1+bpi+cpi+1是否合理? 能否根據(jù)題意推出初始條件和遞推公式呢?

事實(shí)上，是不需要給出初始條件和遞推公式的，這些可以根據(jù)題意推出來!

因?yàn)橐李}意，當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4 只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈白鼠只數(shù)多的藥更有效.甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4 分，pi(i=0,1,···8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i 時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，依照約定，可知每輪得分之和均為0，于是兩人得分之和始終不變，保持是8 分.每多治愈一只白鼠則比對(duì)方多得2 分，則若甲得0 分，則乙得8 分，故乙治愈的白鼠比甲多4 只，即實(shí)驗(yàn)即可停止，故有p0=0，同理p8=1.

若甲得分為i，考慮下一輪，要么變?yōu)閕 - 1，要么不變，要么變?yōu)閕 + 1，其相應(yīng)的概率恰為a,b,c.從而得到pi= api?1+ bpi+ cpi+1，其中a = P(X = -1)，b=P(X =0)，c=P(X =1).

所以試題完全可以不給初始條件p0=0，p8=1 和遞推公式，試題把最難的求遞推公式直接給出來，實(shí)際是為了降低難度.而且問題(2)(i)的證明等比數(shù)列其實(shí)也是可以不要的，之所以要證明等比數(shù)列也是為了增加梯度，是命題老師給考生提示解題思路的.這樣做的目的是為了控制整個(gè)試題的難度，讓考生相對(duì)更容易解答.

當(dāng)然如果試題不給初始條件和遞推公式，直接問最后一問，那樣試題的難度就大大的提升了.

4.試題的概率論背景

這道概率題是命題人站在隨機(jī)過程的馬爾科夫鏈(Markov Chain)角度命制的題目.馬爾可夫鏈，又稱離散時(shí)間馬爾可夫鏈，因俄國數(shù)學(xué)家安德烈·馬爾可夫得名，是狀態(tài)空間中經(jīng)過從一個(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)換的隨機(jī)過程.該過程要求具備“無記憶”的性質(zhì)：下一狀態(tài)的概率分布只能由當(dāng)前狀態(tài)決定，在時(shí)間序列中它前面的事件均與之無關(guān).這種特定類型的“無記憶性”稱作馬爾可夫性質(zhì).在馬爾可夫鏈的每一步，系統(tǒng)根據(jù)概率分布，可以從一個(gè)狀態(tài)變到另一個(gè)狀態(tài)，也可以保持當(dāng)前狀態(tài).狀態(tài)的改變叫做轉(zhuǎn)移，與不同的狀態(tài)改變相關(guān)的概率叫做轉(zhuǎn)移概率.下圖是一種最簡(jiǎn)單的馬爾科夫鏈：隨機(jī)游走(Random Walk)的示意圖，這是概率論中著名的“直線上的隨機(jī)游走問題”.本試題相當(dāng)于是隨機(jī)游走的一個(gè)變種，增加了一種分?jǐn)?shù)維持不變的可能性.本題相當(dāng)于有兩個(gè)邊界0 和8，到達(dá)邊界后即停止，所以更準(zhǔn)確的說是“有雙側(cè)吸收壁的直線上的隨機(jī)游走問題”.

圖2

馬爾科夫鏈的本質(zhì)較為簡(jiǎn)單，就是一個(gè)事件之后的狀態(tài)只取決于上一步的狀態(tài).例如在本試題中，第i+1 次實(shí)驗(yàn)之后兩種藥的分?jǐn)?shù)，只會(huì)基于第i 次試驗(yàn)之后的分?jǐn)?shù)+1/不變/-1，所以再之前的分?jǐn)?shù)是多少就不用關(guān)心，知道第i 次實(shí)驗(yàn)之后的分?jǐn)?shù)就足夠?qū)χ罄^續(xù)推測(cè)了.

題目中甲藥的分?jǐn)?shù)就是這樣一個(gè)馬爾科夫鏈，而我們關(guān)心甲藥的分?jǐn)?shù)和最后“試驗(yàn)表明甲藥更有效”的概率之間的關(guān)系.這就要關(guān)系到甲藥在不同分?jǐn)?shù)之間轉(zhuǎn)移的概率，就是題目中所給的遞推式：pi=api?1+bpi+cpi+1，這個(gè)關(guān)系式本質(zhì)上表達(dá)了這個(gè)馬爾科夫鏈的傳遞規(guī)律，從pi有概率a 傳遞到pi?1，有概率b 留在pi，有概率c 傳遞到pi+1.所以從pi出發(fā)，最后獲勝的概率也是如此傳遞的.給出這個(gè)關(guān)系式實(shí)質(zhì)上大大降低了題目的難度，避免了考生因?yàn)椴皇煜ゎ}目的背景而束手無策.試題設(shè)計(jì)注重對(duì)問題背景的理解，將大學(xué)隨機(jī)過程的知識(shí)融在高中數(shù)列的角度中讓考生分析，本質(zhì)上只需要高中數(shù)學(xué)的數(shù)列知識(shí)，而不需要復(fù)雜的計(jì)算工具.

馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕收撝兄匾囊活悊栴}，應(yīng)用非常廣泛，有興趣的讀者可以查閱概率論的專業(yè)書籍進(jìn)一步學(xué)習(xí).

5.試題的變式

變式1變pi為qi，其中qi(i=0,1,2,····8)表示“乙藥的累計(jì)得分為i 時(shí)，最終認(rèn)為乙藥比甲藥更有效”的概率.

變式2變?chǔ)?β 的值，如α=0.5,β =0.6.

變式3變?cè)囼?yàn)方案設(shè)計(jì).

限于篇幅，變式的解答留給讀者.

6.一組與本題解答無關(guān)的有趣數(shù)據(jù)

四.教學(xué)建議

1.夯實(shí)基礎(chǔ)，注重對(duì)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)

概率與統(tǒng)計(jì)中的概念眾多，在復(fù)習(xí)備考過程中引導(dǎo)學(xué)生回歸教材，對(duì)教材中的基本概念進(jìn)行梳理.下面的三條主線可以將概率統(tǒng)計(jì)的有關(guān)概念串聯(lián)起來：

一是隨機(jī)事件的基本研究過程：隨機(jī)事件→事件概率→基本概型.

二是隨機(jī)變量的基本研究過程：隨機(jī)變量→概率分布→分布模型.

三是統(tǒng)計(jì)的基本研究過程：收集數(shù)據(jù)→整理數(shù)據(jù)→分析數(shù)據(jù)→統(tǒng)計(jì)推斷.

2.加強(qiáng)閱讀理解能力與數(shù)據(jù)處理能力的培養(yǎng)

數(shù)據(jù)處理的一般過程是：用抽樣方法收集數(shù)據(jù)，用統(tǒng)計(jì)圖表整理數(shù)據(jù)，用數(shù)字特征分析數(shù)據(jù)，用估計(jì)思想作出推斷.即“圖表→信息→公式→模型”，體現(xiàn)了數(shù)據(jù)處理的四個(gè)層次.

概率與統(tǒng)計(jì)是高考試題中相對(duì)獨(dú)立的一個(gè)模塊，處理問題的方式、方法體現(xiàn)了較高的思維含量.該類問題以應(yīng)用題為載體，題材內(nèi)容非常豐富，生活背景知識(shí)特別廣泛，注重考查考生的應(yīng)用意識(shí)、閱讀理解能力、計(jì)算能力、分類討論與化歸轉(zhuǎn)化能力.重視概率與統(tǒng)計(jì)的理論知識(shí)與實(shí)際生活相結(jié)合，其中題目文字描述多，對(duì)考生的閱讀理解能力要求高，重視審題教學(xué)，教會(huì)學(xué)生準(zhǔn)確理解題意，時(shí)刻思考考題已知的是什么，要求的是什么.能從大量的信息中提取對(duì)研究問題有效的信息，并做出判斷，這是數(shù)據(jù)處理能力的基本要求，也是解概率統(tǒng)計(jì)題的基本要求.

3.突出概率，重視統(tǒng)計(jì)

明確概率問題的核心是概率計(jì)算，概率計(jì)算的核心是清楚事件的互斥、對(duì)立、獨(dú)立等關(guān)系.排列組合是進(jìn)行概率計(jì)算的工具，強(qiáng)調(diào)概率中的三個(gè)基本問題—概率分布列、數(shù)學(xué)期望、方差，對(duì)相互獨(dú)立事件的概率、超幾何分布、二項(xiàng)分布等題型要熟練掌握.

統(tǒng)計(jì)問題的核心是樣本數(shù)據(jù)的收集和整理方法，重點(diǎn)是頻率分布直方圖、莖葉圖和樣本的數(shù)字特征.注意隨機(jī)數(shù)模擬求概率，隨機(jī)數(shù)表法求概率的小題.同時(shí)要學(xué)會(huì)概率與頻率分布直方圖、正態(tài)分布、獨(dú)立性檢驗(yàn)與線性回歸方程知識(shí)的綜合應(yīng)用、決策問題等.

概率統(tǒng)計(jì)是考查數(shù)學(xué)能力的大舞臺(tái)，新課程標(biāo)準(zhǔn)中提出的四種能力、六種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，在今年的概率與統(tǒng)計(jì)試題中除空間想象能力外，幾乎全面涉及.

4.關(guān)注易錯(cuò)點(diǎn)

在概率與統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)中，要準(zhǔn)確理解概念，特別要明確概率計(jì)算的核心是事件之間的關(guān)系，統(tǒng)計(jì)問題的核心是樣本數(shù)據(jù)的收集和整理，即隨機(jī)抽樣和用樣本估計(jì)總體.

