孫子在兵法中強(qiáng)調(diào)，戰(zhàn)爭的目的是為了勝利而非殺戮的快感，同樣，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是為了更快更精準(zhǔn)地解題，提高數(shù)學(xué)思維能力，而非用來炫技.有時候，機(jī)械地套用公式、定理、方法、技巧，會發(fā)生不少像“鄭人買履”、“刻舟求劍”這樣“典型學(xué)生思維”的鬧劇.值得關(guān)注的是，解決一道難題的最佳方案，也許不是復(fù)雜的推理和運(yùn)算，反而是最不起眼、最純粹的列舉，希望這篇回歸原始的文章能引起各位的注意，畢竟數(shù)學(xué)能力的強(qiáng)弱更主要在于分析和解決問題的能力，而非知識點(diǎn)多少.

題 一列數(shù)：1，2，3，5，8，13……請問第1993個數(shù)被6除余幾？

這道看似是名校白招的題，實(shí)際上來自小學(xué)四年級的一本奧數(shù)講義.顯然，所謂“一列數(shù)”實(shí)際上就是去掉首項1的斐波那契數(shù)列（l，1，2，3，5，8……），對這樣龐大的數(shù)字求解，其背后一定有規(guī)律存在，于是我隨手便列舉了6項（如表1）：

隨著數(shù)列的展開，具體數(shù)值將如滾雪球般越來越大，這時依然靠它求被6除余數(shù)顯然不夠理智.觀察可以發(fā)現(xiàn)，最右邊由被6除余數(shù)組成的新數(shù)列之間，也存在著類似斐波那契數(shù)列的性質(zhì)，簡單證明一下：

可是，再回頭看產(chǎn)生的新數(shù)列，還是沒有頭緒.我不禁失去了耐心，將題目上傳到了一個數(shù)學(xué)愛好者討論群中，很快，各種學(xué)霸和數(shù)競大佬都開動起來，我則繼續(xù)默默列舉.

有人搬出了特征方程，將數(shù)列通項解出：

然而，談及被6除余幾卻依然無人作答，而不同的對方程的代解方法則分成不同陣營吵了起來，這時，我上傳了我的答案：

山重水復(fù)疑無路，柳暗花明義一村.可以看到亂序的數(shù)字在第24位出現(xiàn)了轉(zhuǎn)機(jī)，即第24位不僅回到了第1位的數(shù)值1，其前一位為O，那么第25位為1、第26位為2……分別對應(yīng)第1，2，…位.所以說，這個“余數(shù)列”呈現(xiàn)出以24為周期的循環(huán).證明一下24為周期：

為了保險起見，我又在網(wǎng)上找到了原題與詳解，答案正確并且窮舉為目前唯一的方法，解析中最后一句“本題旨在考驗(yàn)學(xué)生的意志力與科學(xué)精神”，仿佛是對“高材生們”的絕佳諷刺.

再來看群里，仍有人“不死心”，誓要熬夜將這個龐大的數(shù)字簡潔表達(dá)……祝他成功.而整理草稿的我不禁想起一句話，可能文題不太吻合：“有時我們走的太遠(yuǎn)，以至于忘了為何出發(fā).”

解完了這道頗浩大的題，總結(jié)歸納一下可以得到有關(guān)窮舉法的幾個要點(diǎn)：①題干中出現(xiàn)幾百幾千這樣極大的數(shù)據(jù)時，往往會有規(guī)律可尋，可先通過窮舉發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再進(jìn)行代數(shù)證明;②在窮舉過程中，盡量避免對過于龐大的數(shù)據(jù)計算，而是在數(shù)值比較小的數(shù)據(jù)中找規(guī)律，需要我們在解題過程中隨時化繁為簡;③面對較難的，求具體數(shù)值、最值的相關(guān)問題時，窮舉往往是最先與最后的方法，先小規(guī)模地列表，未果后考慮其他思路，若依舊毫無成效，則可適當(dāng)放大窮舉的范圍，對填空題而言，這種相對客觀的解題策略與方法既省時義高效;④窮舉并非單純地全部列舉，在適當(dāng)?shù)臈l件下結(jié)合兩分法等，在對過程的分析中可以跳過一些無意義的列舉，抓住性質(zhì)縮小范圍，尋找列舉中的“轉(zhuǎn)機(jī)”.

那么，讓我們回到高中數(shù)學(xué)中來，嘗試解答這道2018年江蘇卷高考的填空壓軸題：

得到答案為27.對于計算能力可觀的學(xué)生來講，窮舉似乎比需要討論的函數(shù)法更加迅猛，雖然不少行為更多是出于“下意識”，但在并不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}過程結(jié)束后可以再回頭思考原理，萬變不離其宗，就算沒能直接算出結(jié)果，列舉的過程中想必也能幫助考生更準(zhǔn)確地把握函數(shù)表達(dá)式.

沒有花哨的公式，思考加上5次基本運(yùn)算，一道高考壓軸題和小學(xué)生的思考題一樣煙銷云散.下一次遇到符號字母們解決不了的問題，不要太狂躁，不如先列幾個數(shù)下來安靜些，回到原點(diǎn)，萬一那就是終點(diǎn)呢？

老師點(diǎn)評 孫毅堅同學(xué)愛好學(xué)習(xí)，善于思考，而且有堅韌的毅力.對于窮舉法，許多孩子是沒有耐心去嘗試的.正如試題解析所言“本題旨在考驗(yàn)學(xué)生的意志力與科學(xué)精神”，學(xué)生的意志力與科學(xué)精神是可以通過考試的形式得到考查的.四年級的奧數(shù)題對于一個高中生來說應(yīng)該是不算太難，但是方法的選擇顯得很重要.本題如果不用枚舉法去解，則要費(fèi)時費(fèi)力得多，2018年江蘇高考題也是這個道理.枚舉法是最基本且重要的方法，學(xué)生要有耐心去嘗試.當(dāng)然并不是要求沒有目的地做，而是要求學(xué)生能夠邊做、邊觀察、邊思考，這樣才能找出規(guī)律，從而使問題得到解決.久而久之，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就能夠得到培養(yǎng)。