毛 凱，孫校書，楊樹杰，劉 丹，宋瑋瑋

（1.海軍航空大學，山東 煙臺264001；2.煙臺大學文經(jīng)學院，山東 煙臺264000）

由于在諸如圖像處理、模式識別、聯(lián)想記憶以及優(yōu)化問題等方面的應用和潛在應用，近年來，神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)得到了廣泛的研究[1-2]。眾所周知，神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)的應用極大地依賴于其動力學行為，尤其是其平衡點的存在性和穩(wěn)定性。同時，由于放大器轉(zhuǎn)換速度的有限和信息處理速度的有限，時滯現(xiàn)象在神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)中往往是不可避免的，時滯也常使得系統(tǒng)不穩(wěn)定或產(chǎn)生振蕩。因此，時滯神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究在理論和實踐中都具有重要意義，已有不少關于時滯神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)時滯相依或時滯獨立的穩(wěn)定性研究結果[3-6]。一般說來，時滯相依穩(wěn)定性結果中包含了時滯的信息，因而通常比時滯獨立的穩(wěn)定性結果具有更低的保守性，尤其是對于小時滯神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)來說這種現(xiàn)象更為明顯。也正因為如此，使系統(tǒng)達到全局穩(wěn)定的時滯最大可能取值——時滯最大允許上界（MAUB）成為學者們極其關注的研究指標，MAUB同時也是系統(tǒng)穩(wěn)定性條件具有更低保守性的標志性指標，這方面的研究成果也不斷被提出。然而，人們已經(jīng)認識到，傳統(tǒng)的Lyapunov-Krasovskii泛函的構造對系統(tǒng)穩(wěn)定性條件保守性的降低作用甚小。因此，增廣Lyapunov-Krasovskii泛函的構造就成為降低系統(tǒng)穩(wěn)定性條件保守性的必然選擇之一[7]。

近年來，時滯分割逐漸成為降低保守性的有效手段之一，例如，具有定常時滯的神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)[8]，具有時變時滯的神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)[9-13]，以及具有多時滯成分的連續(xù)系統(tǒng)[14]，離散系統(tǒng)[15]以和一類中立型時滯系統(tǒng)[16]，都利用了時滯分割技術獲得系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性條件。文獻[17]基于時滯分割技術研究了一類具有分布時滯的線性分數(shù)階不確定性系統(tǒng)的穩(wěn)定性及魯棒穩(wěn)定性問題，文獻[18]首次將這種方法擴展至同時具有離散和分布時滯的中立型系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究。盡管上述文獻的穩(wěn)定性結果已具有較低的保守性，但通過構造恰當?shù)脑鰪VLyapunov-Krasovskii泛函，并使用更好的定界技巧估計泛函導數(shù)的上界，可望獲得比上述文獻具有更低保守性的系統(tǒng)穩(wěn)定性結果。

基于以上分析，本文首先構造一個新的增廣Lyapunov-Krasovskii泛函；再利用時滯分割技術對時變時滯函數(shù)的下界、定常分布時滯進行不同分割，并借助自由權矩陣和Jensen積分不等式等手段對泛函導數(shù)的上界進行更精細的估計、定界，獲得以LMIs形式描述的具有更低保守性的系統(tǒng)時滯相依全局漸近穩(wěn)定性判定條件；最后，以數(shù)值實例說明了方法的有效性。本文中：?n×m表示n×m實矩陣空間；上標T表示轉(zhuǎn)置；X≥Y（X＞Y）表示X-Y半正定（正定），其中X、Y均為對稱陣；In×n、0n×n分別表示n×n單位陣和零矩陣；記號?表示對稱矩陣中相應的對稱塊；sym(A)=A+AT；r表示分布時滯長。

1 問題描述

考慮如下同時具有時變和分布時滯的神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)：

式（1）中：n為系統(tǒng)中神經(jīng)元數(shù)目，y(t)=(y1(t),y2(t),…,yn(t))T為 神 經(jīng) 元 狀 態(tài) 向 量 ；g(y(t))=(g1(y1(t)),g2(y2(t)),…,gn(yn(t) ))T為神經(jīng)元激勵函數(shù)；C=diag(c1,c2,…,cn)為神經(jīng)元自反饋系數(shù)矩陣；A,B,D∈?n×n分別表示神經(jīng)元連接、時滯連接和分布連接矩陣；I=diag(I1,I2,…,In)為系統(tǒng)輸入常向量；y(t)=ψ(t),-τ≤t≤0為初始條件。

