陳垌滿

【摘要】 ?豐富學(xué)生解題思路，提升學(xué)生解題能力，能夠促進(jìn)學(xué)生解題效率及整體成績(jī)的提升。本文對(duì)數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行了闡述，明確了數(shù)形結(jié)合思想常用的解題范圍，并根據(jù)解題要點(diǎn)，給出具體的應(yīng)用實(shí)例，為初中數(shù)學(xué)教育工作提供參考。

【關(guān)鍵詞】 ?數(shù)形結(jié)合 初中數(shù)學(xué) 教學(xué)應(yīng)用

【中圖分類號(hào)】 ?G633.6 ? ? ? ? ? ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 ?A ? 【文章編號(hào)】 ?1992-7711（2019）02-102-02

前言

隨著新課改的推進(jìn)，初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)學(xué)生的解題技能提出了更多要求，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想能夠有效提升解題效率，鍛煉解體思維，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)成果及綜合素質(zhì)的共同提升。

一、數(shù)形結(jié)合的思想概述

數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究中最為古老和基礎(chǔ)的對(duì)象，在一定情況下，可以實(shí)現(xiàn)數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化。常規(guī)的初中階段數(shù)學(xué)研究被分為數(shù)、形兩大部分進(jìn)行獨(dú)立研究，而數(shù)與形之間又存在必然的聯(lián)系，將數(shù)與形進(jìn)行結(jié)合研究，將其成為數(shù)形結(jié)合。數(shù)形結(jié)合的研究分為兩種情形，一種是應(yīng)用數(shù)字精準(zhǔn)的屬性闡述形的特征，另一種則是應(yīng)用形的直觀來闡述數(shù)字之間的關(guān)系，簡(jiǎn)單的講二者關(guān)系理解為“以數(shù)述形”或是“以形表數(shù)”。

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾用一句話總結(jié)了數(shù)形結(jié)合理念關(guān)系，即“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”由此可以看出應(yīng)用數(shù)形結(jié)合有利于數(shù)學(xué)研究，而在研究中不能將數(shù)形單獨(dú)區(qū)分進(jìn)行研究。數(shù)形結(jié)合將精準(zhǔn)的數(shù)字、抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系相結(jié)合，將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化、表象問題深入化、抽象問題具體化，從而簡(jiǎn)化學(xué)生解題路徑，深化教師數(shù)學(xué)研究。

二、初中階段數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用范圍

數(shù)形結(jié)合的理念廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)工作中，數(shù)形結(jié)合的解題思路是數(shù)學(xué)教學(xué)中的主要工作之一，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思路能夠解決集合、函數(shù)、方程式、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、立體幾何、絕對(duì)值、分?jǐn)?shù)應(yīng)用等多種類型的題目。以函數(shù)、方程、不等式和三角函數(shù)為例，將數(shù)形結(jié)合應(yīng)用于函數(shù)運(yùn)算當(dāng)中，借助圖像來表現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)，將函數(shù)圖像的幾何特征與數(shù)量特征充分結(jié)合利用;在解答方程式與不等式的過程中，可以將方程問題看作是兩個(gè)函數(shù)圖像的交集，將不等式的計(jì)算應(yīng)用數(shù)形結(jié)合從題目條件即結(jié)論著手，聯(lián)系相關(guān)函數(shù)，重點(diǎn)突出幾何意義，應(yīng)用圖像尋找不等式的求解思路;數(shù)形結(jié)合思想是三角函數(shù)問題處理最重要、有效的解答辦法，在解答三角函數(shù)問題時(shí)，數(shù)形結(jié)合應(yīng)用在單調(diào)區(qū)間、函數(shù)值大小問題的解答，借助單位圓或三角函數(shù)的圖像進(jìn)行處理。

三、數(shù)形結(jié)合在初中教學(xué)中的具體應(yīng)用

（一）數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用要點(diǎn)

1.數(shù)形結(jié)合是在解答數(shù)學(xué)問題中常用的解題思想，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想的解答過程們能夠使抽象的問題更加直觀、具體，使學(xué)生對(duì)于問題的理解更加直觀、深入，從而把握該問題的本質(zhì)及出題人的考察用意;應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法，促進(jìn)解題效率及質(zhì)量的提升，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情也會(huì)在某種程度上得到提升。

2.數(shù)形結(jié)合，是根據(jù)數(shù)與形的聯(lián)系，通過數(shù)形的相互轉(zhuǎn)化以解決部分較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，要實(shí)現(xiàn)數(shù)形集合，會(huì)應(yīng)用到以下幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)：1.實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系;2.函數(shù)與圖像的關(guān)系;3.曲線與方程的關(guān)系;4.幾何與幾何參數(shù)的關(guān)系等。

3.從歷年的中考、高考試題來看，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思維，能夠解決大部分考試中的難題難點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生解題能力和成績(jī)的提升。

4.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想能夠直觀的發(fā)現(xiàn)解體的突破口，將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，減少解題步驟和計(jì)算過程，從而降低疏漏發(fā)生的機(jī)率，提升解題效率，在考試中又更多的時(shí)間對(duì)必拿分的題目進(jìn)行反復(fù)檢測(cè)，促進(jìn)分?jǐn)?shù)整體提升。

（二）初中數(shù)學(xué)階段數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的距離說明

數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用廣泛，本文以圖形證明問題、函數(shù)問題及不等式問題為例，距離說明數(shù)形結(jié)合在初中階段數(shù)學(xué)教學(xué)工作中的應(yīng)用。

