周繼振 張曉亮 許峰

【摘要】本文指出了高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限的幾種常見(jiàn)錯(cuò)誤，分析了產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因，并給出了應(yīng)用等價(jià)無(wú)窮小求極限的條件.

【關(guān)鍵詞】無(wú)窮小;等價(jià)無(wú)窮小代換;極限

【基金項(xiàng)目】安徽省教育廳省級(jí)質(zhì)量工程支持：2020jyxm0440.

等價(jià)無(wú)窮小代換是高等數(shù)學(xué)中求極限的一個(gè)有效且重要的方法，也是學(xué)生需要掌握的重點(diǎn)內(nèi)容，其在考研和數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn).然而，看似簡(jiǎn)單的等價(jià)無(wú)窮小代換也有很多陷阱，若學(xué)生對(duì)使用等價(jià)無(wú)窮小代換的條件不能夠深入理解，則極易出現(xiàn)各種錯(cuò)誤.本文將分析使用等價(jià)無(wú)窮小代換時(shí)出現(xiàn)的常見(jiàn)錯(cuò)誤以及原因.首先來(lái)回憶一下相關(guān)概念.

定義1若limx→0 f（x）=0，則稱當(dāng)x→0時(shí)，f（x）為無(wú)窮小.

定義1中的極限過(guò)程x→0可以換為其他極限過(guò)程，例如x→∞ 或x→1+ ，根據(jù)定義1，易得1[]n（n→∞），x2（x→0），1[]x-1（x→∞）均為無(wú)窮小.本文的極限過(guò)程總以x→0為代表.

定義2設(shè)limx→0 α=limx→0 β=0，若limx→0βα=C，則稱x→0時(shí)，α與β是同階無(wú)窮小.若C=1，則稱x→0時(shí)，α與β是等價(jià)無(wú)窮小，記為α～β.

根據(jù)高等數(shù)學(xué)中的兩個(gè)重要極限，易得當(dāng)x→0時(shí)，sin x～x，ln（1+x）～x.等價(jià)無(wú)窮小的重要性體現(xiàn)在下面的定理上.

定理1設(shè)α～α′，β～β′，x→0，且limx→0 β′[]α′存在，則

limx→0βα=limx→0β′α′.

該定理的證明在高等數(shù)學(xué)教科書上能查到，在此證明省略.應(yīng)用定理1時(shí)，大多是省略驗(yàn)證條件limx→0β′α′存在.下面通過(guò)一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明在求解極限時(shí)如何使用定理1.

例1求極限limx→01+xsin x-1ex2-1.

解因?yàn)?+x-1～x2，ex-1～x，x→0，故

limx→01+xsin x-1ex2-1=limx→012xsin xx2=12limx→0sin xx=12.

那么在使用的過(guò)程中學(xué)生容易犯的錯(cuò)誤是什么呢？或者需要注意的地方有哪些呢？

一、加減運(yùn)算中不可用等價(jià)無(wú)窮小代換，同階不等價(jià)無(wú)窮小可以用等價(jià)無(wú)窮小代換

例2求極限limx→0x-sin xsin 3x .

該題的常見(jiàn)錯(cuò)誤是分子直接用等價(jià)無(wú)窮小sin x～x，x→0代換，從而得出錯(cuò)誤結(jié)論，即

limx→0x-sin xsin 3x=limx→0x-xx3=limx→00x3=0.

正解根據(jù)泰勒公式，易得sin x=x-13！x3+ox3，故

limx→0x-sin xsin 3x=limx→0x-x-13！x3+ox3x3=limx→013！x3-ox3x3=16.

例3求極限limx→0cossin x-cos xx4.

請(qǐng)讀者指出下面的解題過(guò)程錯(cuò)在哪里.

limx→0cossin x-cos xx4=-2limx→0sin sin x+x2sin sin x-x2x4

=-limx→0（sin x+x）（sin x-x）2x4

=limx→0x2-sin 2x2x4=limx→0x-sin xcos x4x3

=limx→0x-sin x4x3=124.

上面倒數(shù)第二步作等價(jià)無(wú)窮小代換sin xcos x～sin x，x→0是錯(cuò)誤的，在這里繼續(xù)用洛必達(dá)法則就可得出正確結(jié)論.

正解接上面解題過(guò)程的第三步可得

limx→0cos（sin x）-cos xx4=limx→0x2-sin 2x2x4

=limx→0x-sin xcos x4x3

=limx→01-cos 2x+sin 2x12x2

=16.

在加減運(yùn)算中，什么條件下可以用等價(jià)無(wú)窮小代換呢？下面的定理2給出了回答.

定理2設(shè)α～α′，x→0，limx→0α-α′γ=0且limx→0α′-βγ存在，則

limx→0α-βγ=limx→0α′-βγ.

