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        分析法探究平面幾何證明思路示例

        2019-09-10 07:22:44鄭蕾聰張昆
        關(guān)鍵詞:平面幾何分析法教學(xué)設(shè)計(jì)

        鄭蕾聰 張昆

        【摘 要】平面幾何知識(shí)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和理性思維具有其他學(xué)科難以替代的功能。在數(shù)學(xué)課程改革的現(xiàn)階段,出現(xiàn)了平面幾何“推理難教”與“人人能學(xué)”之間的矛盾,學(xué)生難以掌握和適應(yīng)嚴(yán)謹(jǐn)又形式化的推理方法。在學(xué)生入門平面幾何證明時(shí),教師該如何設(shè)計(jì)教學(xué),啟發(fā)學(xué)生習(xí)得探究平面幾何推理論證思路的有效方法,是教師教學(xué)研究的重中之重。分析法能幫助學(xué)生從錯(cuò)綜復(fù)雜的條件中抽離出來,找到一條由未知通向已知的道路。

        【關(guān)鍵詞】平面幾何;教學(xué)設(shè)計(jì);分析法

        【作者簡介】鄭蕾聰,淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院碩士研究生;張昆,中學(xué)高級(jí)教師,現(xiàn)供職于淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院、安徽省淮北市第一中學(xué)(兼職)。 平面幾何知識(shí)具有培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維和理性思維的教育價(jià)值,是義務(wù)教育階段不可替代的優(yōu)質(zhì)課程資源。平面幾何證明要求學(xué)生具有嚴(yán)密的邏輯性,嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z言表述和較強(qiáng)的作圖、識(shí)圖能力,但這些也是很多學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)難以掌握的知識(shí)技能和能力。在學(xué)習(xí)過程中,學(xué)生對(duì)稍復(fù)雜的命題,時(shí)常不能一次性正確解答,需要教師運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法啟發(fā)他們獲得證明思路。其中,分析法在平面幾何推理論證學(xué)習(xí)中應(yīng)用廣泛。因此,本文對(duì)分析法在探究平面幾何命題證明思路中的價(jià)值做了一些探索。

        什么是分析法呢?牛頓在談到分析法時(shí)指出,一般說來,從結(jié)果到原因,從特殊原因到普遍原因,直到論證止于最普遍的原因?yàn)橹?,這就是分析的方法[1]。通俗地說,分析法是“執(zhí)果索因”的方法。張乃達(dá)先生認(rèn)為,分析就是將被研究對(duì)象的整體分為各個(gè)部分、方面、因素和層次,并分別加以考察的認(rèn)識(shí)活動(dòng)[2]12。由此可知,分析是未知向已知的化歸手段,分析法在科學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用在于通過分解、析取等步驟和操作,實(shí)現(xiàn)未知與已知的聯(lián)系,從而為綜合創(chuàng)造條件,達(dá)到認(rèn)識(shí)與創(chuàng)新的目的。分析法的基本思想可歸納為由“未知”(“果”)探求“需知”,這些“需知”構(gòu)成了“中途點(diǎn)”[2]61。如此,環(huán)環(huán)緊扣逐步向前推,直至找到已知條件為止。需要加以說明的是,“需知”形成了新的“果”,這個(gè)“需知”的“果”便作為探究活動(dòng)中的“中途點(diǎn)”,接著再尋求這個(gè)“中途點(diǎn)”產(chǎn)生的原因,從而建立新的“中途點(diǎn)”,由此實(shí)現(xiàn)要證明的結(jié)論對(duì)題設(shè)條件的導(dǎo)向?!爸型军c(diǎn)”的產(chǎn)生往往具有猜想的成分,這正是人的意識(shí)能動(dòng)性在尋求平面幾何證明思路中的有力體現(xiàn)。

        在長期的教學(xué)實(shí)踐中我們認(rèn)識(shí)到,雖然初中生學(xué)習(xí)了很多關(guān)于平面幾何證明的定理(公理)及其邏輯推理,但對(duì)定理的理解很難達(dá)到準(zhǔn)確的程度,對(duì)定理結(jié)構(gòu)層次也難以精確領(lǐng)會(huì)。學(xué)生在應(yīng)用定理(公理)解決問題時(shí),對(duì)問題的把握往往也是混沌一片:分不清命題的題設(shè)和結(jié)論的關(guān)系,作不出比較準(zhǔn)確的幾何圖形等。我們發(fā)現(xiàn),證明命題結(jié)論最終都由已知條件構(gòu)成。但在尋找這些已知條件時(shí),尤其對(duì)于稍微復(fù)雜一點(diǎn)的命題,很少能一擊即中地達(dá)到目的,經(jīng)常要配合所用定理(或公理),先尋找出“需知”,再利用這些“需知”來調(diào)控已知對(duì)結(jié)論的決定性作用[3]。這些都構(gòu)成了平面幾何推理論證入門時(shí)教師施教與學(xué)生學(xué)習(xí)的疑難。

