廣東省云浮市郁南縣西江中學(527199) 劉龍標

坐標系與參數(shù)方程模塊是高中數(shù)學的選修內容，在高考全國I卷的數(shù)學卷中有1 道選做題，分值10 分，廣東約有90%的考生是選做這一道題的.下面結合筆者的教學經驗，對2019年高考全國I卷坐標系與參數(shù)方程試題進行簡要的分析，希望能為高中數(shù)學的常規(guī)教學和高三的數(shù)學備考提供一些參考，不足之處請讀者批評指正.

一、試題設計

1.源于課本，高于課本

高考試題1(2019年全國I卷文理科第22題)在直角坐標系xOy 中，曲線C 的參數(shù)方程為(t 為參數(shù))，以坐標原點O 為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l 的極坐標方程為

(1)求C 和l 的直角坐標方程；

(2)求C 上的點到l 距離的最小值.

課本習題1(選修4-4《坐標系與參數(shù)方程》第15 頁習題)把極坐標方程ρ(2 cos θ+5 sin θ)-4 = 0 化成直角坐標方程.

在高考試題1 中，l 的極坐標方程與課本習題1 對比，l的極坐標方程源于課本.

課本習題2(選修4-4《坐標系與參數(shù)方程》第25 頁例3)把參數(shù)方程(t 為參數(shù))化為普通方程，并說明它表示什么曲線.

課本習題2 告訴我們，參數(shù)方程化為直角坐標方程，應該求出x 的取值范圍；在高考試題1 中，曲線C 的直角坐標方程為x 是有條件范圍限制的.筆者有幸參加了2019年高考廣東數(shù)學的評卷工作，根據(jù)考生的答卷情況，絕大多數(shù)考生沒有求出x 的取值范圍.由此猜測：“絕大部分學生和一些老師沒有深入研讀課本的習題.”

課本習題3(選修4-4《坐標系與參數(shù)方程》第26 頁習題)把參數(shù)方程(t 為參數(shù))化為普通方程，并說明它表示什么曲線.

在高考試題1 中，曲線C 的參數(shù)方程與課本習題3 對比，參數(shù)方程都是關于t 的分式函數(shù)，但曲線C 的參數(shù)t 不容易消去，曲線C 的參數(shù)方程源于課本，高于課本.

課本習題4(選修4-4《坐標系與參數(shù)方程》第28 頁例1)在橢圓上求一點M，使點M 到直線x+2y-10=0 的距離最小，并求出最小距離.

在高考試題1 中，如果求出了曲線C 和直線l 的直角坐標方程，那么第(2)問與課本習題4 就是同一類型的試題了，高考試題1 的第(2)問源于課本，高于課本.

2.在知識網絡的交匯點處設計試題

在高考試題1 中，曲線C 的直角坐標方程很難求嗎? 非也.準確地說：“由于考生的數(shù)學基礎知識不扎實，對完全平方公式的使用僅停留在記憶層面，沒有達到靈活運用的境界，所以曲線C 的直角坐標方程很難求.”對于完全平方公式，在與韋達定理相關的數(shù)學練習中，學生應該知道：“a+b、a-b、ab、a2+b2是可以互相轉化的，如果a = 1，b = t2，那么1+t2、1-t2、t 也可以互相轉化了.”有了這些基礎知識，曲線C 的直角坐標方程就不會難求了.

《數(shù)學考試大綱》中給出的數(shù)學基礎知識的考查：“不刻意追求知識的覆蓋面，從數(shù)學學科的整體高度和思維價值的高度考慮問題，在知識網絡的交匯點處設計試題，使對數(shù)學基礎知識的考查達到必要的深度.”高考試題1 考查的基礎知識有：參數(shù)方程、完全平方公式、函數(shù)與函數(shù)的性質、直線、點到直線的距離等等.高考試題1 就是在這些知識網絡的交匯點處設計而成的.

3.數(shù)學試題變一變，考生上當兼受騙

在高考試題1 中，求曲線C 的參數(shù)方程，嘗試x+y =?，都無法消去參數(shù)t.由于沒有得到曲線C 的直角坐標方程，所以第(2)問又無從下手，讓考生在心理上產生“緊張情緒”，弱弱地自問：“根據(jù)往年高考的情況，這是一道容易題呀，我做了一年的坐標系與參數(shù)方程的模擬題，就這樣白廢了? 高三一年，真的被人騙了? ”

高考命題人高屋建瓴，“從數(shù)學學科的整體高度和思維價值的高度考慮問題”，對數(shù)學試題稍作變化，就令很多考生無所適從.高考數(shù)學對考生的考查，可謂是“數(shù)學試題變一變，考生上當兼受騙”.

二、試題解答與點評

下面給出高考試題1 的解答和點評.

1.高考試題1 第(1)問求直線l 的直角坐標方程.

解法1.1直線l 的極坐標方程為11 = 0，因為x = ρ cos θ，y = ρ sin θ，所以l 的直角坐標方程為

點評這個是命題者送分的考點，直接利用極坐標與直角坐標的互化公式就行了.根據(jù)考生的答卷情況，有部分考生把l 的直角坐標方程寫成了或等形式，說明了有些考生存在“公式不熟，記憶混亂，粗心大意，快速解答，不懂檢驗”等問題.