1.圖形證明問題

初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，圖形證明題是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，例如要證明兩個(gè)三角形全等，常規(guī)的解決方法是畫輔助線，將輔助線作為解答的突破口，但在解答過程中，部分學(xué)生因?yàn)槌橄笏季S、幾何思維較為薄弱，不會(huì)應(yīng)用輔助線或輔助線不準(zhǔn)確，此類問題就難以解答，在考試中是丟分項(xiàng)。面對(duì)此問題教師可以引入數(shù)形結(jié)合思想，以圖形教育為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生思維發(fā)散，通過引導(dǎo)學(xué)生逐漸在腦中形成“烙印”，逐漸對(duì)該類題型形成思維定式，意識(shí)到輔助線在問題解答中的意義。在此情況下，學(xué)生遇到該類型問題時(shí)，第一反應(yīng)就是應(yīng)用輔助線，并根據(jù)題型積累，快速敲定輔助線的位置。

例1：應(yīng)用圖形的幾何意義證明完全平方公式

證明：將邊長(zhǎng)為a的正方形增加邊長(zhǎng)b，形成兩個(gè)正方形與矩形，具體如圖1所示。

∵此圖形的面積可以表示為（a+b）2或a2+2ab+b2

∴（a+b）2=a2+2ab+b2

根據(jù)此因果關(guān)系可以炎癥兩數(shù)之和的完全平方公式。

類比解決：

在課堂上教師可以引導(dǎo)學(xué)生類比此方法，應(yīng)用圖形幾何意義證明平方差公式，要求以圖形表示并明確推理過程。

提問：如何應(yīng)用圖形幾何意義證明：13+23=32？

如圖2所示，一個(gè)A的面積以1×1×1=13表示

B的面積是正方形以2×2表示，而CD可以組成一個(gè)正方形面積以2×2表示，因此BCD三個(gè)區(qū)域的面積總和可以看作是2個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，表示為2×2×2=23，而圖2整個(gè)面積總和可以看作是一個(gè)邊長(zhǎng)為1+2的正方形，則面積表示為3×3=32.由此可以得出結(jié)論13+23=32.

以此類推，學(xué)生繼續(xù)探究 13+23+33=？，13+23+33+…+n3=？

2.一次函數(shù)及二次函數(shù)的解答

初中階段學(xué)習(xí)的函數(shù)主要為一次函數(shù)及二次函數(shù)，二者具體的函數(shù)表達(dá)式為：y=kx+b以及y=ax2+bx+c，進(jìn)一步又會(huì)細(xì)分為一元函數(shù)、二元函數(shù)等。從二者的表達(dá)式來看，學(xué)生難以理解函數(shù)的性質(zhì)，即單調(diào)性與對(duì)稱性，這就導(dǎo)致學(xué)生難以理解和解答問題。

結(jié)合數(shù)形結(jié)合的函數(shù)解答，教師應(yīng)用函數(shù)中幾個(gè)代表性的做好，以圖形的形式將抽象的函數(shù)性質(zhì)表達(dá)。在課堂教學(xué)中向?qū)W生介紹一次函數(shù)是存在于坐標(biāo)系一三象限或二四象限的直線，學(xué)生就會(huì)了解一次函數(shù)是單調(diào)函數(shù)且隨著數(shù)值的變化直線遞增或遞減，且橫向、縱向具有不對(duì)稱性。二次函數(shù)從圖像可以看出在部分區(qū)間有單調(diào)性，且并非直線遞增、遞減，并沿y軸對(duì)稱。

例2：一次函數(shù)y=ax+b的圖像如圖3所示，求一元一次方程ax+b=0的解。

該題目考察一次函數(shù)與一元一次方程的聯(lián)系。一元一次方程的解即x值，是當(dāng)一次函數(shù)y=0時(shí)，x的數(shù)值，或是求一次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)的值。由圖像可以看出一元一次方程的解x=2.

3.解答不等式

在解答不等式時(shí)，要充分利用數(shù)軸，在解答不等式是時(shí)，數(shù)值會(huì)對(duì)應(yīng)多個(gè)區(qū)間，而應(yīng)用數(shù)軸即可將數(shù)字在數(shù)軸上具象化，進(jìn)而分析數(shù)軸上的重合點(diǎn)，即可求解該不等式未知數(shù)的求解范圍。

例3：教師可以在不等式教學(xué)時(shí)，利用例2進(jìn)行引申，促進(jìn)知識(shí)的遷移與思維變通，教師啟發(fā)學(xué)生如果ax+b>0，那么需要截取函數(shù)直線在X軸以上的部分，以x=2為臨界點(diǎn)，那么該不等式的解集就是x<2，同理ax+b<0的解集是x>2.

總結(jié)

綜上，數(shù)形結(jié)合的思想對(duì)初中階段學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)直觀重要，教師要優(yōu)化教學(xué)理念，將數(shù)形結(jié)合思想廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中，在本文實(shí)例的基礎(chǔ)上學(xué)以致用，優(yōu)化創(chuàng)新，豐富學(xué)生解題技能，促進(jìn)學(xué)解題效率及解題能力的提升。最為重要的是將數(shù)形結(jié)合的思想深入人心，使之根深蒂固，保障學(xué)生在任何學(xué)齡段、任何層次都能對(duì)此思維靈活應(yīng)用。

[ 參 ?考 ?文 ?獻(xiàn) ]

[1]楊娥.基于數(shù)形結(jié)合思想的初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐研究[J].新課程（中），2017（4）：42-42.

[2]朱國(guó)暹.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].林區(qū)教學(xué)，