任鴻鵬

摘 ?要：作為一項(xiàng)重要的技術(shù)手段，數(shù)字圖像處理已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于當(dāng)今社會(huì)的眾多領(lǐng)域，其中最常用到的方法就是傅里葉變換。該文在MATLAB的軟件環(huán)境下，簡(jiǎn)要闡述了基于傅里葉變換的圖像處理原理，并給出了相關(guān)圖像的處理結(jié)果。這些將有助于增加初學(xué)者對(duì)傅里葉變換的理解，提升其處理實(shí)際問(wèn)題的能力。

關(guān)鍵詞：圖像變換 ?傅里葉變換 ?MATLAB

中圖分類(lèi)號(hào)：TP391 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1672-3791（2019）06（a）-0011-03

圖像是世界萬(wàn)物的直觀反映，是人類(lèi)認(rèn)識(shí)世界的重要源泉。當(dāng)今世界，人類(lèi)不僅可以通過(guò)特定的手段觀測(cè)世界來(lái)獲取圖像，更可以在計(jì)算機(jī)的幫助下制造出各式各樣的圖像，因此，圖像的制作、變換等成為了熱門(mén)研究方向。

圖像的變換，就是在計(jì)算機(jī)的支撐下，對(duì)圖像進(jìn)行有目的的處理的過(guò)程?，F(xiàn)代社會(huì)，隨著科技水平的提高，人們對(duì)圖像的要求也越來(lái)越高，二維碼的掃描、人臉識(shí)別、網(wǎng)絡(luò)連接以及醫(yī)學(xué)界的X光[1]技術(shù)等無(wú)一不體現(xiàn)了對(duì)圖像的高度要求，因此掌握?qǐng)D像變換技術(shù)也變得越來(lái)越重要。

在圖像變換的諸多方法中，傅里葉變換是最為常見(jiàn)的一種方法。傅里葉變換是由法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉提出的一種線(xiàn)性積分變換，其核心思想是任何連續(xù)的周期函數(shù)都可以由一組相應(yīng)的正弦函數(shù)疊加而成[2]。傅里葉變換的物理效果是將圖像從空間域轉(zhuǎn)化到頻率域，逆變換是將圖像從頻率域轉(zhuǎn)化到空間域。而圖像的頻率決定了圖像的基本灰度等級(jí)、基本結(jié)構(gòu)與邊緣細(xì)節(jié)，正是傅里葉變換與圖像頻率之間的密切關(guān)系，因此被廣泛應(yīng)用于圖像變換操作中。

利用傅里葉變換對(duì)圖像進(jìn)行相關(guān)操作時(shí)，最常用的就是MATLAB軟件。MATLAB軟件是由美國(guó)MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，在圖像處理、工程計(jì)算、信號(hào)檢測(cè)、金融分析等方面有著十分廣泛的應(yīng)用。利用MATLAB軟件的強(qiáng)大功能對(duì)圖像進(jìn)行幾何操作、變換、拉伸、增強(qiáng)處理，可以方便、快捷地達(dá)到預(yù)期效果[3]。

該文正是以介紹3種傅里葉變換及其對(duì)應(yīng)的一些實(shí)例來(lái)展開(kāi)說(shuō)明的，實(shí)例對(duì)應(yīng)的軟件環(huán)境，即MATLAB軟件環(huán)境。

1 ?傅里葉變換

傅里葉變換就是以時(shí)間為自變量的信號(hào)和以頻率為自變量的頻譜函數(shù)之間的某種變換關(guān)系。這種變換同樣可以用在其他有關(guān)數(shù)學(xué)和物理的各種問(wèn)題之中，并可以采用其他形式的變量。當(dāng)自變量時(shí)間或頻率取連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間形式的不同組合，就可以形成各種形式的傅里葉變換對(duì)。

傅里葉變換是信號(hào)處理中最重要、應(yīng)用最廣泛的變換。從某種意義上來(lái)說(shuō)，傅里葉變換就是函數(shù)的第二種描述語(yǔ)言。

傅里葉變換理論及其物理解釋的結(jié)合對(duì)圖像處理領(lǐng)域諸多問(wèn)題的解決提供了有利的思路和行之有效的方法，它讓人們從事物的另一方面來(lái)考慮問(wèn)題，這樣在分析某一問(wèn)題時(shí)就會(huì)從空域和頻域兩個(gè)角度來(lái)考慮問(wèn)題并來(lái)回切換，使圖像處理過(guò)程更簡(jiǎn)單、有效，對(duì)于迂回解決圖像處理中的難題非常有幫助，被廣泛應(yīng)用于圖像處理中。

