王錫康

摘? 要：在解決實(shí)際問題的過程中拓展例題的外延，不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)需，還能提升學(xué)生對策略的理解和運(yùn)用，更有助于學(xué)生的個性化發(fā)展。

關(guān)鍵詞：例題;外延;解決問題策略;教學(xué)

解決問題策略的教學(xué)主要是培養(yǎng)學(xué)生的策略性，教學(xué)的過程中要激發(fā)學(xué)生對策略需要，喚醒學(xué)生思維的策略性，甚至建立一個完整的數(shù)學(xué)策略框架。“外延”視野給了我們一個很好的啟發(fā)。

一、不易：難題驅(qū)動，引發(fā)策略

縱觀各個版本小學(xué)數(shù)學(xué)教材，不難發(fā)現(xiàn)幾乎所有的教材在解決問題的策略方面都有一個共同的特征：例題簡單。教材在編寫過程中顧及了絕大多數(shù)學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，但也在學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中出現(xiàn)了一些問題：很多學(xué)生在不學(xué)習(xí)策略的情況下也能直接解決問題，導(dǎo)致學(xué)生對策略的學(xué)習(xí)需求不高，熱情不夠，直接導(dǎo)致在后續(xù)靈活應(yīng)用策略方面出現(xiàn)較大問題。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅僅是學(xué)科知識的學(xué)習(xí)和掌握，更加應(yīng)該關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，所以在教學(xué)過程中，教師應(yīng)當(dāng)在潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生對難題的解決能力。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中不僅要有學(xué)科知識的掌握和提煉，更要有學(xué)習(xí)方法的掌握和貫徹，所以在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)讓所有學(xué)生知道難和易是可以互相轉(zhuǎn)化的，解決問題一般要從簡單開始循序漸進(jìn)，先易后難是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般方式。

維果斯基的最近發(fā)展區(qū)（Zone of Proximal Development）（ZPD）指出：最近發(fā)展區(qū)是學(xué)習(xí)與發(fā)展產(chǎn)生假設(shè)推測的動力根源。最近發(fā)展區(qū)所指的是一個特定的距離——從孩子能獨(dú)立解決問題，到獲得成人或該文化中有能力的人的協(xié)助而完成工作之間的距離。“外延”視野正是建立在最近發(fā)展區(qū)理論上的一種手段。

將課本例題的外延不斷提升和擴(kuò)寬，例題的難度就會適當(dāng)?shù)脑黾?，絕大多數(shù)同一外延下的難題學(xué)生很難直接根據(jù)已有的知識解決，運(yùn)用這樣的刺激促使學(xué)生對策略教學(xué)產(chǎn)生興趣，提升學(xué)生對策略的內(nèi)部需求。

例如，在蘇教版四年級上冊“解決問題的策略——畫圖”中，原例題是“小春和小寧一共收集了72枚郵票，小春比小寧多收集了12枚，兩人各收集了多少枚？”一道典型的和差問題，將例題的外延不斷拓展提高將它改成與之同一外延下的另一個問題“劉海粟小學(xué)有豐富多樣的藝選班，其中集郵藝選班特別受同學(xué)們的歡迎，集郵班的46位同學(xué)一共收集了1392枚郵票，除了小春，其余同學(xué)收集的郵票都一樣多，小春比其余每位同學(xué)多收集了12枚郵票，集郵班的每位同學(xué)各收集了多少枚郵票？”同樣是和差問題，難度卻有大幅提升，學(xué)生的解題思路受到制約，自然想用新的策略來解決問題。

例題變難不僅對學(xué)生的興趣和策略需要一種刺激，還能在一定程度上讓學(xué)生明確在什么情況下使用這種策略，促進(jìn)了學(xué)生對解決問題策略的靈活掌握。通過難題的引入，不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)力，還能培養(yǎng)學(xué)生解決問題的策略性。

二、變易：化難為易，以易解難，掌握應(yīng)用策略

老子說：“天下難事必作于易，天下大事必作于細(xì)?！本褪钦f要解決難題必須從簡單情況入手。從簡單情況入手不僅是一種數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，也是一種數(shù)學(xué)教學(xué)方法，還是一種培育數(shù)學(xué)創(chuàng)新素養(yǎng)的教育理念。

笛卡爾說：“按次序進(jìn)行我的思考，從最簡單、最容易認(rèn)識的對象開始，一點(diǎn)一點(diǎn)逐步上升，直到認(rèn)識最復(fù)雜的對象;就連那些本來沒有先后關(guān)系的東西，也給他們設(shè)定一個次序?！笨磥砘y為易、以易解難在古今中外都是一個解決難題的好策略。在如今外延視野下的解決問題策略中我們也從簡單入手。

解決問題實(shí)際上就是在困難中找出路，過程的價值往往超越了答案本身。從簡單入手，就是一種探索解決問題的策略，即在遇到復(fù)雜的困難的問題時，通過適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換，把它變成一個或者幾個簡單的能夠解決的問題，再通過對簡單問題的解析，發(fā)現(xiàn)解決問題的策略，最終化難為易，并以易解難。數(shù)學(xué)解題是一個把高階復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為低階簡單問題的過程，這樣的轉(zhuǎn)化有利于尋找解決問題的策略并用策略解決難題。分類討論、特例嘗試等都是典型的從簡單入手的解題思路。

