孫子在兵法中強(qiáng)調(diào),戰(zhàn)爭的目的是為了勝利而非殺戮的快感,同樣,數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是為了更快更精準(zhǔn)地解題,提高數(shù)學(xué)思維能力,而非用來炫技.有時候,機(jī)械地套用公式、定理、方法、技巧,會發(fā)生不少像“鄭人買履”、“刻舟求劍”這樣“典型學(xué)生思維”的鬧劇.值得關(guān)注的是,解決一道難題的最佳方案,也許不是復(fù)雜的推理和運(yùn)算,反而是最不起眼、最純粹的列舉,希望這篇回歸原始的文章能引起各位的注意,畢竟數(shù)學(xué)能力的強(qiáng)弱更主要在于分析和解決問題的能力,而非知識點(diǎn)多少.
題 一列數(shù):1,2,3,5,8,13……請問第1993個數(shù)被6除余幾?
這道看似是名校白招的題,實(shí)際上來自小學(xué)四年級的一本奧數(shù)講義.顯然,所謂“一列數(shù)”實(shí)際上就是去掉首項1的斐波那契數(shù)列(l,1,2,3,5,8……),對這樣龐大的數(shù)字求解,其背后一定有規(guī)律存在,于是我隨手便列舉了6項(如表1):
隨著數(shù)列的展開,具體數(shù)值將如滾雪球般越來越大,這時依然靠它求被6除余數(shù)顯然不夠理智.觀察可以發(fā)現(xiàn),最右邊由被6除余數(shù)組成的新數(shù)列之間,也存在著類似斐波那契數(shù)列的性質(zhì),簡單證明一下:
可是,再回頭看產(chǎn)生的新數(shù)列,還是沒有頭緒.我不禁失去了耐心,將題目上傳到了一個數(shù)學(xué)愛好者討論群中,很快,各種學(xué)霸和數(shù)競大佬都開動起來,我則繼續(xù)默默列舉.
有人搬出了特征方程,將數(shù)列通項解出:
然而,談及被6除余幾卻依然無人作答,而不同的對方程的代解方法則分成不同陣營吵了起來,這時,我上傳了我的答案:
山重水復(fù)疑無路,柳暗花明義一村.可以看到亂序的數(shù)字在第24位出現(xiàn)了轉(zhuǎn)機(jī),即第24位不僅回到了第1位的數(shù)值1,其前一位為O,那么第25位為1、第26位為2……分別對應(yīng)第1,2,…位.所以說,這個“余數(shù)列”呈現(xiàn)出以24為周期的循環(huán).證明一下24為周期:
為了保險起見,我又在網(wǎng)上找到了原題與詳解,答案正確并且窮舉為目前唯一的方法,解析中最后一句“本題旨在考驗(yàn)學(xué)生的意志力與科學(xué)精神”,仿佛是對“高材生們”的絕佳諷刺.
再來看群里,仍有人“不死心”,誓要熬夜將這個龐大的數(shù)字簡潔表達(dá)……祝他成功.而整理草稿的我不禁想起一句話,可能文題不太吻合:“有時我們走的太遠(yuǎn),以至于忘了為何出發(fā).”
解完了這道頗浩大的題,總結(jié)歸納一下可以得到有關(guān)窮舉法的幾個要點(diǎn):①題干中出現(xiàn)幾百幾千這樣極大的數(shù)據(jù)時,往往會有規(guī)律可尋,可先通過窮舉發(fā)現(xiàn)規(guī)律,再進(jìn)行代數(shù)證明;②在窮舉過程中,盡量避免對過于龐大的數(shù)據(jù)計算,而是在數(shù)值比較小的數(shù)據(jù)中找規(guī)律,需要我們在解題過程中隨時化繁為簡;③面對較難的,求具體數(shù)值、最值的相關(guān)問題時,窮舉往往是最先與最后的方法,先小規(guī)模地列表,未果后考慮其他思路,若依舊毫無成效,則可適當(dāng)放大窮舉的范圍,對填空題而言,這種相對客觀的解題策略與方法既省時義高效;④窮舉并非單純地全部列舉,在適當(dāng)?shù)臈l件下結(jié)合兩分法等,在對過程的分析中可以跳過一些無意義的列舉,抓住性質(zhì)縮小范圍,尋找列舉中的“轉(zhuǎn)機(jī)”.
那么,讓我們回到高中數(shù)學(xué)中來,嘗試解答這道2018年江蘇卷高考的填空壓軸題:
得到答案為27.對于計算能力可觀的學(xué)生來講,窮舉似乎比需要討論的函數(shù)法更加迅猛,雖然不少行為更多是出于“下意識”,但在并不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}過程結(jié)束后可以再回頭思考原理,萬變不離其宗,就算沒能直接算出結(jié)果,列舉的過程中想必也能幫助考生更準(zhǔn)確地把握函數(shù)表達(dá)式.
沒有花哨的公式,思考加上5次基本運(yùn)算,一道高考壓軸題和小學(xué)生的思考題一樣煙銷云散.下一次遇到符號字母們解決不了的問題,不要太狂躁,不如先列幾個數(shù)下來安靜些,回到原點(diǎn),萬一那就是終點(diǎn)呢?
老師點(diǎn)評 孫毅堅同學(xué)愛好學(xué)習(xí),善于思考,而且有堅韌的毅力.對于窮舉法,許多孩子是沒有耐心去嘗試的.正如試題解析所言“本題旨在考驗(yàn)學(xué)生的意志力與科學(xué)精神”,學(xué)生的意志力與科學(xué)精神是可以通過考試的形式得到考查的.四年級的奧數(shù)題對于一個高中生來說應(yīng)該是不算太難,但是方法的選擇顯得很重要.本題如果不用枚舉法去解,則要費(fèi)時費(fèi)力得多,2018年江蘇高考題也是這個道理.枚舉法是最基本且重要的方法,學(xué)生要有耐心去嘗試.當(dāng)然并不是要求沒有目的地做,而是要求學(xué)生能夠邊做、邊觀察、邊思考,這樣才能找出規(guī)律,從而使問題得到解決.久而久之,學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就能夠得到培養(yǎng)。