        在探究平面幾何證明思路中,“執(zhí)果索因”分析法是處理信息、探索思路的基本方法之一。學(xué)生掌握了平面幾何基本知識(shí)后,運(yùn)用這些知識(shí)進(jìn)行證明活動(dòng)也不是一蹴而就,它必須有一個(gè)探究、發(fā)現(xiàn)并組織成順應(yīng)邏輯取向的思路活動(dòng)過程。這個(gè)探究活動(dòng)過程的產(chǎn)生在于某些有效思維方法的運(yùn)用。因?yàn)樵诖蠖鄶?shù)情況下,問題的結(jié)論對(duì)于探索活動(dòng)的定向作用更強(qiáng)烈、更有用,所以在平面幾何推理論證的起始學(xué)習(xí)中,分析法是學(xué)生掌握探究證明思路的一種行之有效的方法。

        數(shù)學(xué)教師在平面幾何推理論證入門的教學(xué)中,合理地引入探究平面幾何證明思路的分析法,可以將錯(cuò)綜復(fù)雜的元素關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)楸容^線性化的元素關(guān)系,從而降低學(xué)生需要的邏輯思維強(qiáng)度,減少探究平面幾何證明的思路難度,發(fā)揮平面幾何推理論證知識(shí)的教學(xué)價(jià)值,實(shí)現(xiàn)平面幾何推理論證知識(shí)的教學(xué)目標(biāo)。分析法對(duì)于教師施教和學(xué)生學(xué)習(xí)平面幾何學(xué)的相關(guān)知識(shí)都有更大的教學(xué)效益。因此,本文通過一個(gè)典型的教學(xué)課例,探討分析法在探究平面幾何命題證明思路教學(xué)中的作用。

        陸游詩曰:“紙上得來終覺淺,絕知此事要躬行?!辟嫡Z云:“理在用中方知妙?!痹跀?shù)學(xué)課堂教學(xué)活動(dòng)中,理論說教往往是蒼白的,因此教師在探究平面幾何推理論證解題思路時(shí),一定要選擇典型的例題與習(xí)題,通過分析學(xué)情,有效作用于學(xué)生心理,從而經(jīng)由學(xué)習(xí)活動(dòng)促使學(xué)生形成基本的探究方法,獲得相應(yīng)探究思路的幾何觀念。下面是一個(gè)課堂教學(xué)活動(dòng)中的例子(省略號(hào)表示學(xué)生思維活動(dòng)的暫時(shí)中斷)。

        師:同學(xué)們,對(duì)于這道題的證明,我們先采用了由因?qū)Ч木C合法,但沒有成功。后來我們換了思路從問題的結(jié)論出發(fā),一步一步追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的原因(條件、“替身”),直到論證止于最普遍的原因(條件、“替身”),最終成功地證明了這個(gè)命題。像這樣“執(zhí)果索因”探究證明思路的方法叫分析法。在多數(shù)情況中,分析法常運(yùn)用于探究平面幾何命題的證明思路。同時(shí),由于同一問題的結(jié)論可能由很多原因(條件)導(dǎo)致,因此我們還要考慮如何迅速確定或縮小探索范圍??偠灾蠹乙ㄟ^這次證明思路的探究活動(dòng)過程,好好體會(huì)分析法的價(jià)值。

        在尋找平面幾何證明思路時(shí),遇到稍微復(fù)雜的題設(shè)條件,便需要獲得這些條件之間恰如其分的配合形式,這對(duì)學(xué)生來說是一件不容易做好的事情,需要教師的有效幫助。平面幾何命題證明入門較難,原因主要在于有的教師沒有找到有效的教學(xué)方法。

        我們說,教學(xué)是藝術(shù),不是科學(xué)?,F(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)理念提倡“以人為本”,因此教師在設(shè)計(jì)、實(shí)施課堂教學(xué)方案或組織各類教學(xué)活動(dòng)時(shí),要站在學(xué)生的心理角度思考問題,要不斷地對(duì)自己提問:這樣教學(xué)能引導(dǎo)學(xué)生積極參與到學(xué)習(xí)的過程中嗎?能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的價(jià)值嗎?能使學(xué)生愿意學(xué)、喜歡學(xué),對(duì)數(shù)學(xué)感興趣嗎?探究平面幾何證明思路的分析法是在這種師生、生生對(duì)話之間萌生的,是學(xué)生在教師和學(xué)生的相互啟發(fā)下實(shí)現(xiàn)的。平面幾何命題證明是培養(yǎng)學(xué)生理性思維的重要環(huán)節(jié)之一。教師在教學(xué)研究中,要對(duì)重難點(diǎn)認(rèn)真深入思考,引導(dǎo)學(xué)生分析、探究,透過圖形的表象發(fā)現(xiàn)圖形某些關(guān)系的本質(zhì),使學(xué)生的幾何推理論證思維結(jié)構(gòu)不斷形成。

        參考文獻(xiàn):

        [1] 章士嶸.科學(xué)發(fā)現(xiàn)的邏輯[M].北京:人民出版社,1986.

        [2]張乃達(dá).數(shù)學(xué)思維教育學(xué)[M].南京:江蘇教育出版社,1990.

        [3]張昆,張乃達(dá).探究輔助線方法的教學(xué)設(shè)計(jì)研究:平面幾何命題證明入門教學(xué)的視點(diǎn)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志,2017(4):9-12.

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