在上文中提到的較為復(fù)雜的46人集郵的問題，可以先轉(zhuǎn)化為比較簡單的2人情形，用畫線段圖的方法完美解決后，將人數(shù)增加至3人，再增加至5人……再逐漸增加到46人。在增加的過程中，既可以體會畫線段圖的優(yōu)勢，又能優(yōu)化用畫線段圖的策略解決實(shí)際問題的過程，還能逐漸體會畫線段圖策略的適用范圍，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的策略性。

“化難為易，以易解難”更容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，讓更多的學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動。從簡單入手也可以形成更豐富的思維層次結(jié)構(gòu)。在這樣的體驗(yàn)中，學(xué)生自然會將難題化簡，從簡單中尋求方法，再解決難題這樣的數(shù)學(xué)思維。“化難為易，以易解難”是一種良好的思維習(xí)慣，也是掌握數(shù)學(xué)知識來龍去脈的有效途徑，更是一種實(shí)用高效的數(shù)學(xué)思維。

三、容易：靈活應(yīng)用，超越策略

外延視野下的解決問題策略教學(xué)是對策略教學(xué)的一種大膽嘗試和創(chuàng)新，它給策略教學(xué)注入了一種全新的活力。從“難題引入”到“化難為易，以易解難”，最后“靈活掌握”是一個完整的數(shù)學(xué)策略框架，通過整體架構(gòu)勢必能幫助完善學(xué)生解決實(shí)際問題的策略性。

小學(xué)生正處于心智發(fā)展的重要時期，他們希望獲得教師的肯定，拓展例題的外延必然會使題目的難度陡增，在探究的過程中教師必然會給予更多的鼓勵和支持，讓學(xué)生在一種充滿期待的氛圍中進(jìn)行探究，進(jìn)一步提升學(xué)生的學(xué)習(xí)獲得感。在這樣的氛圍中學(xué)生更加愿意思考和表達(dá)，用數(shù)學(xué)的眼光看待問題，用數(shù)學(xué)的思維分析問題，用數(shù)學(xué)的方式解決問題。問題復(fù)雜是為了思維的活躍，轉(zhuǎn)化為簡單是為了學(xué)的靈活，復(fù)雜問題簡單化可以形成更豐富的思維層次結(jié)構(gòu)，更容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，讓更多學(xué)生參與到數(shù)學(xué)活動中來。

學(xué)生是有發(fā)展?jié)摿Φ娜?，外延視野下的解決問題策略教學(xué)能實(shí)現(xiàn)學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展。在拓展外延的例題引領(lǐng)下，學(xué)生必然會獨(dú)立思考、探究，提高解決問題的能力。在難題的引領(lǐng)下必然會學(xué)會帶著問題思考和分析，讓學(xué)生在思考過程中學(xué)會將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成為簡單的問題，將未學(xué)過的知識轉(zhuǎn)化成為已掌握的知識，并采用由簡到繁的方式逐漸增加難度，直至提升到這類問題的最外延，在解決例題外延的過程中實(shí)現(xiàn)學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展。

“化難為易，以易解難”，學(xué)生容易接受，容易理解，解題的正確率也會大大提高。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣總是和成功的喜悅緊密相連的，如獨(dú)立地解決一道數(shù)學(xué)難題，做出一個數(shù)學(xué)猜想，想出一種新的解題方法，等等，都能使學(xué)生在這些“成功”中體驗(yàn)到創(chuàng)造的喜悅，激發(fā)學(xué)生更高的學(xué)習(xí)熱情。

學(xué)生在策略學(xué)習(xí)過程中，從被動學(xué)習(xí)到渴望學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)動機(jī)的一大突破，外延視野下的解決問題策略教學(xué)在此基礎(chǔ)上充分凸顯了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，注重學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)。通過教師和學(xué)生的共同努力，必然能提高學(xué)習(xí)效率，促進(jìn)學(xué)生個性化的全面發(fā)展。

“化難為易，以易解難”也體現(xiàn)了一種篤實(shí)的精神和態(tài)度。正所謂“道不可坐論，德不可空談”，做人做事貴在一個“實(shí)”字?！盎y為易，以易解難”就是一個篤實(shí)的解題過程。

從初遇難題時的無從下手，到“以易解難”時的層層推進(jìn)，外延視野下的解決問題策略學(xué)習(xí)在知識與技能方面對策略的掌握和應(yīng)用有了更高的要求，在過程與方法方面更加注重對難題的簡化和解決過程，在思想態(tài)度和價值觀方面不僅是對學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)，更是一種對成功體驗(yàn)的點(diǎn)燃。外延視野讓孩子更加喜歡解決難題，讓孩子學(xué)會解決難題，更促進(jìn)了學(xué)生的全面發(fā)展。