劉剛

摘 要：初中幾何教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題中提供的具有特征性的條件建立適當?shù)臄?shù)學(xué)模型是一項重要內(nèi)容，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點?！缎抡n程標準》提出要培養(yǎng)學(xué)生的六大核心素養(yǎng)，其中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力是一項重要的內(nèi)容。圍繞“K”字型這一常見的數(shù)學(xué)模型筆者談?wù)勛约涸诮虒W(xué)中的一點想法。

關(guān)鍵字：數(shù)學(xué)建模;“K”字型;全等;相似

2018年揚州市中考數(shù)學(xué)試卷中有這樣一道試題（如圖1），四邊形OABC是矩形，點A的坐標為（8，0），點C的坐標為（0，4），把矩形OABC沿OB折疊，點C落在點D處，則點D的坐標為? ? ? ? ?.

本題是一道有關(guān)折疊的問題，由折疊的性質(zhì)得到一對角相等，再由矩形對邊平行得到一對內(nèi)錯角相等，等量代換及等角對等邊得到BE=OE（如圖2），利用AAS得到三角形OED與三角形BEA全等，由全等三角形對應(yīng)邊相等得到DE=AE，過D作DF垂直于OE，利用勾股定理及面積法求出DF與OF的長，即可確定出D坐標.

解法一：由折疊得∠CBO=∠DBO

∵矩形ABCO，∴BC∥OA，∴∠CBO=∠BOA，∴∠DBO=∠BOA，∴BE=OE

在△ODE和△BAE中

∴△ODE≌△BAE（AAS），∴AE=DE

設(shè)DE=AE=x，則有OE=BE=8-x

在Rt△ODE中，根據(jù)勾股定理得：42+（8-x）2=x2

解得x=5，即OE=5，DE=3，過D作DF⊥OA.

∵S△OED=OD·DE=OE·DF

∴DF=，OF=

則D（，-）.故答案為（，-）

本題在學(xué)習(xí)“三角形全等”和“勾股定理”等知識時都曾經(jīng)出現(xiàn)過，對于本題大部分學(xué)生并不陌生。與以往的呈現(xiàn)形式不同的地方在于此題把一個矩形放在了平面直角坐標系的背景之下，把原來求線段長的問題變化成了求點的坐標的問題。細細品味此題，也可以從其他角度探尋解題的辦法。

解法二：過D點作DF垂直于y軸交BA的延長線于G點（如圖3）

∵∠CDB=∠OCB=90°

∴∠ODF+∠BDG=90°

易證得△ODF相似于△DBG

∴OF∶DG=DF∶BG

設(shè)OF=m，DF=n，∴m∶（8-n）=n∶（4+m）

又∵m2+n2=OD2=16，易求得m=2.4，n=3.2.

∴D點坐標為（，-）

本題采用的第二種解題方法是從三角形相似的角度入手，而建立三角形相似關(guān)系的關(guān)鍵因素是利用了幾何知識中的一個基本圖形——“K”字型。初中數(shù)學(xué)教材中有很多數(shù)學(xué)模型，“K”字型是其中的一種重要模型。這種數(shù)學(xué)模型常常出現(xiàn)在“三角形全等”和“三角形相似”的解題中，有時也在平面直角坐標系的數(shù)形結(jié)合問題中有所應(yīng)用。《新課程標準》提出要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，其中重要的一點就是數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)。熟練掌握這種基本圖形不但對提高學(xué)生的解題能力有很大的幫助，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也有很大的幫助。

初中幾何中的“K”字型問題具有一些典型特征，熟練掌握這些特征對學(xué)生更好地分析問題、解決問題有所幫助。應(yīng)該引起注意的是“K”字型中具有“一線三等角”的基本要素。如圖4，∠1=∠2=∠3，且它們的頂點在直線AB上，這就是“K”字型模型。在“一線三等角”的條件下可以得到△AEC∽△BCF，這為利用這一數(shù)學(xué)模型解決其他邊角之間的關(guān)系提供了便利。

上題中出現(xiàn)了∠OFD=∠ODB=∠DGB=900這種數(shù)學(xué)模型的特殊情況，這種特殊情況也是實際解題中出現(xiàn)得最多的，應(yīng)作為學(xué)生理解掌握的重點。特殊條件下，“K”字型模型演變成了圖5所示的情況，如圖，B、C、E三點共線，∠B=∠ACD=∠E=90°，易證得：△ABC∽△CED。這是初中數(shù)學(xué)中最常見的“K”字型模型的形態(tài)。

