【摘要】針對復(fù)變函數(shù)與積分變換課程教學(xué)的現(xiàn)狀和存在的問題，結(jié)合近三年學(xué)生對本人的復(fù)變函數(shù)與積分變換課堂教學(xué)質(zhì)量的評教結(jié)果，本文對“實現(xiàn)知識間有機銜接，能夠?qū)⑿轮R、新成果引入課堂”“注重理論在實踐中的應(yīng)用”等五項內(nèi)容進行了逐項分析，提出了“加強與高等數(shù)學(xué)的銜接性”“添加一些具體應(yīng)用實例”和“在課堂上增加新知識、新成果等方面”的具體改進措施；通過分析和反思目前教學(xué)中存在的問題，提出了本人在提高課堂教學(xué)質(zhì)量方面的一些認識與思考，給出了有效提升課堂教學(xué)質(zhì)量的幾點建議.

【關(guān)鍵詞】復(fù)變函數(shù)與積分變換；課堂教學(xué)改革；傅里葉變換；輻角

一、引言

復(fù)變函數(shù)與積分變換在信號與系統(tǒng)、電路分析基礎(chǔ)、自動控制原理等專業(yè)課中有著廣泛的應(yīng)用，是我校電子信息工程和自動化等專業(yè)的重要基礎(chǔ)課.通過學(xué)習(xí)本課程，可以使學(xué)生掌握復(fù)變函數(shù)與積分變換的基本理論和方法，為學(xué)習(xí)相關(guān)專業(yè)課程及實際應(yīng)用提供必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，因此，做好本門課的教學(xué)工作十分重要.結(jié)合學(xué)生對本人近三年的復(fù)變函數(shù)與積分變換課程教學(xué)的評教結(jié)果，本文分析了復(fù)變函數(shù)與積分變換課程教學(xué)的現(xiàn)狀和存在的問題，總結(jié)了幾點提高課堂教學(xué)質(zhì)量的經(jīng)驗和體會，希望能對提高復(fù)變函數(shù)與積分變換課程的教學(xué)效果提供一些有益借鑒.

二、復(fù)變函數(shù)與積分變換的課堂教學(xué)現(xiàn)狀及改進措施

課堂教學(xué)質(zhì)量評估依據(jù)既定的教育目的，系統(tǒng)地搜集課堂教學(xué)過程的信息，并對信息進行科學(xué)分析，從而對教育者本職工作做出有效判定.課堂教學(xué)質(zhì)量評估可以對教師的教學(xué)態(tài)度、教學(xué)質(zhì)量、工作能力、業(yè)務(wù)水平等進行科學(xué)有效地鑒定，更能夠有效剖析教師課堂教學(xué)的情況與優(yōu)缺點，讓教師基于課堂現(xiàn)狀，發(fā)揮優(yōu)點，避免缺點，進而形成特色.

我們學(xué)校每學(xué)期末讓學(xué)生評價教師的教學(xué)效果，評教指標(biāo)有10項：1.“課程內(nèi)容熟練，基本理論知識講解正確無誤”，權(quán)重為0.15；2.“實現(xiàn)知識間有機銜接，能夠?qū)⑿轮R、新成果引入課堂”，權(quán)重0.15；3.“注重理論在實踐中的應(yīng)用”，權(quán)重0.10；4.內(nèi)容充實，信息量適當(dāng)，權(quán)重0.10；5.“思路清晰，邏輯性強”，權(quán)重0.05；6.“以不同方式充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)自主性，教與學(xué)互動性強”，權(quán)重0.05；7.“語言簡練、生動，感染力強”，權(quán)重0.05；8.“針對教學(xué)內(nèi)容，合理運用教學(xué)方法與手段，且效果好”，權(quán)重0.10；9.“注重上下課禮儀，課堂秩序良好，對課堂紀(jì)律進行適當(dāng)管理，且有效”，權(quán)重0.10；10.“合理布置作業(yè)，批改及時；有固定答疑時間，能夠做到有問必答”，權(quán)重0.15.

