王 捷，田曉麗，賈曉玲，侯 飛

（中北大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，太原030051）

現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)對(duì)于武器裝備的要求越來(lái)越高。對(duì)于導(dǎo)彈和火箭彈這類有火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的裝備而言，射程是一個(gè)很重要的指標(biāo)。目前，比較成熟的增程技術(shù)主要有底排增程、火箭增程。底排增程通過(guò)減小底阻來(lái)提升射程，其射程能提升20%左右。而火箭增程則受限于彈的質(zhì)量、形狀等因素不能無(wú)限制裝藥，使得增程距離也有限。這2種增程技術(shù)都難以滿足現(xiàn)在對(duì)于增程的要求。滑翔增程是通過(guò)控制舵翼的偏轉(zhuǎn)，來(lái)增大火箭的升阻比來(lái)提高射程，是一種比較理想的增程方式。這種方法是基于對(duì)火箭彈彈道特性的研究所提出的。彈道特性的研究是彈道修正技術(shù)的關(guān)鍵，對(duì)分析彈體飛行特點(diǎn)、優(yōu)化彈道設(shè)計(jì)、制導(dǎo)控制的設(shè)計(jì)等有重要的指導(dǎo)意義。以理論計(jì)算為基礎(chǔ)的數(shù)值仿真技術(shù)，能夠簡(jiǎn)單、直觀地展示彈道飛行特點(diǎn)，為彈道特性的研究提供良好的方法途徑[1-2]。通過(guò)火箭彈的彈道特性知道，舵翼偏轉(zhuǎn)的角度大小影響著火箭彈的攻角?；诖?，本文通過(guò)攻角的變化來(lái)研究其對(duì)于火箭彈射程的影響。

火箭彈飛行過(guò)程中，在滿足約束條件下達(dá)到某些技戰(zhàn)術(shù)指標(biāo)的極值，這就是彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)[3-4]。彈道優(yōu)化問(wèn)題是一個(gè)動(dòng)態(tài)優(yōu)化問(wèn)題，由于其本身的復(fù)雜性采用動(dòng)態(tài)優(yōu)化方法不易求解[5]。因此，需要將彈道優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)的參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題。常用的轉(zhuǎn)換方法有間接法與直接法[6]。直接法是將連續(xù)的優(yōu)化問(wèn)題直接離散并進(jìn)行參數(shù)化，不需要求解出最優(yōu)值的條件[7-8]。直接法有直接打靶法、配點(diǎn)法等。間接法是基于極大值原理將最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)換為哈密頓邊值問(wèn)題。本文采用現(xiàn)代優(yōu)化算法中的粒子群優(yōu)化算法對(duì)彈道參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行研究[9]，充分地證明了現(xiàn)代優(yōu)化算法應(yīng)用于彈道優(yōu)化問(wèn)題的可行性。

1 模型建立

1.1 火箭彈彈道模型

火箭彈六自由度模型能較精確地解算出彈道諸元，但是在實(shí)際運(yùn)用過(guò)程中，六自由度彈道解算復(fù)雜，求解時(shí)間長(zhǎng)，很難滿足彈道實(shí)時(shí)解算的要求[10]。雖然四自由度彈道求解精度不如六自由度，但是它已經(jīng)能滿足落點(diǎn)精度要求，并且其求解時(shí)間短，能夠滿足彈箭彈道實(shí)時(shí)解算的要求。因此，采用四自由度彈道模型是可行的[11]。

火箭彈四自由度彈道模型如下：

式（1）中，F(xiàn)x2、Fy2、Fz2為彈箭運(yùn)動(dòng)所受力在彈道坐標(biāo)系上的三分量；m為質(zhì)量；v為速度；t為時(shí)間；θa為速度高低角；φ2為速度方向角；ωξ為彈的滾動(dòng)角速度；Mξ為彈的滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)相關(guān)的力矩。

α為攻角，α對(duì)于阻力以及升力的大小影響如下：

式（2）中：Cx為阻力系數(shù)；Cx0為零升阻力系數(shù)；Cy為升力系數(shù)；C′y為升力系數(shù)導(dǎo)數(shù)；Cy2為三次升力系數(shù)。

對(duì)于正常飛行的彈箭，彈軸與速度之間的夾角很小，彈道偏離射擊面也很小，本文以攻角為研究對(duì)象，所以可設(shè)平衡側(cè)滑角β為0。

彈道微分方程的解析解很難求解，通常采用數(shù)值解法，即采用龍格庫(kù)塔法進(jìn)行求解。

方程組的初始條件為：vx=v0cosα，vy=v0sinα，vz=0，x=0，y=0，z=0。

1.2 粒子群算法優(yōu)化模型

1.2.1 粒子群算法

粒子群優(yōu)化算法來(lái)源于對(duì)簡(jiǎn)化的社會(huì)模型的模擬，是在鳥(niǎo)群、魚(yú)群和人類社會(huì)的行為規(guī)律的啟發(fā)下提出的[12-14]。該算法是基于種群進(jìn)行全局搜索，通過(guò)不斷迭代逼近最優(yōu)解[15-17]，收斂速度快，魯棒性強(qiáng)，近年來(lái)多用于軌跡優(yōu)化[18-19]。粒子群優(yōu)化算法將每個(gè)個(gè)體看成搜索空間中的沒(méi)有體積的粒子，在搜索空間中以一定的速度飛行。粒子的速度及位置分別為：