而傅里葉變換又有多種分類(lèi)情況。

1.1 連續(xù)傅里葉變換

要得到每一個(gè)頻率分量，需進(jìn)行N次乘法和N-1次加法運(yùn)算。要完成整個(gè)變換需要N2次乘法和N（N-1）次加法運(yùn)算。當(dāng)序列較長(zhǎng)時(shí)，必然花費(fèi)較長(zhǎng)的時(shí)間。

2 ?圖像傅里葉變換的一些實(shí)例

在MATLAB中，函數(shù)fft、fft2和fftn可以分別實(shí)現(xiàn)一維、二維和N維DFT算法;函數(shù)ifft、ifft2和ifftn用來(lái)計(jì)算反DFT;而函數(shù)ffishift可以把傅里葉操作（fft、fft2、fftn）所得結(jié)果中的零頻率成分轉(zhuǎn)移到矩陣的中心，從而可以方便地觀察頻譜。

運(yùn)用MATLAB軟件實(shí)現(xiàn)對(duì)創(chuàng)建的圖像進(jìn)行傅里葉變換的程序[7]如下，圖像實(shí)現(xiàn)效果如圖1所示。

f = zeros（60，60）;

f（10：48，26：34） = 1;

F0 = fft2（f）;

F2 = log（abs（F0））;

F = fft2（f，256，256）;

F1 = fftshift（F）;

figure;

subplot（221）;

imshow（f，'InitialMagnification'，'fit'）;

title（'原像'）;

subplot（222）;

imshow（F2，[-1 5]，'InitialMagnification'，'fit'）;

title（'確定像素值的范圍'）;

subplot（223）;

imshow（log（abs（F）），[-1 5]）;

title（'對(duì)數(shù)顯示補(bǔ)零變換后的圖像'）;

subplot（224）;

imshow（log（abs（F1）），[-1 5]）;

title（'對(duì)數(shù)顯示頻移后的圖像'）;

利用MATLAB實(shí)現(xiàn)對(duì)一個(gè)圖像進(jìn)行二維傅里葉變換的程序如下，圖像實(shí)現(xiàn)效果如圖2所示。

clear all;

I = checkerboard（40）;

F = fft2（I）;

subplot（1，2，1）;

imshow（I）;

title（'原始圖像'）;

subplot（1，2，2）;

imshow（F）;

title（'二維傅里葉變換'）;

3 ?結(jié)語(yǔ)

綜上，利用傅里葉變換可以對(duì)圖像進(jìn)行許多方便、快捷的處理。隨著科技的進(jìn)步，數(shù)字圖像處理技術(shù)受到了越來(lái)越多的重視，因此傅里葉變換也將獲得越來(lái)越廣闊的應(yīng)用空間。學(xué)習(xí)好傅里葉變換，不僅會(huì)提升使用者的知識(shí)水平，也會(huì)讓使用者的數(shù)字圖像處理能力得到極大提升。

實(shí)現(xiàn)圖像的傅里葉變換，必然離不開(kāi)MATLAB這款軟件，基于MATLAB這款軟件的數(shù)字圖像處理技術(shù)與常規(guī)技術(shù)相比，不僅功能性更強(qiáng)，而且操作也更加簡(jiǎn)單，在一定程度上推動(dòng)了數(shù)字圖像處理技術(shù)的發(fā)展。故加深使用者對(duì)MATLAB在數(shù)字圖像處理中應(yīng)用原理的理解，提升使用者對(duì)MATLAB在圖像處理中的熟練程度，對(duì)個(gè)人、對(duì)整個(gè)社會(huì)都有著十分重大的意義。

參考文獻(xiàn)

[1] 張嘯劍，付聰聰，孟小峰.面向人臉圖像發(fā)布的差分隱私保護(hù)[J].中國(guó)圖象圖形學(xué)報(bào)，2018，23（9）：1305-1315.

[2] 郭士龍.巧用傅里葉變換優(yōu)化攝影圖像[J].電腦與信息技術(shù)，2018，26（4）：44-45.

[3] 江鐵成.基于MATLAB的數(shù)字圖像處理技術(shù)研究[J].合肥師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2017，35（6）：25-27.

[4] 樓紅衛(wèi).傅里葉變換與處處連續(xù)無(wú)處可微函數(shù)[J].高等數(shù)學(xué)研究，2017，20（4）：7-9.

[5] 朱兆梁，馬朝翰，李健，等.基于傅里葉變換的碎片拼接復(fù)原技術(shù)[J].科技傳播，2014，6（5）：173-174.

[6] 陳晉.快速傅里葉變換的研究[J].黑龍江科學(xué)，2018，9（24）：62-63.

[7] 王波.傅里葉變換時(shí)移性質(zhì)的MATLAB輔助教學(xué)初探[J].電腦知識(shí)與技術(shù)，2018，14（33）：140-141.