近三年本人每年都講復(fù)變函數(shù)與積分變換，根據(jù)學(xué)校教務(wù)系統(tǒng)的統(tǒng)計結(jié)果，2012-2013年第一學(xué)期，參評學(xué)生人數(shù)：284，有效參評學(xué)生人數(shù)：256，對教師總評價分為93.406；2013-2014年第一學(xué)期，參評學(xué)生人數(shù)：519，有效參評學(xué)生人數(shù)：467，對教師總評價分為94.63；2014-2015年第二學(xué)期，參評學(xué)生人數(shù)：86，有效參評學(xué)生人數(shù)：78，對教師總評價分為94.833.

下圖給出了近三年復(fù)變函數(shù)與積分變換課程學(xué)生對本人的每個單項評教結(jié)果.

從近三年的教學(xué)總評價結(jié)果可以看出，學(xué)生對教師的教學(xué)評價分值逐年提高，這與教師平時注意進行教學(xué)反思，根據(jù)經(jīng)驗調(diào)整教學(xué)內(nèi)容、加強課堂秩序和紀(jì)律管理密不可分.說明了教師的教學(xué)改革和實踐得到了學(xué)生的肯定和認可.

從上面的評教結(jié)果也可以看出，學(xué)生滿意度較低的前四項為：2.“實現(xiàn)知識間有機銜接，能夠?qū)⑿轮R、新成果引入課堂”；3.“注重理論在實踐中的應(yīng)用”；4.“內(nèi)容充實，信息量適當(dāng)”；10.“合理布置作業(yè)，批改及時；有固定答疑時間，能夠做到有問必答”.下面分別對這四項進行分析，給出改進措施.另外，盡管學(xué)生對課堂秩序和紀(jì)律管理表示肯定（見第9項評教結(jié)果），但本人認為還有提升空間，也將對之進行分析，討論改進措施.

（一）“實現(xiàn)知識間有機銜接，能夠?qū)⑿轮R、新成果引入課堂”

復(fù)變函數(shù)與積分變換是一門承上啟下的課程，它是高等數(shù)學(xué)的后繼課程，是高等數(shù)學(xué)的繼續(xù)和發(fā)展.同時，復(fù)變函數(shù)與積分變換在信號與系統(tǒng)等后續(xù)課程中有著非常廣泛的應(yīng)用.因此，在本門課的教學(xué)中我們盡量做到知識間的有機銜接[1].

復(fù)變函數(shù)與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系主要有兩方面：（1）由于復(fù)變函數(shù)是高等數(shù)學(xué)在復(fù)數(shù)域中的推廣，因而，在內(nèi)容上有很多相似之處，比如，復(fù)變函數(shù)中極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分、級數(shù)等概念是高等數(shù)學(xué)中相應(yīng)內(nèi)容的推廣.它們之間有聯(lián)系也有區(qū)別，必須讓學(xué)生弄清這種聯(lián)系和區(qū)別.比如，在講授復(fù)變函數(shù)中的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)等初等函數(shù)時，通過與高等數(shù)學(xué)中的初等函數(shù)對比，讓學(xué)生了解它們的相同性質(zhì)及深刻的差異.（2）復(fù)變函數(shù)中經(jīng)常用到高等數(shù)學(xué)的知識和內(nèi)容，學(xué)生對高等數(shù)學(xué)知識的掌握程度直接影響著其對復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)，比如，復(fù)變函數(shù)連續(xù)和可導(dǎo)都可以轉(zhuǎn)化為對兩個二元實變函數(shù)連續(xù)和可導(dǎo)的判定.因此，有必要要求學(xué)生將高等數(shù)學(xué)教材作為學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)的重要參考書，隨時查閱對比.

復(fù)變函數(shù)與積分變換和后續(xù)課程的銜接也比較緊密，因此，講解積分變換部分時對后續(xù)課程要用到的內(nèi)容詳細闡述.比如，部分分式法在積分變換書中內(nèi)容很少，只有一個簡單例子，但它是信號與系統(tǒng)、電路分析基礎(chǔ)等專業(yè)課中求解拉普拉斯逆變換的重要方法.因此，為了方便學(xué)生后面的學(xué)習(xí)，我們對部分分式法進行了詳細講解.此外，雖然在積分變換教材中初值定理與終值定理是選講內(nèi)容，但由于它們在自動控制原理里面有重要應(yīng)用，我們也講了這兩個定理.