2.高考試題1 第(1)問求曲線C 的直角坐標方程.

解法2.1(利用完全平方公式，平方相加消去參數(shù)，求曲線C 的直角坐標方程).

得

解法2.2(利用t2= f(x,y)消去參數(shù)，求曲線C 的直角坐標方程)

解法2.3(利用t = f(x,y)消去參數(shù)，求曲線C 的直角坐標方程)由曲線C :得得

解法2.4(利用三角變換，消去參數(shù)，求曲線C 的直角坐標方程)

點評曲線C 的直角坐標方程不容易求，這個考點滲透了“數(shù)據(jù)分析和數(shù)學運算”素養(yǎng).類似于解法2.2，很多考生嘗試x+y =?，x-y =?，=?，結果都無法消去t.解法2.1 是常用的消元法，是完全平方公式的靈活應用，1+t2、1-t2、t 是可以互相轉化的.如果采用解法2.2、2.3，就需要考生有敏銳的觀察力，先得到解題思路：“如果得到t = f(x,y)或t2=f(x,y)，就可以消去參數(shù)t.”再經過一系列的數(shù)學運算，如果得到正確答案，就說明考生有良好的運算求解能力，體現(xiàn)了考生具有“在運算求解過程中遇到障礙而調整運算”的能力.解法2.4 是“化歸轉換思想”的應用，把“關于t 的分式函數(shù)”轉變?yōu)椤瓣P于α 的三角函數(shù)”，體現(xiàn)了考生具有“將知識遷移到不同情景中去的能力”.

3.高考試題1 第(2)問求C 上的點到l 距離的最小值.

解法3.1(三角函數(shù)法，建立目標函數(shù)d= f(θ)，利用三角函數(shù)知識求距離的最小值)

解法3.2(平行切線法，先求出與l 平行的曲線C 的切線l1，再求距離的最小值)

解法3.3(導數(shù)法，建立目標函數(shù)d = f(t)，利用導數(shù)知識求距離的最小值)

令u′=0 得解得或u 的最值在或處取得，d 的最值也在或處取得.當t =時，由 ①得當時，由 ①得故C 上的點到l 距離的最小值為

解法3.4(基本不等式法，建立目標函數(shù)d = f(t)，利用基本不等式求距離的最小值)

由解法3.3 得

解法3.5(柯西不等式法，建立目標函數(shù)d = f(x0,y0)，利用柯西不等式求距離的最小值)

解法3.6(平行切線切點法，先求出與l 平行的曲線C的切線l1的切點，再求距離的最小值)

點評這個數(shù)學問題的解答，滲透了“數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學建模和數(shù)學運算”素養(yǎng)，考查了“數(shù)形結合、分類討論、函數(shù)方程”等數(shù)學思想.如果第(1)問求出了曲線C 的直角坐標方程，解法3.1 是最簡便，最快捷的解法，也是課本“要求掌握”的常規(guī)解法.解法3.2、3.5、3.6 雖能體現(xiàn)了考生具有“將知識遷移到不同情景中去的能力”，但與解法3.1 對比卻給人“舍近求遠”的感覺，解法3.6 還利用了課外補充的“二級結論”，更是“本末倒置”，不宜提倡.如果第(1)問曲線C的直角坐標方程沒有求出來，可以利用試題中曲線C 的參數(shù)方程直接解答第(2)問，并且方法有很多種，解法3.3、3.4 就是在這種情形下產生的，體現(xiàn)了考生具有“實事求是的科學態(tài)度”，具有“為戰(zhàn)勝困難隨機應變、鍥而不舍的精神”.

通過以上分析，這道高考題解法多種多樣，不拘一格；突出了數(shù)學思想，體現(xiàn)了“能力立意”，還滲透了數(shù)學核心素養(yǎng)；讓考生充分“體驗”了“海闊憑魚躍，天高任鳥飛”的數(shù)學解題意境.可以說，這道題作為高考題，有良好的區(qū)分度，為有良好數(shù)學素養(yǎng)的高材生提供了廣闊的思維發(fā)展空間，說明了數(shù)學高考題具有強大的選拔功能.

三、高三數(shù)學備考建議

1.研究高考試題，把握高考命題方向

近三年全國I卷坐標系與參數(shù)方程試題的考點分布表.

22(1)考查內容難度22(2)考查內容難度__2017解方程，求直線與橢圓的交點坐標.中點到直線的距離，與最值有關，直線含有參數(shù).中2018極坐標方程化為普通方程中直線與圓的位置關系，直線含有參數(shù).中2019極坐標方程化為普通方程，參數(shù)方程化為普通方程.難點到直線的距離，與最值有關，直線與橢圓都沒有含參數(shù)中

從上表可以看出，全國I卷坐標系與參數(shù)方程試題，第(1)問主要考查“參數(shù)方程、極坐標方程化為普通方程”.第(2)問主要考查“直線與曲線的位置關系”，解題方法多種多樣，如果數(shù)形結合，利用直線與曲線相切，就可以較容易地得到結果.

