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        一道等差數(shù)陣題的暢想曲

        2019-09-07 12:22:27馬思琪
        新高考·高一數(shù)學(xué) 2019年3期
        關(guān)鍵詞:方陣通項(xiàng)表格

        高一下學(xué)期,我們學(xué)習(xí)了《必修5》中的數(shù)列知識,在做練習(xí)作業(yè)時(shí),發(fā)現(xiàn)了這道題:

        下面給出一個(gè)“等差數(shù)陣”:

        其中每行、每列都是等差數(shù)列,aij表示位于第i行第j列的數(shù).

        (l)寫出a45的值;

        (2)寫出aij的計(jì)算公式,以及2017這個(gè)數(shù)在等差數(shù)陣中所在的一個(gè)位置.

        認(rèn)真做完題目,我掩卷沉思,不禁思緒翩翩.這樣根據(jù)已知數(shù)據(jù),尋找恰當(dāng)規(guī)律,填數(shù)的數(shù)陣,在小學(xué)也見過.現(xiàn)在我是高中生,長大了,問題也升級了,這個(gè)有意思.我就以這道題為契機(jī),自主設(shè)置問題進(jìn)行探索求解——進(jìn)行一番數(shù)學(xué)暢想.

        為了完成第(l)小題和找規(guī)律,我一定要不辭辛勞地多寫一些項(xiàng),如圖2.這樣就輕松得到第(1)小題答案49.

        第(2)小題要求解aij的通項(xiàng)公式.平時(shí)學(xué)的數(shù)列通項(xiàng),只有一個(gè)變量,這個(gè)題目搞事情呀,怎么是雙變量呢?看著圖2中大量的數(shù)據(jù)和省略號,我心中不覺陣陣發(fā)毛,想必難寫!怎么辦?

        不過要找出2017在等差數(shù)陣中的一個(gè)位置,可以在較小的行列中進(jìn)行試探.觀察數(shù)陣發(fā)現(xiàn),這個(gè)數(shù)陣的數(shù)關(guān)于aij成對稱排列,即第一行的數(shù)和第一列的數(shù)一樣,第i行和第i列的數(shù)一樣,那么某數(shù)在aij位置出現(xiàn),就必在aij位置出現(xiàn),如果2 017出現(xiàn)在第一行,必有2017 =4+3(j-1),解得j=672,故2017出現(xiàn)在第1行第672列中,當(dāng)然也出現(xiàn)在第672行第1列中.它還會(huì)出現(xiàn)在別的位置嗎?繼續(xù)用這個(gè)辦法試探所有的,哦,NO,饒了我吧,這一定不是明智的想法,它定會(huì)有規(guī)律可循的,我得慢慢研究它.

        暢想一:方陣暢想曲

        我仔細(xì)觀察這些數(shù)據(jù),嘿嘿,有了.從圖2中選取n行n列的方陣,對角線上行和列是相同的,相當(dāng)于一個(gè)變量,應(yīng)該簡單得多,我先來解決它.

        完成了對角線的通項(xiàng),我們把目光再次轉(zhuǎn)移到任意方陣中來:任意一項(xiàng)的通項(xiàng)如何表示?如何判定任給一個(gè)數(shù)是否在這個(gè)方陣中?如果在,會(huì)出現(xiàn)多少次呢?

        暢想二:矩陣暢想曲

        用i,J直接表示aij的通項(xiàng)有困難,考慮到題目說每行、每列都是等差數(shù)列,我是不是可以采用迂回的方法,先表示每行或者每列的通項(xiàng),再進(jìn)行觀察呢?說干就干.

        暢想三:多媒體暢想曲

        問題8 借用Excel表格,如何尋找規(guī)律呢?

        分析 Excel有強(qiáng)大的運(yùn)算與分析能力,豐富的功能區(qū)菜單,面對大數(shù)據(jù)工作表的時(shí)候,進(jìn)行數(shù)據(jù)整理、計(jì)算、匯總、查詢、分析等處理,簡直無所不能,太贊了!

        我運(yùn)用Excel表格,查找2 017這個(gè)數(shù)在等差數(shù)陣中所在的一個(gè)位置,使用了如下方法.

        問題9 運(yùn)用編程的方式解決問題,會(huì)否更方便呢?

        我們現(xiàn)在正在學(xué)習(xí)Visual Basic語言編程,這道題目也符合編程的要求,不妨小試一下牛刀,從兩個(gè)不同角度編寫一下查找某數(shù)在等差數(shù)陣中的位置的程序,編寫的程序及結(jié)果如圖4和圖5所示.

        運(yùn)行該程序,只要在方框內(nèi)輸入你想查找的數(shù)字,單擊查找,在窗體上就會(huì)列出該數(shù)字對應(yīng)的i,j的值,從而得出該數(shù)在數(shù)陣表格中的位置.

        圖4是運(yùn)用了已經(jīng)算出的以aij=2ij +i+j這個(gè)通式,運(yùn)用二維數(shù)組進(jìn)行編程設(shè)計(jì)的.圖5是運(yùn)用了表格中給出的4個(gè)數(shù)字4,7,7,12,根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì),先算出第一行和第二行的各數(shù),即i=l,2時(shí),用公式a(i,j)=2*-a(i,j-1) a(i,j-2)計(jì)算出第一、二行.對于給定的數(shù)M,第一行可能出現(xiàn)的最大的列數(shù)是Int((m -4)/3+1),下一列的數(shù)就超出M了.這個(gè)數(shù)就是最大的列數(shù)和行數(shù),然后再利用a(i,j) =2*a(i-1,i)-a(i-2,j)計(jì)算其余的各行,直到最大的行.

        暢想四:數(shù)陣變奏曲

        對上面的表格進(jìn)行改編,一定可以得到一些有趣的規(guī)律.

        改編一:使每行的公差始終為3,每列公差為5.除了前面的問題,還可以提出如下問題.

        1.哪些數(shù)會(huì)在這個(gè)數(shù)陣中出現(xiàn),哪些數(shù)不會(huì)出現(xiàn)?有規(guī)律可循嗎?

        2.哪些教會(huì)出現(xiàn)兩次?三次?甚至無數(shù)多次?有規(guī)律或者公式嗎?

        改編二:n2(n≥4)個(gè)正數(shù)排成n行n列的方陣:

        數(shù)字構(gòu)成的數(shù)陣,千變?nèi)f化,只要你開洞大腦,不斷思考,你就可以收獲一片旖旎,欣賞無限絢麗的風(fēng)光,奏響一段愜意的暢想曲,

        【指導(dǎo)老師點(diǎn)評】

        馬思琪同學(xué)在作業(yè)中發(fā)現(xiàn)了一道有趣的等差數(shù)陣問題,循著問題的腳步,不斷探究,運(yùn)用代數(shù)、Excel、編程三種辦法找出2017在等差數(shù)陣的位置,而且通過aij的通項(xiàng)設(shè)置出裂項(xiàng)求和等數(shù)列問題.善于學(xué)習(xí)思考和運(yùn)用多媒體工具解決問題是本文的一大特色,盡管學(xué)校學(xué)了一些VB編程語言,但要完成沒有學(xué)過的二維數(shù)組隨變量而精確定義,以及For語句與IF語句的嵌套運(yùn)用,還是困難不小,學(xué)習(xí)就是在這種自發(fā)的“嘗試與錯(cuò)誤”過程中完成的.

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