復(fù)變函數(shù)與積分變換教學(xué)內(nèi)容多，而課時少，因此，對新知識、新成果的介紹要精煉.為此，教師平時要多了解新知識和新成果，注重這方面的知識積累.比如，講傅里葉變換時可以簡單說明傅里葉變換在分析處理信號時有一定的局限性，它只能給出信號總體上包含哪些頻率的成分，但是對各成分出現(xiàn)的時刻并無所知，因此，兩個時域相差很大的信號，可能頻譜圖一樣.而后來發(fā)展起來的小波變換在一定程度上克服了傅里葉變換的這一弱點.為使學(xué)生有直觀認識及節(jié)省時間，輔以實例圖片說明.

（二）“注重理論在實踐中的應(yīng)用”

按照目前的課程大綱和教材內(nèi)容安排，在教學(xué)過程中，本人對復(fù)變函數(shù)與積分變換的應(yīng)用主要是詳細講解了用拉普拉斯變換求解常微分方程初（邊）值問題和積分方程.講解復(fù)球面時，通過觀看《維度：數(shù)學(xué)漫步（Dimensions：a walk through mathematics）》視頻，讓學(xué)生了解地圖繪制術(shù)之父托勒密利用球極投影繪制地圖的方法及方法的兩個主要特點—保角性和保圓性[2].

在今后的教學(xué)過程中將增加一些應(yīng)用實例.例如，在講復(fù)數(shù)的輻角時，可以用照相機的例子來說明，通過對比普通相機和數(shù)碼相機照出的照片可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)碼照相機照出的照片更有立體感，原因在于普通相機只反映出復(fù)數(shù)的模（距離），而數(shù)碼相機除了模之外，還反映出每個點的輻角（位置），因此，也就有了立體感.在講柯西積分公式的性質(zhì)時，讓學(xué)生思考“如何測量地心溫度”.啟發(fā)學(xué)生可以通過測得地球表面各點的溫度，結(jié)合柯西積分公式，推導(dǎo)出地心溫度.可以用工程實例推導(dǎo)傅里葉級數(shù).在工程中經(jīng)常會用到的一些方波、三角波、鋸齒波等信號，這些信號波沒有精確的數(shù)學(xué)模型，怎么表示這些信號呢？眾所周知，正弦波是一種規(guī)則信號，有精確的數(shù)學(xué)模型.因此，通過用Matlab仿真說明方波、三角波、鋸齒波等可以由正弦波合成，進而說明所有工程中的周期函數(shù)都可以由一系列三角函數(shù)的線性組合來逼近，這就是傅里葉級數(shù)[3].

（三）“內(nèi)容充實，信息量適當(dāng)”

學(xué)生普遍反映復(fù)變函數(shù)部分定理多，需要理解的概念和定義多，內(nèi)容枯燥.積分變換部分內(nèi)容多是變換和推導(dǎo)公式，抽象難懂[4].近幾年的教學(xué)中，我們對教學(xué)內(nèi)容逐步進行適當(dāng)調(diào)整，主要是淡化理論推導(dǎo)，根據(jù)學(xué)生的實際水平和學(xué)時，適當(dāng)刪減理論性較強而專業(yè)實用性較弱的內(nèi)容和方法雷同的煩瑣定理證明，只保留體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的核心定理的證明.用寶貴的課時講好重要內(nèi)容，使學(xué)生真正消化重點內(nèi)容和體會研究問題的思想方法.比如，映射是為第六章共形映射做準(zhǔn)備的，而我們的教學(xué)大綱中不包含共形映射，故略去了映射的概念.類似的，狄拉克函數(shù)的一些復(fù)雜的性質(zhì)、復(fù)變函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)、留數(shù)在定積分計算上的應(yīng)用均略去不講.對于原函數(shù)存在定理，由于與高等數(shù)學(xué)中內(nèi)容相近，故只強調(diào)結(jié)論成立的條件，略去證明的講解.由于洛朗展開定理的證明和泰勒展開定理的證明類似，故只做簡單介紹.由于復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)的阿貝爾定理和收斂半徑求法和高等數(shù)學(xué)中的內(nèi)容類似，故只做簡單介紹，不給詳細證明.

