黃蓮花

數(shù)學(xué)作為一門(mén)應(yīng)用性很強(qiáng)的科學(xué)，在實(shí)際生活中的應(yīng)用廣泛，這種應(yīng)用的廣泛性靠的是數(shù)學(xué)模型。模型是把現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)量關(guān)系和圖形關(guān)系抽象成概念和符號(hào)，它們作為數(shù)學(xué)研究的對(duì)象，推進(jìn)了數(shù)學(xué)自身的發(fā)展。而數(shù)學(xué)自身的發(fā)展得益于歸納推理及演繹推理，依靠推理，數(shù)學(xué)才具有了嚴(yán)謹(jǐn)性。由此，小學(xué)數(shù)學(xué)建模應(yīng)該重視歸納推理與演繹推理的教學(xué)，促進(jìn)小學(xué)生建模意識(shí)的形成，最終提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、歸納推理——激發(fā)創(chuàng)新意識(shí)

小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)，是從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，圍繞著研究對(duì)象所呈現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系、變化規(guī)律或空間形式，建立數(shù)學(xué)抽象層面的符號(hào)化結(jié)論。這個(gè)過(guò)程，歸納推理發(fā)揮著關(guān)鍵作用。所謂的歸納推理，就是從特殊到一般的推理方法，通過(guò)觀察某類(lèi)事物中部分對(duì)象以發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)，從而推導(dǎo)出該類(lèi)事物具有這種性質(zhì)。由此可以看出，模型建立的過(guò)程中，首先，尋找相關(guān)的特殊實(shí)例，使之成為教學(xué)研究的一類(lèi)對(duì)象，這是歸納推理的重要內(nèi)容;其次，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這一類(lèi)對(duì)象的共性之處，進(jìn)而推理概括出符號(hào)化結(jié)論，即數(shù)學(xué)模型，這是歸納推理的重要結(jié)果。歸納推理的過(guò)程，猜測(cè)、驗(yàn)證、舉例、觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納，學(xué)生在經(jīng)歷這個(gè)過(guò)程中，不僅由已知發(fā)現(xiàn)了未知，而且激發(fā)了學(xué)生主動(dòng)思考、主動(dòng)創(chuàng)新的意識(shí)。

例如，教學(xué)人教版五上“平行四邊形的面積”一課。學(xué)生從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題“這個(gè)平行四邊形的面積怎么求”之后，可進(jìn)入如下幾個(gè)環(huán)節(jié)的探究。

（1）驗(yàn)證本案例中的兩種猜測(cè)“6×5”或“6×3”。引導(dǎo)學(xué)生先數(shù)方格，用剪拼法進(jìn)行驗(yàn)證后，再借助填寫(xiě)表格和觀察數(shù)據(jù)，不但發(fā)現(xiàn)“6×3”是正確答案，而且發(fā)現(xiàn)這個(gè)平行四邊形的面積正好是底乘高的積。

（2）猜測(cè)平行四邊形的面積計(jì)算方法。此時(shí)，筆者追問(wèn)：“看來(lái)這個(gè)平行四邊形的面積與它的底乘高的積有關(guān)系。是不是所有的平行四邊形的面積都可以用底乘高計(jì)算呢？你有什么好辦法驗(yàn)證下？”

（3）多個(gè)案例驗(yàn)證平行四邊形的面積計(jì)算方法。引導(dǎo)學(xué)生數(shù)一數(shù)另外3個(gè)平行四邊形的面積，并填寫(xiě)表格。（筆者通過(guò)多媒體展示方格紙圖，并在圖上出示標(biāo)有底和高的平行四邊形3個(gè)，圖略）

（4）概括得出平行四邊形的面積計(jì)算公式。此時(shí)，學(xué)生通過(guò)觀察表格中面積與底和高之間的關(guān)系，可以推導(dǎo)出平行四邊形的面積等于底乘高。

上述四個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)，學(xué)生經(jīng)歷了兩次猜測(cè)，兩次驗(yàn)證，借助數(shù)方格和觀察數(shù)據(jù)，學(xué)生從所舉出的案例中，發(fā)現(xiàn)了每一個(gè)平行四邊形的面積與它的底和高之間存在著一定的關(guān)系，即“面積=底×高”。由此，完成了歸納推理的過(guò)程。這樣的設(shè)計(jì)，學(xué)生是通過(guò)對(duì)一個(gè)個(gè)不同實(shí)例的思考、操作、觀察、分析，發(fā)現(xiàn)實(shí)例間的共性，進(jìn)而推理得出結(jié)論的，學(xué)生的主動(dòng)性、思考性都得以彰顯，創(chuàng)新性得到培養(yǎng)。

二、演繹推理——培育科學(xué)精神

演繹推理是從一般到特殊的推理方法，其一般模式包括：大前提——已知的一般原理，小前提——要研究的論斷，結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷。演繹推理在于證明結(jié)論而不在于發(fā)現(xiàn)結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷演繹推理的過(guò)程，可以讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)結(jié)論的嚴(yán)謹(jǐn)性，培育敬畏科學(xué)的精神。

例如，在通過(guò)歸納得出平行四邊形的面積等于底乘高后，教學(xué)不應(yīng)止步于此，還需要完成如下幾個(gè)環(huán)節(jié)的論證過(guò)程。

（1）繼續(xù)追問(wèn)，引導(dǎo)質(zhì)疑。問(wèn)題：僅僅舉幾個(gè)例子，就能確定所有的平行四邊形面積等于底乘高嗎，還是要繼續(xù)舉例，越多越好？或是有更好的方法？

（2）運(yùn)用轉(zhuǎn)化的方法探究。這個(gè)過(guò)程要處理好幾個(gè)問(wèn)題：一是為什么要將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形？二是如何轉(zhuǎn)化？三是轉(zhuǎn)化前后圖形各部分之間什么變了，什么不變？

（3）推導(dǎo)出面積公式。學(xué)生反饋交流后，圍繞著怎樣得出平行四邊形的面積計(jì)算公式這一主旨，就有了演繹推理三段論的過(guò)程：長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘寬（大前提），平行四邊形的面積等于轉(zhuǎn)化后的長(zhǎng)方形的面積，平行四邊形的底和高相當(dāng)于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬（小前提），所以，平行四邊形的面積等于底乘高（結(jié)論）。

歸納得出的概念可以真也可以假，如何讓學(xué)生領(lǐng)悟和感受真假結(jié)論是教學(xué)中的重點(diǎn)。從上述片段教學(xué)中可以看出，引導(dǎo)質(zhì)疑是一個(gè)好的方法，通過(guò)尋找一個(gè)更好的解決途徑，借助已知與未知間的關(guān)聯(lián)，推斷出未知，確保結(jié)論的正確性。從中學(xué)生也能體會(huì)數(shù)學(xué)思維的邏輯條理，學(xué)習(xí)科學(xué)方法，培育科學(xué)精神。

三、兩者并舉——積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)旨在培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)，形成建模思想，積淀數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。積淀數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，需要親身經(jīng)歷和感悟歸納推理和演繹推理的過(guò)程，從而形成一定的思維模式，建立一定的數(shù)學(xué)直觀。歸納推理在于由已知發(fā)現(xiàn)未知，演繹推理在于驗(yàn)證結(jié)論。歸納推理，本質(zhì)上是從經(jīng)歷過(guò)的東西推斷沒(méi)有經(jīng)歷過(guò)的東西。經(jīng)驗(yàn)不是靠教出來(lái)的，而是親身經(jīng)歷過(guò)程，自己感悟出來(lái)的。當(dāng)然，親身經(jīng)歷過(guò)程未必有感悟，必須是這個(gè)過(guò)程有發(fā)生“故事”或者“事故”，引發(fā)了學(xué)生的思考，吸取了教訓(xùn)，才成為了經(jīng)驗(yàn)。因此，這里的“故事”或者“事故”就成為了教學(xué)的焦點(diǎn)。

例如，情境創(chuàng)設(shè)蘊(yùn)含實(shí)例與非實(shí)例問(wèn)題，即上述猜測(cè)的兩種答案“6×3”（底×高）或“6×5”（鄰邊×鄰邊），可看成是學(xué)生經(jīng)歷歸納過(guò)程中的一個(gè)“故事”。因?yàn)檫@個(gè)“故事”，維系了學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，依據(jù)“長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，長(zhǎng)與寬是相鄰的邊，同時(shí)又是互相垂直的兩條邊”這個(gè)經(jīng)驗(yàn)，推斷出上述的兩種答案。通過(guò)驗(yàn)證，借助方格紙中的“剪切法”又是另一個(gè)“故事”，經(jīng)歷這個(gè)過(guò)程，學(xué)生獲得了新的經(jīng)驗(yàn)，一是感悟到了平行四邊形的面積不是與相鄰的邊有關(guān)，而是與相互垂直的兩條邊有關(guān);二是積累了“面積就是面積單位的累加”的這一內(nèi)涵的直觀感知;三是為后面的演繹推理蘊(yùn)伏了方法經(jīng)驗(yàn)。接下來(lái)的再猜測(cè)再驗(yàn)證更是一個(gè)“故事”，學(xué)生獲得了歸納的經(jīng)驗(yàn)，形成“從特例入手，嘗試性歸納探索一般規(guī)律或結(jié)論”的思維方式。最后，借助演繹推理過(guò)程驗(yàn)證歸納得出的結(jié)論;進(jìn)而再推廣到另外一些特例中去，獲得實(shí)踐活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)。

歸納與演繹，兩者同樣重要。經(jīng)歷歸納與演繹的過(guò)程，就是自主體驗(yàn)、感悟和積累“創(chuàng)新”與“邏輯”經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程，長(zhǎng)期積累形成經(jīng)驗(yàn)后，就會(huì)成為自己獨(dú)特的思維模式，最終演變?yōu)橐欢ǖ臄?shù)學(xué)直觀，從而在遇到類(lèi)似的問(wèn)題或新的問(wèn)題時(shí)能下意識(shí)地回憶或聯(lián)想，能作出一定的直觀判斷。歸納與演繹恰似建模的“左膀右臂”，在建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中起著舉足輕重的作用。

（作者單位：福建省廈門(mén)市文安小學(xué)? ?責(zé)任編輯：王振輝）