速度更新公式包含3部分：①粒子先前的速度；②粒子位置向自身歷史最佳位置逼近；③粒子位置向群體歷史最佳位置逼近。

1.2.2 粒子群算法邊界條件處理

當(dāng)粒子的某一維的速度或者位置超過(guò)了預(yù)先設(shè)定的邊界值，采用如下的措施來(lái)限制粒子的速度以及位置值。

當(dāng)v＞vmax或v＜vmin時(shí)，

同理，當(dāng)x＞xmax或x＜xmin時(shí)，

式（5）、（6）中：vmin、vmax、xmin、xmax表示預(yù)先設(shè)定的邊界值。

1.2.3 常數(shù)的取值

經(jīng)研究表明：ω的取值在0.8至1.2時(shí)，粒子群算法有更好的收斂速度；當(dāng)ω大于1.2時(shí)，粒子群算法易陷入局部收斂。

加速度常數(shù)c1和c2分別決定粒子個(gè)體經(jīng)驗(yàn)和群體經(jīng)驗(yàn)對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)的影響。如果c1和c2均為0，表明粒子的速度只取決于慣性常數(shù)ω。此時(shí)，粒子的搜索能力有限，很難找到最優(yōu)解。如果只有c1=0，c2≠0，則該模型只有群體的經(jīng)驗(yàn)，沒(méi)有個(gè)體的經(jīng)驗(yàn)，這樣該模型收斂速度比較快，但是它比較容易陷入局部極值。如果只有c2=0，c1≠0，則該模型只有個(gè)體的經(jīng)驗(yàn)，而缺乏個(gè)體之間的交流，也就是缺乏群體的經(jīng)驗(yàn)。因此，一般設(shè)置c1=c2≠0，這樣能保證個(gè)體的經(jīng)驗(yàn)和群體的經(jīng)驗(yàn)都有相同的權(quán)值，如認(rèn)為個(gè)體或整體中某一個(gè)更重要，即可設(shè)置其加速度常數(shù)更大即可。

1.3 粒子群算法優(yōu)化彈道

1.3.1 目標(biāo)函數(shù)

彈道優(yōu)化的目標(biāo)是在火箭彈總體參數(shù)已經(jīng)確定的情況下，使得其射程最遠(yuǎn)，即：

1.3.2 約束條件

對(duì)于某型戰(zhàn)斗部的火箭彈，為保證火箭彈的毀傷效果，須對(duì)其著速以及著角進(jìn)行約束。同時(shí)，為了保證火箭彈的穩(wěn)定性，其攻角在一定范圍內(nèi)變化，即：

式（8）中：v是火箭彈的著速；vmax為火箭彈最大著速；θ為火箭彈的著角為負(fù)；θmax為火箭彈的最大著角；α為火箭彈的攻角；αmin為火箭彈攻角的最小值；αmax為火箭彈攻角的最大值。

1.3.3 優(yōu)化變量

火箭彈彈道優(yōu)化是指火箭彈在飛行中的某個(gè)時(shí)刻開(kāi)始，通過(guò)控制指令，使舵機(jī)產(chǎn)生舵偏從而控制火箭彈的攻角。本文主要研究攻角的變化規(guī)律對(duì)于火箭彈射程的影響。因此，優(yōu)化設(shè)計(jì)變量為攻角，即：

1.3.4 粒子群算法優(yōu)化彈道流程

1）初始化粒子群，每個(gè)粒子的位置以及速度即初始化攻角值，初始化流程如下：

a）從t0到時(shí)間內(nèi)每隔5 s取一個(gè)采樣點(diǎn)，則采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)也是粒子維數(shù)D，D=(t-t0)/5+1；

b）初始化群體粒子個(gè)數(shù)為N；

c）初始化學(xué)習(xí)因子為c1、c2，慣性權(quán)重為ω，最大迭代次數(shù)為T；

d）初始化粒子的位置最大值為xmax，最小值為xmin，粒子速度最大值為vmax，粒子速度最小值為vmin；

e）初始化完成后生成了N個(gè)粒子，即{N1,N2,…,Nn}。每個(gè)粒子的維數(shù)為D，某個(gè)粒子Ni的初始位置為Ni={αi1,αi2,…,αin} ，并隨機(jī)初始化粒子Ni的隨機(jī)速度為vi，即vi={vi1,vi2,…,vin} 。

2）將第1）步得到的N個(gè)粒子，代入到彈道模型中，利用龍格庫(kù)塔法求解出火箭彈的射程R，這也是求解每個(gè)粒子的適應(yīng)度函數(shù)值。

