占紅梅

【教學(xué)背景】

《雞兔同籠》是北師大版五年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)好玩”《嘗試與猜測(cè)》的內(nèi)容，是一節(jié)探究活動(dòng)課。教材借助“雞兔同籠”這個(gè)問題載體，讓學(xué)生采用列表法，經(jīng)歷猜測(cè)、驗(yàn)證、列舉、嘗試和不斷調(diào)整的過程，并體會(huì)并掌握解決問題的一般策略——列表，讓學(xué)生主動(dòng)地從數(shù)學(xué)角度選擇并優(yōu)化正確的方法與策略來解決問題，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，而不是讓學(xué)生為了解決雞兔同籠問題的本身而學(xué)習(xí)本節(jié)課。

基于以上分析，我認(rèn)為本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)思想和方法的選擇對(duì)解決問題的重要性，并讓學(xué)生體會(huì)到列舉的過程也是不斷調(diào)整策略、適度優(yōu)化的過程，而這個(gè)過程關(guān)鍵點(diǎn)是要引導(dǎo)學(xué)生找到雞兔只數(shù)的變化規(guī)律，并適度進(jìn)行調(diào)整。從這個(gè)角度看，依標(biāo)扣本是基礎(chǔ)，優(yōu)化提升才是內(nèi)涵?！笆聦?shí)勝于雄辯?！痹趯?shí)際的教學(xué)中，學(xué)生已經(jīng)能用列表法解決問題且不能滿足其內(nèi)需，并對(duì)假設(shè)法另有獨(dú)鐘，于是教者適度破冰，隨機(jī)滲透假設(shè)法，深度建構(gòu)“總量÷每份量=份數(shù)”基本數(shù)學(xué)模型，從而提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【教學(xué)實(shí)踐】

教學(xué)素材：

1.自主嘗試，體驗(yàn)基本策略

師：想一想，要解決這個(gè)問題可以用什么方法？

生1：我只能湊一湊，比如10只雞，25只兔，可是足有120只。所以不對(duì)。

生2：我也湊了湊，10只兔，25只雞，可是足只有90只。

師：復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，咱們可以從最簡(jiǎn)單直接的方式入手。想法不錯(cuò)。如果把這些可能出現(xiàn)的情況都展示出來，你會(huì)想到什么方法？

生1：可以列出表格展示.

生2：這樣太麻煩，因?yàn)閺念}目給出的數(shù)字上看，我覺得像1只雞和34只兔的情況可以省略，不需要列表了。

師：選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)字列表，也是一種明智的選擇。

教師此時(shí)建議學(xué)生自主選擇列表方式嘗試策略后小組匯報(bào)如下。

策略一：逐一列表法? ? 策略二：跳躍列表法? 策略三：取中列表法

那大家請(qǐng)同學(xué)們把自己的想法在小組內(nèi)交流一下，看那個(gè)小組的方法更好：

小組1：先假設(shè)有1只雞，34只兔子，腳就有138只。腳太多，繼續(xù)假設(shè)有2只雞，33只兔子，腳還是太多了。一直試下去，自然就得到了有23只雞，12只兔子。

小組2：假設(shè)有1只雞，34只兔子，我們發(fā)現(xiàn)腳太多，說明兔子多了，所以我們覺得沒有必要逐一嘗試，就直接跳到10只雞，25只兔。在經(jīng)過調(diào)整，得到了23只雞，12只兔。

小組3：我們先假設(shè)雞兔約各占一半，雞有17只，兔子18只，然后再進(jìn)行了三次調(diào)整，就得到答案了，這樣既簡(jiǎn)約又明了。

2.引導(dǎo)觀察，直取變化之本

師：都采用了列表法，這三種列表的方法有什么不同呢？

生1：我認(rèn)為第一小組的列表方法的特點(diǎn)是逐一列表，這樣不容易遺漏答案。

生2：雖說第一小組的方法可以完全地列出全部的答案，但比較麻煩。我認(rèn)為第三組的方法比較好，可以根據(jù)題目的根據(jù)情況，確定假設(shè)的范圍，這樣可以很快尋找到需要的答案。

師：這兩位同學(xué)說得都很有道理，其實(shí)同樣選擇列表的方法，我們因根據(jù)題目的實(shí)際條件，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ@樣可以既快又準(zhǔn)確地尋找到我們需要的答案。但如果我們要探究腳的只數(shù)的變化規(guī)律，選擇哪種表格更有優(yōu)勢(shì)呢？

生：第一個(gè)表格看起來更為清楚一些！

教師讓學(xué)生認(rèn)真觀察表格一中雞兔只數(shù)的變化趨勢(shì)，并結(jié)合這個(gè)趨勢(shì)思考腳的數(shù)目的變化的規(guī)律。