易錯(cuò)點(diǎn)主要有：

①套用公式計(jì)算出錯(cuò)；

②事件之間的關(guān)系理解不正確；

③使用排列組合公式時(shí)出錯(cuò)；

④頻率分布直方圖、莖葉圖的基本概念理解不清；

⑤二項(xiàng)分布、超幾何分布分辨不清；

⑥應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)方法解決問題時(shí)出現(xiàn)K2值計(jì)算錯(cuò)誤等.

5.想對(duì)策

①提高學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力；

②提高對(duì)公式認(rèn)識(shí)的深度；

③加強(qiáng)在教學(xué)中對(duì)事件的分析，讓學(xué)生透徹理解事件之間的關(guān)系；

④加強(qiáng)排列組合數(shù)公式的應(yīng)用，讓學(xué)生熟練掌握；

⑤讓學(xué)生閱讀課本，加深對(duì)頻率分布直方圖、莖葉圖基本概念的理解；

⑥讓學(xué)生舉例說明超幾何分布與二項(xiàng)分布之間的區(qū)別與聯(lián)系；

⑦加強(qiáng)對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想的理解與應(yīng)用.

6.加強(qiáng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)及數(shù)學(xué)思想方法的滲透

高考命題的趨勢(shì)是以知識(shí)為載體，能力立意，思想方法為靈魂，核心素養(yǎng)為統(tǒng)領(lǐng).概率統(tǒng)計(jì)的命題兼顧基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性，以此展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值；在全面考查綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基礎(chǔ)上區(qū)分考生的數(shù)學(xué)能力的差異.因此教師在概率統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)時(shí)，要結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，落實(shí)“四基”，培養(yǎng)“四能”，適當(dāng)滲透數(shù)學(xué)思想方法(如數(shù)學(xué)建模、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等思想)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)(如數(shù)據(jù)分析與處理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等)的形成與發(fā)展，才能從容應(yīng)對(duì)高考的變化.

7.注重?cái)?shù)學(xué)模型化思想的滲透

高考中的概率統(tǒng)計(jì)問題基本上是應(yīng)用問題，情景的設(shè)置貼近學(xué)生的生活實(shí)際，對(duì)數(shù)學(xué)建模都有一定的要求.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中還明確要求教師引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，不但要重視結(jié)果，更要關(guān)注學(xué)生自主建立數(shù)學(xué)模型的過程，讓學(xué)生在進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)的過程中科學(xué)地、合理地、有效地建立數(shù)學(xué)模型.幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型大致要經(jīng)過三個(gè)大的步驟：①創(chuàng)設(shè)問題情境，發(fā)現(xiàn)提出問題——建立模型準(zhǔn)備階段； ②探究解決問題——建立數(shù)學(xué)模型階段； ③解釋應(yīng)用拓展，體驗(yàn)數(shù)學(xué)價(jià)值——應(yīng)用數(shù)學(xué)模型階段.所以應(yīng)該加強(qiáng)概率模型的區(qū)分與訓(xùn)練，從概率模型入手，分模型訓(xùn)練，以期提高復(fù)習(xí)的有效性.

8.概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)注意題型的多樣性與綜合性

數(shù)據(jù)處理包含面非常廣泛，目前主要集中于概率與統(tǒng)計(jì)之中.這幾年的高考題中，對(duì)概率統(tǒng)計(jì)的考查要求逐漸提高，背景與題型變化多，且在加大綜合性方面進(jìn)行了探索，如2018年與導(dǎo)數(shù)結(jié)合、2019年與數(shù)列結(jié)合充當(dāng)壓軸題，其目的之一是讓學(xué)生意識(shí)到，生活中概率統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用非常廣泛.特別是人類進(jìn)入智能化時(shí)代后，對(duì)數(shù)學(xué)的分析處理應(yīng)用更是每個(gè)人都必須掌握的一種工作、生活的技能.因此我們要重視概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)，在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中注意題型的多樣性與綜合性，不要因?yàn)槠y而選擇性放棄，通過有效教學(xué)及訓(xùn)練，可以幫助學(xué)生克服畏難情緒.

9.作為中學(xué)數(shù)學(xué)教師，需苦練內(nèi)功，進(jìn)行高觀念下的概率與統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)

近年來，高考的命題者通過挖掘高等數(shù)學(xué)中的一些素材來命制高考試題，這種命題現(xiàn)象應(yīng)該引起老師們的關(guān)注.因此中學(xué)教師要加強(qiáng)對(duì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，重視其基本原理的研究，提高自身的專業(yè)知識(shí)素養(yǎng)；當(dāng)然這并不意味著要將過多的高等數(shù)學(xué)知識(shí)下放到中學(xué)里來，加重中學(xué)的負(fù)擔(dān)，應(yīng)該是教師能站在高觀點(diǎn)的角度看待問題，找到問題的本質(zhì)內(nèi)涵，更好地指導(dǎo)中學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué).