章茜，蔡光輝，鄭鈺滟

（浙江工商大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，浙江杭州310018）

0 引 言

設(shè){Xn,n≥ 1}是定義在概率空間(Ω,F,P)上的隨機(jī)變量序列。在許多實(shí)際問題中，獨(dú)立性假設(shè)并非都合理，為此，學(xué)者們相繼提出了很多相依結(jié)構(gòu)。研究相依結(jié)構(gòu)的隨機(jī)變量序列有著十分深刻的理論和實(shí)際意義。 近來，WANG等[1]提出了WOD(widely orthant dependent)隨機(jī)變量序列的概念。其定義如下：

定義1[1]若存在有限的實(shí)數(shù)序列{gU(n),n≥1},任取n≥1和xi∈(-∞,+∞),1≤i≤n滿足則稱是WUOD(widely upper orthant dependent)序列。

若存在有限的實(shí)數(shù)序列{gL(n),n≥1},任取n≥ 1和xi∈(-∞,+∞),1≤i≤n滿足

則稱{Xn,n≥1}是WLOD(widely lower orthant dependent)序列。

若{Xn,n≥1}既是WUOD序列,又是WLOD序列，則稱{Xn,n≥1}是WOD序列。

WOD序列均較NOD(negatively orthant dependent)和END(extended negatively dependent)[2-5]等隨機(jī)變量序列更加廣泛和一般。WANG等[6]獲得了WOD隨機(jī)變量序列的精確大偏差。施生塔等[7]利用WUOD序列的指數(shù)不等式,在適當(dāng)?shù)臈l件下獲得了WOD樣本下密度函數(shù)核估計(jì)的強(qiáng)相合性。QIU等[8]在適當(dāng)條件下獲得了WOD隨機(jī)變量序列加權(quán)和的完全收斂性和矩完全收斂性。蔡光輝等[9]在一個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量序列的重對(duì)數(shù)律的基礎(chǔ)上,獲得了不同分布WOD隨機(jī)變量序列的重對(duì)數(shù)律。TAO等[10]獲得了WOD隨機(jī)變量序列滑動(dòng)平均過程的完全收斂性。LIU等[11]獲得了WOD隨機(jī)變量序列的矩完全收斂性。WANG等[12]獲得了WOD隨機(jī)變量序列的完全收斂性及在非參數(shù)退化模型中的應(yīng)用。丁洋等[13]獲得了WOD隨機(jī)變量加權(quán)和的完全收斂性。

完全收斂性的概念是由HUS等[14]最先提出并加以研究的,此概念提出之初就吸引了眾多學(xué)者的關(guān)注,至今已取得了豐碩的成果。本文的主要目的是在更廣泛的WOD隨機(jī)變量序列的情形下,利用部分和最大值的Rosenthal型矩不等式,獲得部分和最大值的完全收斂性結(jié)果。

定理1 設(shè){X,Xn,n≥1}為同分布的WOD隨機(jī)變量序列,E|X|p＜∞,0＜p＜2。 記Sj=,t≥ 2,αp>1。 特 別 地 ，當(dāng)α≤ 1時(shí),令EX=0，則有

注1 若{X,Xn,n≥1}為END隨機(jī)變量序列,則定理1仍成立。

注2 定理1將文獻(xiàn)[14]中的定理3.1推廣至部分和最大值的完全收斂性情形。

注3 定理1得到了{(lán)X,Xn,n≥1}為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列時(shí)的結(jié)果。

本文中，C表示正常數(shù),且在不同的地方可為不同的值。an?bn表示an=O(bn),an=O(bn)表示an≤ Cbn。 記 log x=ln max{x,e}。

1 定理的證明

為了證明定理1,需要以下2個(gè)引理。

引理1[2]設(shè)為WOD隨機(jī)變量序列,若為均非升（或均非降）的函數(shù),則仍為WOD隨機(jī)變量序列。

引理2[11]設(shè)r≥2,為均值為零的WOD隨機(jī)變量序列，對(duì)任意的n≥1均有則存在僅依賴于r的正整數(shù)c1(r)和c2(r),使得對(duì)任意的n≥1，有

定理1的證明 ?k≥1,令

于是可得

（1）當(dāng)α≤ 1時(shí),由αp>1,得p>1。 注意到及q的取法,有αpq>1,q＜1,由此可得

（2）當(dāng)α >1，p≥ 1時(shí)，

故欲證I1＜∞，只須證

即可。

由引理1知,{Xk(1),1≤k≤n}也是WOD的。根據(jù)Markov不等式、Cr不等式及引理2可得

由式(3)～式(5)，可得式(2)成立。

因?yàn)? ≤ Xk(2)≤ εnα/4N，且Xk(2)> εnα/4,這就意味著中至少有N個(gè)Xk(2)不為零,令+1，于是

因?yàn)?εnα/4N≤Xk(3)≤0，且這意味著中至少有N個(gè)Xk(3)不為零，令, 由式(6)可得

由式(2)和式(6)～式(8),可得式(1)成立,至此定理1得證。