生：發(fā)現(xiàn)雞每次多一只，兔少一只，腳的數(shù)目就會(huì)少2。

師提出，為什么少2呢？

此時(shí)組織學(xué)生積極討論，并得出共識(shí)：因?yàn)橥糜?只腳，雞有2只腳，雞多一只，兔少一只，腳的數(shù)量自然就減少2只。

3.動(dòng)手操作，深度演繹模型

師及時(shí)點(diǎn)撥：雞的只數(shù)增多，兔的只數(shù)減少，腳的數(shù)目就在減少。那么在什么情況下腳的數(shù)目就最少？一共少了多少只腳呢？

學(xué)生操作：用35個(gè)圓片暫代雞頭，用94小棒暫代雞腳，進(jìn)行操作。展示如下：

生匯報(bào)結(jié)果：用去70根小棒，余下24只小棒。

師及時(shí)提出：為什么會(huì)余下小棒？余下的小棒該怎么辦？

于是學(xué)生建議，雞換成兔，繼續(xù)操作，添加小棒，展示如下：

生匯報(bào)結(jié)果：兔12只，雞23只，腳沒有剩余。

到此時(shí)，學(xué)生興奮地說：這35個(gè)頭，23個(gè)是雞，12只是假雞。

4.破冰取道，提煉模型內(nèi)涵

師：這個(gè)擺小棒的過程，你能用列算式的方式把它表達(dá)出來么？

生1：35×2=70（只）;94-70=24（只）

24÷2=12（只）;35-12=23（只）

生2：（90-35×2）÷（4-2）=24÷2=12

35-12=23（只）

師繼續(xù)讓學(xué)生說一說想法與每一步的含義……

師：這種方法，其奧妙源自于我們剛開始的列表方法。我們?cè)诹斜砗筒僮鬟^程中提取了哪些關(guān)鍵信息？

生1：知道了腳每次少2只的原因。

生2：通過假設(shè)，我們知道了一共多出了24只腳。

師在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上及時(shí)總結(jié)：多的總數(shù)÷多的每份數(shù)=份數(shù)。

師繼續(xù)拓展：同學(xué)們，如果我們假設(shè)這35個(gè)頭都是“兔子”的頭，你能找的其中的假兔子——雞嗎？

生：行！

學(xué)生興高采烈地在本子上畫著，算著，教學(xué)繼續(xù)進(jìn)行……

【教后感悟】

一、依趣而行是探究知識(shí)的最大動(dòng)力

興趣是最好的老師，也是學(xué)習(xí)的最大動(dòng)力?！半u兔同籠”這一課，學(xué)生嘗試列表的方法解決了這個(gè)問題后，覺得這種方法湊起來較麻煩，當(dāng)有一個(gè)同學(xué)用列舉法解決這個(gè)問題時(shí)，讓他們耳目一新，產(chǎn)生了好奇和興趣，于是就有了探究的欲望，就有了學(xué)習(xí)的動(dòng)力。

二、自主動(dòng)手是解決問題的最好策略

我們?cè)谟眉僭O(shè)法解決問題的時(shí)，出現(xiàn)了瓶頸，就是當(dāng)我們假設(shè)全部是雞時(shí)，少了的足是誰的足這個(gè)問題學(xué)生搞不清楚;或者假設(shè)都是兔子，多了的足是哪兒多出來的，學(xué)生理解起來有點(diǎn)困難。這個(gè)時(shí)候，用畫圖的方法：畫出35個(gè)圓圈代表雞頭，共話70條腿，剩下的24條腿逐一添上，添上的12只假雞就是兔子，這樣讓學(xué)生理解起來就容易得多，可以說是茅塞頓開。

三、直觀可視是體悟思想的最佳途徑

“數(shù)無形，少直觀，形無數(shù)，難入微”。一直以來，學(xué)生用假設(shè)法解決“雞兔同籠”最大的困難是由于已知條件的隱匿性，學(xué)生不能抽象出數(shù)學(xué)模型。挖掘隱匿條件，并讓其完成可視化的蛻變就是本節(jié)課教者試圖破冰的著力點(diǎn)。荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾認(rèn)為，“學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)就是經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過程，就是把數(shù)學(xué)研究對(duì)象的某些特征進(jìn)行抽象，用數(shù)學(xué)語言、圖形或模式表達(dá)出來，建立數(shù)學(xué)模型?！睘橥诰螂[含數(shù)量與已知條件的本質(zhì)關(guān)系，教者引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“尋找規(guī)律—符號(hào)呈現(xiàn)—分析本質(zhì)—建構(gòu)模型”的過程，使復(fù)雜的問題本質(zhì)化、一般化，最終將此類問題歸結(jié)到“多余數(shù)量÷每份多余數(shù)=份數(shù)”，即“數(shù)量÷每份數(shù)=份數(shù)”這一基本數(shù)學(xué)模型上，數(shù)量讓同類問題的解決有了共同的程序與方法，可以使模型得到的鞏固、擴(kuò)展，從而促進(jìn)知識(shí)的內(nèi)化、思想的升華。