在今后的教學(xué)中我們將沿著淡化理論推導(dǎo)、重視實際應(yīng)用的思路，繼續(xù)調(diào)整教學(xué)內(nèi)容，達到既方便學(xué)生學(xué)習(xí)又完成既定教學(xué)任務(wù)的目標(biāo).

（四）“合理布置作業(yè)，批改及時；有固定答疑時間，能夠做到有問必答”

為了方便學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)與積分變換，2007年倪培溉教授編寫了《復(fù)變函數(shù)與積分變換練習(xí)冊》.由于教學(xué)內(nèi)容變更和習(xí)題冊上部分題目難度較大，在2013年7月本人和倪培溉教授向校教材科申請了教材編寫計劃，重新編寫習(xí)題冊.增加重點、難點的內(nèi)容練習(xí)，刪減一些不重要的、和高等數(shù)學(xué)重復(fù)的內(nèi)容.新修改的習(xí)題冊于2014年1月投入使用，學(xué)生普遍反映良好.學(xué)生的作業(yè)一直按習(xí)題冊的題目布置，習(xí)題冊上的每次作業(yè)對應(yīng)一節(jié)課，每節(jié)課結(jié)束本人都給學(xué)生布置作業(yè)，因此，能做到作業(yè)布置合理.

主要問題是“有固定答疑時間，能夠做到有問必答”.由于復(fù)變函數(shù)與積分變換課程內(nèi)容多，而課時有限，因此，習(xí)題課上只能選擇重點、難點題目和學(xué)生普遍存疑的題目進行講解，每道題目都詳細講解時間不允許.而班級的人數(shù)較多，課堂上很難做到對每名學(xué)生的學(xué)習(xí)困難點進行有針對性的指導(dǎo).盡管每學(xué)期都和學(xué)生約定固定答疑時間（絕大多數(shù)學(xué)生沒有課的時間段）和地點，并鼓勵學(xué)生利用課間和課后答疑，但是很少有學(xué)生來問題.

為了方便答疑，本學(xué)期本人讓每個班的班長都建了一個答疑微信群，學(xué)生復(fù)習(xí)功課和做作業(yè)過程中可以利用微信隨時提出問題.學(xué)生有問題一般會拍照片傳到群里，本人寫好答案傳回群里，答案不容易解釋清楚時，會錄個帶有聲音的視頻傳到群里.遇到本人在上課或在開會不能及時回復(fù)的情況，其他同學(xué)會幫忙回復(fù).經(jīng)過一個學(xué)期的實踐，發(fā)現(xiàn)效果很好，可以做到一舉三得，一方面，學(xué)生有問題能夠得到及時答復(fù)；另一方面，避免了重復(fù)問同一個問題，學(xué)生在問問題之前一般會先翻看其他學(xué)生問過的問題；再有就是群里的其他同學(xué)也能看到問題的提出與解答過程，對其有檢驗和啟示作用.

（五）“課堂秩序良好，對課堂紀(jì)律進行適當(dāng)管理，且有效”

由于學(xué)生人數(shù)較多和課時有限，很難對課堂上的每一名學(xué)生進行逐一管理，存在學(xué)生缺課和遲到的現(xiàn)象.近三年本人對學(xué)生進行嚴(yán)格考勤，通過考勤和交作業(yè)情況確定學(xué)生是否有資格參加期末考試，基本上每個班都有2～3名學(xué)生由于作業(yè)和出勤不到總次數(shù)的三分之一而被取消參加期末考試的資格.有資格參加考試的學(xué)生會比較珍惜機會，好好準(zhǔn)備考試.從本人的經(jīng)驗來看，嚴(yán)格管理非但不會影響學(xué)生評教的分?jǐn)?shù)，反而分?jǐn)?shù)在不斷提高.這說明學(xué)生更希望教師對其學(xué)習(xí)進行督促.從近三年期末考試學(xué)生的及格率可以看出，本人的課堂管理是有效的，2012—2013年第一學(xué)期期末考試及格率為62.1%，2013—2014年第一學(xué)期期末考試及格率為63.5%，2014—2015年第二學(xué)期期末考試及格率為72.1%.