一般，對激勵函數(shù)和時變時滯函數(shù)作如下假設：

H2：時變時滯函數(shù)τ(t) 可微，且0＜τ1≤τ(t) ≤τ2，τ˙(t) ≤τ3＜1，其中τ1、τ2、τ3均為常數(shù)。

對于給定的初始條件，上面的假設H1保證了系統(tǒng)（1）平衡點y?=(y1?,y2?,…,yn?)的存在性，作平移變換xj(t)=yj(t)-yj?，則系統(tǒng)（1）變?yōu)椋?/p>

引理1（Jensen積分不等式）[9]：對任意的對稱正定陣M=MT＞0，標量τ2＞τ1＞0及使得如下積分有定義的向量值函數(shù)ω:[0,γ]→?n，下面的積分不等式成立：

2 主要結果

本節(jié)將在一個新構造的增廣Lyapunov-Krasovskii泛函的基礎上，對時變時滯函數(shù)的下界和定常分布時滯同時進行時滯分割，以推導系統(tǒng)時滯相依全局穩(wěn)定性條件。首先引入如下的記號：

定理1：對給定的τ1、τ2、τ3，正整數(shù)m,l≥1 ，若存在對稱正定矩陣P∈?3n×3n，Q1∈?mn×mn，Q2∈?ln×ln，Q3∈ ?2n×2n，Z,Ri∈ ?n×n(i=1,2,3,4 )，Si∈ ?n×n(i=1,2)，非 負 對 角 陣W=diag(w1,w2,…,wn)，Δ=diag(δ1,δ2,…,δn)，Λi=diag(λi1,λi2,…,λin)，i=1,2 ，以及任意恰當維數(shù)的矩陣Mi、Ni、Fi、Gj（i=1,2;j=1,2,3），使如下LMIs（3）成立，則系統(tǒng)（2）的平衡點是全局漸近穩(wěn)定的，

式中，Ξ定義為：

式（4）中：

證明：由Brouwer不動點定理，不難證明系統(tǒng)平衡點的存在性，這里僅需證明平衡點的全局漸近穩(wěn)定性。

為此，構造如下形式的增廣Lyapunov-Krasovskii泛函V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)+V4(t)。

式中：

現(xiàn)計算V(t)沿系統(tǒng)（2）對時間的導數(shù)，并進行適當?shù)姆糯笳怼?/p>

對于V˙3(t) 、V˙4(t)中如下的3個積分項，由引理1，有：

根據(jù)Newton-Leibniz公式及系統(tǒng)（2），對于恰當維數(shù)的矩陣Mi、Ni、Fi、Gj（i=1,2;j=1,2,3），總有如下的等式成立。

由關于激勵函數(shù)的假設H1，對任意非負標量λij≥0,i=1,2;j=1,2,…,n，下面的不等式成立：

或由矩陣向量形式等價地描述為：

由式（5）～（20），經(jīng)過一系列運算、整理，不難得到：

由系統(tǒng)（3）以及引理2易知，存在恰當?shù)男≌龜?shù)ε，使得Σ＜diag(-εI,0,0,…,0 )，其中：

于是，有V˙(t)≤ξT(t)Σξ(t)＜-ε‖x(t)‖2。

這意味著時滯系統(tǒng)（2）的平衡點是全局漸近穩(wěn)定的，證畢。

注1：正如前文所說，時滯分割技術被廣泛應用于定常或時變的離散時滯系統(tǒng)，卻很少應用于分布時滯系統(tǒng)。受文獻[18]的啟發(fā)，本文首次嘗試將時滯分割技術推廣應用于同時具有時變時滯和分布時滯的神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。

注2：定理1中，穩(wěn)定性條件保守性的降低得益于新構造的增廣Lyapunov-Krasovskii泛函，其中不僅含有針對時變時滯和分布時滯的時滯分割積分項，也含有時滯分割的二重及三重積分項，如V2(t)中的前2個積分項，V3(t)中的前2個二重積分項和V4(t)中的三重積分項。

注3：在文獻[20]中，Chen等通過構造含有一個Lyapunov-Krasovskii二重及三重積分項的增廣泛函，未使用時滯分割技術研究了一類具有離散時滯的神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件。而基于時滯分割技術的新的Lyapunov-Krasovskii泛函卻可以獲得比已有文獻結果具有更低保守性的系統(tǒng)穩(wěn)定性條件。

注4：在文獻[13]中給出了具有離散區(qū)間時滯和分布時滯的隨機神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性條件，值得注意的是文中的分布時滯是時變的。本文雖然考慮的是定常分布時滯，但本文的方法能夠推廣到時變分布時滯系統(tǒng)上去，這也是近期將開展的工作。