證明利用極限的運(yùn)算法則，直接展開(kāi)計(jì)算得

limx→0α-βγ=limx→0α-α′γ+α′-βγ

=limx→0α-α′γ+limx→0α′-βγ

=limx→0α′-βγ.

定理證畢.

條件limx→0α-α′γ=0也可以記為α-α′=o（γ），即α-α′為γ的高階無(wú)窮小.

例3中，顯然limx→0sin x-sin xcos x4x3=limx→0sin x1-cos x4x3=18，

不符合定理2的條件.

例4求極限limx→0x-sin xcos x4x2.

解因?yàn)閘imx→0sin x-sin xcos x4x2=limx→0sin x1-cos x4x2=limx→01-cos x4x=0，故可用等價(jià)無(wú)窮小代換sin xcos x～sin x，x→0，得

limx→0x-sin xcos x4x2=limx→0x-sin x4x2=0.

二、復(fù)合函數(shù)的中間變量不可用等價(jià)無(wú)窮小代換

這里以高等數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的未定型為例.

例5求limx→0sin xx1x2.

解limx→0sin xx1x2=limx→01+sin x-xxxsin x-xsin x-xx3=explimx→0sin x-xx3=e-16.

若這里采用等價(jià)無(wú)窮小來(lái)化簡(jiǎn)計(jì)算，則得如下的錯(cuò)誤結(jié)論：

limx→0sin xx1x2=limx→0xx1x2=1.

下面分析上面的錯(cuò)誤解法到底錯(cuò)在哪里.

定理3α～α′～β，x→0，limx→0f（x）=∞，limx→0αα′f（x）=1且limx→0α′βf（x）存在，則

limx→0αβf（x）=limx→0α′f（x）.

證明注意到

αβf（x）=αα′×α′βf（x）=αα′f（x）×α′βf（x），

從而

limx→0αβf（x）=limx→0αα′f（x）×limx→0α′βf（x）=limx→0α′βf（x）.

定理證畢.

根據(jù)定理3，得limx→0αβf（x）不能代換為limx→0α′βf（x）的原因是limx→0αα′f（x）=1未必成立.易驗(yàn)證例5不滿足定理3的條件，見(jiàn)例5的正解過(guò)程.請(qǐng)讀者驗(yàn)證limx→0sin xx1x可以作等價(jià)無(wú)窮小代換sin x～x，x→0.

類似于定理3，可得00型也可用等價(jià)無(wú)窮小代換.

推論1設(shè)α～α′，x→0，limx→0 β=0且limx→0 βln? α′存在，則

limx→0 αβ=limx→0 α′β.

證明注意到

αβ=expβln α=expβln αα′+ln α′，

從而

limx→0 αβ=explimx→0 βln α=explimx→0βln αα′+ln α′

=explimx→0 βln? α′=limx→0 α′β.

定理證畢.

例6求limx→01-cos xx.

解limx→01-cos xx=limx→0x22x=limx→01xlimx→0x2x=explimx→0 2xln x=0.

三、遇零不可用等價(jià)無(wú)窮小代換

在定理1中，當(dāng)x→0時(shí)，limx→0 α=0，切記，當(dāng)x≠0 時(shí)，則α≠0.

例7指出

limx→0sinx2sin 1[]x[]x=limx→0x2sin1[]x[]x=limx→0 xsin 1[]x=0的錯(cuò)誤，并給出正確解法.

解令xn=1nπ，則x2nsin 1xn=0，sin x2sin 1x～x2sin 1x，x→0錯(cuò)誤，正解如下.

顯然，

sin x2sin 1x=sin x2sin 1x≤x2sin 1x≤x2，

故對(duì)ε>0，取δ=ε，當(dāng)0<|x|<δ時(shí)，

有sin x2sin 1xx=x2x≤|x|<δ=ε，

從而limx→0sin x2sin 1xx=0.

上述幾種利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限的方法，學(xué)生容易出錯(cuò)的原因是沒(méi)有理解等價(jià)無(wú)窮小以及等價(jià)無(wú)窮小代換在乘除中的應(yīng)用，個(gè)別題目在滿足一定的條件下，加減和復(fù)合運(yùn)算中也可以使用等價(jià)無(wú)窮小代換，但是條件驗(yàn)證較為復(fù)雜，這里不推薦使用.

【參考文獻(xiàn)】

[1]許峰，范自強(qiáng).高等數(shù)學(xué)：上[M].北京：人民郵電出版社，2016.

[2] 趙瓊.用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限的兩個(gè)誤區(qū)[J].高等數(shù)學(xué)研究，2009，12（5）： 17-18.

[3] 國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽指導(dǎo)組.大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽指導(dǎo)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2009.