智能手機和互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展給課堂管理帶來新的難題.很多學(xué)生在課堂上玩手機，不認真聽課.有的學(xué)生甚至上課時只帶手機，不帶教材.教師只在課堂上泛泛地提醒收效不大.本人準(zhǔn)備在今后上課時推行“無手機課堂”：上課前先讓班長或?qū)W習(xí)委員把手機收起來.

三、關(guān)于加強課堂管理的幾點建議

根據(jù)本人近幾年的教學(xué)經(jīng)驗，對加強復(fù)變函數(shù)與積分變換課程課堂管理提出幾點建議，希望能受到有關(guān)部門的關(guān)注，進而提出有效的改進措施.

1.建議復(fù)變函數(shù)與積分變換課程安排在大二第一學(xué)期.目前復(fù)變函數(shù)與積分變換課程安排在大二的不同學(xué)期，一部分學(xué)生是大二第一學(xué)期上，另一部分學(xué)生是大二第二學(xué)期上.根據(jù)我們的教學(xué)經(jīng)驗應(yīng)該安排在大二第一學(xué)期，理由有二：（1）復(fù)變函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的后繼課程，是復(fù)數(shù)域上的高等數(shù)學(xué)，很多的基本概念和定理都與高等數(shù)學(xué)類似，比如，極限、導(dǎo)數(shù)、級數(shù)，有一些復(fù)變函數(shù)的定理要用到高等數(shù)學(xué)中的結(jié)論，比如，復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件和復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂的充要條件都要利用實變函數(shù)的結(jié)論給出來，大一第二學(xué)期剛學(xué)完高等數(shù)學(xué)，在大二第一學(xué)期接著學(xué)復(fù)變函數(shù)，學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識時，復(fù)習(xí)了舊知識，能起到溫故而知新的效果；（2）積分變換是通信與自動化專業(yè)基礎(chǔ)課信號與系統(tǒng)的基礎(chǔ)，信號與系統(tǒng)課中要用到傅里葉變換和拉普拉斯變換的很多知識.信號與系統(tǒng)安排在大二第二學(xué)期，因此，復(fù)變函數(shù)與積分變換應(yīng)該安排在大二第一學(xué)期.

2.建議后續(xù)課程教師和復(fù)變函數(shù)與積分變換的教師在一起做教學(xué)研討，討論積分變換部分應(yīng)該怎么講.原因有二：（1）數(shù)學(xué)教師在講積分變換課程時不知道后續(xù)的課程到底要用到哪些內(nèi)容，哪些知識在后續(xù)課程里有重要應(yīng)用，以及怎么用的問題；（2）數(shù)學(xué)教師在講傅里葉變換和拉普拉斯變換的應(yīng)用時只講了在微（積）分方程中的應(yīng)用，不了解實際應(yīng)用，希望專業(yè)課教師能在這方面給予一些簡單的應(yīng)用實例.

3.建議減少學(xué)生重修次數(shù).目前我們學(xué)校的學(xué)生可以反復(fù)重修同一門課，導(dǎo)致一部分學(xué)生不重視重修的機會.很多重修的學(xué)生不去上課，不交作業(yè)，大約有三分之一的人甚至不去參加考試，這樣導(dǎo)致了教學(xué)資源的極大浪費.建議減少學(xué)生重修次數(shù)，每門課程只給兩到三次重修機會.

4.建議取消教室的WIFI.教室的WIFI對學(xué)生學(xué)習(xí)起到的正面作用有限，而副作用極大.有了WIFI，學(xué)生更方便上課看手機.很多學(xué)生上課時間用手機看視頻、玩游戲，不學(xué)習(xí)現(xiàn)象更加嚴(yán)重.為此，教師對學(xué)生要反復(fù)強調(diào)不要看手機，甚至要班長把一個班學(xué)生的手機收集到一起.

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