下面將考慮系統(tǒng)（2）的2個特殊情形：

情形1：若τ(t)=τ，則經(jīng)過平衡點平移變換后，相應的系統(tǒng)由下式給出

對上述系統(tǒng)構造Lyapunov-Krasovskii泛函

式中：

通過類似定理1的方法，容易得到如下推論。

推論1：對給定的τ、r，正整數(shù)m,l≥1，若存在對稱 正定陣P∈?3n×3n，Q1∈?mn×mn，Q2∈?ln×ln，Q3∈ ?2n×2n，Ri∈ ?n×n(i=1,2,3,4 )，Si∈ ?n×n(i=1,2)，非負 對 角 陣W=diag(w1,w2,…,wn)，Δ=diag(δ1,δ2,…,δn)，Λi=diag(λi1,λi2,…,λin),i=1,2以 及 任 意 恰 當 維 數(shù) 的 矩 陣Mi、Ni、Fi、Gj（i=1,2;j=1,2,3,4）使如下的LMI成立，則系統(tǒng)（22）的平衡點全局漸近穩(wěn)定，

式中，Σ定義為：

式（23）中：

情形2：若在系統(tǒng)（2）中令D=0，則經(jīng)過平衡點平移變換后，相應的系統(tǒng)即為在很多文獻中得到廣泛研究的時變時滯神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)：

相應地有關于系統(tǒng)（24）的如下推論。

推論2：對于給定的τ1、τ2、τ3，正整數(shù)m≥1，若存在對稱正定陣P∈?2n×2n，Q1∈?mn×mn，Q3∈?2n×2n，Z,Ri∈ ?n×n(i=1,2,3) ，S1∈ ?n×n，非負對角陣W=diag(w1,w2,…,wn)，Δ=diag(δ1,δ2,…,δn)，Λi=diag(λi1,λi2,…,λin),i=1,2 ，以及任意恰當維數(shù)的矩陣Mi、Ni、Fi、Gj（i=1,2;j=1,2,3,4），使如下的LMIs成立，則系統(tǒng)（24）的平衡點是全局漸近穩(wěn)定的，

式中，Π的定義為：

式（25）中：

3 數(shù)值實例

這里將給出2個數(shù)值實例，用本文方法計算結果，并與相關文獻結果進行比較。

例1：考慮文獻[18，20]給出的2階時滯神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)，相關參數(shù)如下：

根據(jù)由文獻[20]穩(wěn)定性判據(jù)得到的時滯最大允許上界為6.827 9；當m、l分別都取相等的1、2、3、4時，文獻[18]給出的相應結果分別為5.514 7、7.236 8、8.582 6和9.724 5。而用本文推論1的結論，當m、l分別都取相等的1、2、3、4時，相應的結果則為6.846 1、7.257 9、8.697 4和9.752 3。顯然，本文結果相較于文獻[18，20]的結果具有更低的保守性。

例2：考慮文獻[21-24]中給出的2階時滯神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)，相關參數(shù)如下：

為與已有文獻結果進行比較，設τ1=0，τ3=0.6，則τ2的MAUB分別為2.921 9[24]、2.933 4[23]。而用本文推論2的結論，當時滯分割數(shù)m分別取1、2、3、4時，τ2的MAUB分別為2.965 1、2.997 4、3.011 2和3.120 7。

盡管時滯分割能降低系統(tǒng)穩(wěn)定性條件的保守性，但必須指出的是，隨著時滯分割數(shù)m或r的增加，保守性的降低將越來越不明顯，而計算的復雜程度卻越來越高。在實際應用中，應當兼顧保守性和計算復雜度，盡量選取適當?shù)臅r滯分割數(shù)。

4 結語

本文基于時滯分割技術研究了一類同時具有時變時滯和分布時滯的神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性，通過對時變時滯函數(shù)的下界和定常分布時滯進行時滯分割并構造一個新的增廣Lyapunov-Krasovskii泛函，獲得系統(tǒng)一個改進的時滯相依全局漸近穩(wěn)定性充分條件，時滯分割是降低穩(wěn)定性條件保守性的關鍵因素。保守性隨著時滯分割數(shù)目的增加而降低，但降低幅度越來越小。穩(wěn)定性條件是以LMIs給出的，便于使用標準的數(shù)字軟件包加以檢驗，數(shù)值實例清晰表明時滯分割技術可以有效地降低穩(wěn)定性條件的保守性。