胡貴平

(甘肅省白銀市第一中學(xué) 730900)

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的利器,數(shù)列是離散的點(diǎn)構(gòu)成的特殊的函數(shù)，數(shù)列型不等式問(wèn)題,既需要解決不等式的基本思路和方法,又要結(jié)合數(shù)列本身的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn),一般是通過(guò)導(dǎo)數(shù)來(lái)探究函數(shù)的單調(diào)性或最值，然后構(gòu)造函數(shù)相對(duì)應(yīng)的不等式，進(jìn)而對(duì)x取值,得到數(shù)列型不等式，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)姆趴s，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決.

類型1lnx

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

類型2ln(x+1)≤x

例2 (2017全國(guó)卷3,21)已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx.

(1)若f(x)≥0 ，求a的值；

解(1)f(x)的定義域?yàn)?0，+).則且f(1)=0.

由于f(1)=0，所以當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)，f(x)≥0,故a=1.

(2)由(1)知，當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=x-1-lnx≥0，即lnx≤x-1，則有l(wèi)n(x+1)≤x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立.

所以m的最小值為3．

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)m∈R，對(duì)任意的a∈(1,1)，總存在x0∈[1,e]，使得不等式ma-f(x0)<0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

解(1)f(x)的定義域?yàn)?0，+).則令f′(x)>0，得x>1，因此函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1，+)．

令f′(x)<0，得0

(2)依題意，ma

(3)由(1)知函數(shù)f(x)在[1，+)上單調(diào)遞增，故所以以x2替代x，得

由柯西不等式，(ln21+ln22+…+ln2n)(12+12+…+12)≥(ln1+ln2+…+lnn)2．

(1)用a表示出b,c；

(2)若f(x)≥lnx在[1,+)上恒成立，求a的取值范圍；

解(1)易得到b=a-1，c=-2a+1.

將上述的n個(gè)不等式依次相加，

當(dāng)00；當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)<0.所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增；在(1,+)上單調(diào)遞減.所以函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值.

故g(x)在[1,+)上也單調(diào)遞增，所以[g(x)]min=g(1)=2,所以a≤2.

例6(2014陜西理)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0，其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).

(1)g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+，求gn(x)的表達(dá)式；

(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)設(shè)n∈N+，比較g(1)+g(2)+…+g(n)與n-f(n)的大小，并加以證明.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

由①②可知，結(jié)論對(duì)n∈N+成立.

當(dāng)a≤1時(shí)，φ′(x)≥0(僅當(dāng)x=0,a=1時(shí)等號(hào)成立).

所以φ(x)在[0,+)上單調(diào)遞增，又φ(0)=0，

所以φ(x)≥0在[0,+)上恒成立，

當(dāng)a>1時(shí)，對(duì)x∈(0,a-1]有φ′(x)<0，所以φ(x)在(0,a-1]上單調(diào)遞減，所以φ(a-1)<φ(0)=0.

綜上可知，a的取值范圍是(-,1].

……

上述各式相加可得

結(jié)論得證.

不等式的放縮

變形1 當(dāng)x>-1時(shí)，有x≥ln(x+1)，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立.

變形2 當(dāng)x>0時(shí)，x-1≥lnx，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立.

事實(shí)上，在x≥ln(x+1)中用x-1代x即可得.也是x>lnx，將直線y=x向右平移一個(gè)單位后與函數(shù)y=lnx的圖象在點(diǎn)(1,0)處相切可得.

事實(shí)上，在x-1≥lnx中兩邊同乘以-1即可得.

變形5 當(dāng)x>0時(shí)，xlnx≥x-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立.