2.研讀《數(shù)學考試大綱》，把“考試要求”落實到具體的課堂教學中

高三數(shù)學的復習備考，最終目標是為了高考，高考的升學目標是通過試題來呈現(xiàn)的，可以說：“數(shù)學老師的高三復習備考過程，就是一個不斷選題的過程”.我們應該如何選題呢? 總要有一些評價標準吧! 如果研讀《數(shù)學考試大綱》，就可以為我們的選題把握方向，選出更多符合“考試要求”的試題，這樣就可以把“考試要求”落實到具體的課堂教學中.

思考1數(shù)學科的高考，有一個要求是“個性品質要求”.請為高三學生選一題“可以體現(xiàn)考生個性品質的數(shù)學試題”.

模擬課堂1今天，我們來做一題“可以體現(xiàn)考生個性品質的數(shù)學試題，……”

這樣的數(shù)學課堂，不僅可以給學生“耳目一新”的感覺，也可以激發(fā)學生的求知欲望，產生疑問：“可以體現(xiàn)考生個性品質的數(shù)學試題? 有這樣的題嗎? 我很想做一做，也想知道自己有怎樣的個性品質? ”

《數(shù)學考試大綱》給出的個性品質要求：“個性品質是指考生個體的情感、態(tài)度和價值觀.要求考生克服緊張情緒，以平和的心態(tài)參加考試，合理支配考試時間，以實事求是的科學態(tài)度解答試題，樹立戰(zhàn)勝困難的信心，體現(xiàn)鍥而不舍的精神.”高考試題1 就是一個讓學生了解自己的“個性品質”的很好的例子.

3.教師與學生在課堂上“同進共退”，增強學生學習的自信心.

自信心是學好數(shù)學的重要前提.在教學實踐中，我發(fā)現(xiàn)影響學生學習信心的一個重要因素是“學生分析數(shù)學問題的思維與教師的思維不一致”.因此，在課堂教學過程中，教師要了解學生的想法、學生的錯誤；以學生的想法、錯誤為出發(fā)點，教師與學生“同進共退”.在這樣一個“教”與“學”相互反饋的實踐過程中，學生可以緊跟著教師的思維走，從而充分開動腦筋，解決疑難，增強學習數(shù)學的信心.

舉個例子，在高考試題1 中，需要求出曲線C 的直角坐標方程.對比以下的教法，看看哪一種效果會更好.

教法1直接給出解法2.1—2.4 中的某一種.

教法2為了顯示教師有“淵博的知識、高超的解題技巧、靈活多變的解題方法”，教師繪聲繪色、滔滔不絕、接二連三地給出了解法2.1—2.4 的四種解法.

在教學實踐中，上述教法1、教法2 都并不少見，也確實能傳授學生以正確的答案，但對于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維與解題的自信心卻并無益處，因為在講授過程中，方法背后的數(shù)學思想并沒有得到指出.學生應接不暇地聆聽了多種“高明”解法，在自己動手做題時，就會想：“為什么老師有這么多的解法，而我卻一種都想不到呢? ”久而久之就形成了“自卑心理”，逐步失去“學好數(shù)學的自信心”.所以，在課堂教學中，教師要以學生的想法、錯誤為出發(fā)點，與學生“同進共退”，講授“如何看待、分析、解決問題”而非流于陳述答案，進而讓學生對解題思維有所領悟.

教法3教師與學生“同進共退”.

想一想完全平方公式，(a+b)2=a2+2ab+b2，…

觀察方程，1-t2與t、1-t2，有怎樣的等量關系? …

(1-t2)2+ 4t2=(1+t2)2，…，這樣可以消去t 嗎?…“柳暗花明又一村”.

教師與學生“同進共退”，這樣就讓學生享受了“數(shù)學解題的苦與樂”.

比較以上3 種教法，教法3 是比效好的一種.因此，在教學過程中，教師要以學生的想法、錯誤為出發(fā)點，與學生“同進共退”，增強學生學習的自信心.

4.“拆解高考試題”，尋找高考試題與課本習題的聯(lián)系

高三數(shù)學老師都會說：“我們的數(shù)學復習要回歸課本.”

能回歸課本嗎? 看看高考試題1 的解法3.5，3.6，能用這樣解法的考生，是數(shù)學學困生嗎? 肯定不是，應該是數(shù)學高材生.解法3.1 是課本習題4 的解法，是課本例題的解法.數(shù)學高材生，為什么不會用解法3.1? 因為數(shù)學高材生的復習備考離開了課本.

要想在高考中取得優(yōu)異成績，必須尋找高考試題與課本習題的聯(lián)系.

“拆解高考試題”類似于“仰望星空”，“重視課本習題”類似于“腳踏實地”.“拆解高考試題”是為科學備考指明方向，“重視課本習題”是為高考解題夯實基礎.兩者相輔相成，不可偏廢.

如何“拆解高考試題”? 高考試題1 與課本習題1-4 的關系，這就是1 個例子.只要能把高考試題與課本習題聯(lián)系起來，學生就會自覺回歸課本，重視課本.