在一定的條件下，“K”字型相似問題可以轉(zhuǎn)化為“K”字型全等問題。

例1：如圖6，將等腰直角放在直角坐標系中， 其中∠B=90°，點A（8，4）、B（0，10），求AB的長及點C的坐標。

本題如果去掉平面直角坐標系的問題背景，實際就是等腰直角三角形ABC的直角頂點B在一條直線上進行旋轉(zhuǎn)，在三角形ABC旋轉(zhuǎn)的過程中，它的形狀、大小不變，體現(xiàn)在三角形ABC中線段AB、BC、AC的長度不變，∠ABC、∠A、∠C的度數(shù)不變。在三角形旋轉(zhuǎn)的過程中也有發(fā)生改變的元素，如三角形位置會發(fā)生改變，在位置改變的過程中又會帶來新的變與不變的量。如圖7中，作線段AD、CE垂直于x軸，D、E為垂足。在三角形ABC旋轉(zhuǎn)的過程中，線段AD、BD、BE、CE的長度會隨著三角形ABC的位置改變而改變，但是在一定條件下三角形ABD與三角形BCE又始終保持全等，這也是本題求解的關(guān)鍵。再回看圖2，可以發(fā)現(xiàn)本題由在平面直角坐標系中求點的坐標的問題演變成了“K”字型全等的問題。

在分析本題的過程中讓學(xué)生充分發(fā)掘圖形中變與不變的量，把握住問題的關(guān)鍵有利于學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)，提高學(xué)生利用基本圖形解決問題的能力。

例2：如圖8，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC>BC，BD平分∠ABC，點E在BC，∠EDB=45°，BE=5CE，CD=3，求AB的長。

相對上題，本題所給的條件較為抽象，但∠BDE=45°給我們留下了想象的空間。充分利用這個45°角構(gòu)造等腰直角三角形可以為我們打開解題思路。如圖9，過E點作EF垂直于DE交DB于F點，過F點作FH垂直于BC，H為垂足，這樣就可以構(gòu)造出“K”字型全等的基本圖形，利用△DCE與△EHF的全等關(guān)系解決問題。

前面所選用的幾個例題中，三等角都是以直角的面貌呈現(xiàn)，都是“K”字型模型中的特殊情況，也是較為常見的形態(tài)。但是作為一種重要的數(shù)學(xué)模型，我們也會遇到非直角的三等角的情況，而這些題型更應(yīng)引起我們的重視。

例3：如圖10，等邊三角形ABC中，D點是線段AB中點，若∠EDF=60°，AB=6，AF=2，求線段BE的長。

本題中，條件“等邊三角形ABC”隱含地告訴我們，∠A、∠B都等于60°，結(jié)合條件∠EDF=60°，本題具備了“K”字型問題中“一線三等角”的基本條件。

例4：如圖11，等腰直角三角形ABC中，D點在線段AB上，且AD=DB，若∠EDF=45°，AF=3，BE=4，求AB的長。

與例3類似，本題中條件“等腰直角三角形ABC”間接地告訴我們圖中∠A、∠B都等于45°，結(jié)合條件∠EDF=45°，本題同樣具備了“一線三等角”的基本要素。

例5：（1） 如圖12，已知在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E，證明：DE=BD+CE.

（2）如圖13，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a，其中a為任意銳角或鈍角，請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明，若不成立，請說明理由。

（3） 拓展與應(yīng)用：如圖14，D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點（D、A、E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀。

例5是“K”字型問題的一個綜合性問題，本題中三個問題從特殊到一般層層遞進，充分體現(xiàn)了綜合性幾何問題是由簡單問題、基礎(chǔ)性問題構(gòu)成的特點。

以上這幾個題目，選取的都是初中數(shù)學(xué)中比較常見的類型，而在實際解題中，這一類型的問題也時常出現(xiàn)在矩形、等腰梯形等不同的問題背景之下，本文不一一列舉。要判斷這些問題是否屬于“K”字型這種數(shù)學(xué)模型，就要仔細分析題中是否具備“一線三等角”的基本要素。如果屬于“K”字型問題，往往可以利用圖中隱含的三角形相似或三角形全等來解決問題。

任何一個復(fù)雜的幾何圖形都是由基本圖形構(gòu)成的，要能夠從紛繁復(fù)雜的幾何圖形中找到解決問題的辦法，就需要我們對初中幾何中一些基本模型有清晰的認識，能夠從復(fù)雜圖形中離析出基本圖形，這對培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力將會有很大的幫助。