3）計(jì)算粒子的個(gè)體最優(yōu)值以及整體的最優(yōu)值即得到當(dāng)前的最優(yōu)射程。將上述得到的粒子個(gè)體最優(yōu)值記為Pbest，最優(yōu)位置記為P，全局最優(yōu)值記為gbest，局部最優(yōu)位置記為g。

4）利用式（3）、（4）進(jìn)行速度、位置更新。

5）進(jìn)行邊界條件判斷即判斷粒子速度位置知否超出其本身允許的范圍，判斷方法如下：

判斷更新后粒子的速度是否在(vmin,vmax)之間，位置是否在 (vmin,vmax)之間，利用式（5）、（6）進(jìn)行邊界處理。

6）判斷是否滿足結(jié)束條件，即相鄰2次射程的差小于某個(gè)極小的常數(shù)ε，或者迭代次數(shù)S大于最大迭代次數(shù)T。

若成立則進(jìn)行第7）步，不成立則返回第2）步。

7）結(jié)束運(yùn)行，輸出彈道優(yōu)化后的各種參數(shù)文件。

2 仿真計(jì)算結(jié)果

結(jié)合某型火箭彈的彈道仿真結(jié)果，設(shè)置粒子群優(yōu)化算法的各個(gè)參數(shù)的初始值分別為：t0=0，t=300，D=61，N=100，T=100，ω=0.8，c1=c2=1.5。

對(duì)于該型火箭彈，采用初始射擊條件分別為：x0=0，y0=0，v0=0，初始射角θ分別為 52°，55°，62°，約束條件vmax=250，θmax=-70°，對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化仿真，所得結(jié)果如圖1～6所示。

圖1為火箭彈飛行過(guò)程中攻角為零時(shí)的彈道曲線。圖2為對(duì)火箭彈飛行攻角進(jìn)行優(yōu)化后所得到的彈道曲線。圖3為未優(yōu)化的零攻角彈道與優(yōu)化后的含有攻角的彈道的對(duì)比圖。圖4為采用優(yōu)化算法優(yōu)化后的火箭彈的實(shí)時(shí)攻角。圖5為不同初始射角下，經(jīng)過(guò)優(yōu)化后的彈道曲線圖。圖6為不同初始射角下，經(jīng)過(guò)優(yōu)化后的攻角曲線圖。

圖1 攻角為0時(shí)彈道Fig.1 Zero angle of attack trajectory

圖2 優(yōu)化攻角后彈道Fig.2 Optimizing the rear ballistic angle of attack

圖3 零攻角彈道與優(yōu)化彈道Fig.3 Zero angle of attack trajectory and optimal trajectory

圖4 優(yōu)化后的火箭彈的攻角Fig.4 Optimized angle of attack of rocket

圖5 不同射角下的火箭彈彈道Fig.5 Rocket trajectory at different angles of fire

圖6 不同射角下攻角曲線Fig.6 Angle of attack curves at different angles of attack

圖1～3表明，在52°射角下，攻角為0的火箭彈的射程僅為30.6km，而優(yōu)化后的火箭彈射程達(dá)到66.5km。說(shuō)明通過(guò)控制攻角能有效地增加火箭彈的射程。

圖4表明，在火箭彈飛行時(shí)間內(nèi)攻角的變化比較平緩，考慮到攻角的變化是由舵機(jī)的舵偏來(lái)進(jìn)行控制的，這樣攻角的緩慢變化有利于舵機(jī)控制的實(shí)現(xiàn)。

圖5、6表明，對(duì)于不同的初始射角，經(jīng)過(guò)優(yōu)化仿真后其最大射程基本都在67km附近。并且其對(duì)應(yīng)的攻角曲線圖也基本相似，說(shuō)明對(duì)于參數(shù)確定的火箭彈，在不同的初始射角下，通過(guò)控制攻角可以使其達(dá)到最大的射程。

經(jīng)過(guò)優(yōu)化后的火箭彈彈道參數(shù)如表1所示。

表1 火箭彈落點(diǎn)信息Tab.1 Information of rocket impact point

通過(guò)表1可以得到，火箭彈在不同射角下其能達(dá)到的最大射程基本一致，并且都滿足著速以及著角的約束條件。說(shuō)明以攻角為變量的優(yōu)化方案是可行的。

3 結(jié)束語(yǔ)

粒子群算法本質(zhì)上是一種隨機(jī)搜索算法，它是一種新興的智能優(yōu)化技術(shù)。該算法能以較大的概率收斂于全局最優(yōu)解。實(shí)踐證明，它適合在動(dòng)態(tài)、多目標(biāo)優(yōu)化環(huán)境中尋優(yōu)。與傳統(tǒng)算法相比，具有較快的計(jì)算速度和更好的全局搜索能力。將粒子群優(yōu)化算法與火箭彈滑翔增程問(wèn)題進(jìn)行結(jié)合，所得到的結(jié)果表明，對(duì)應(yīng)于某型制導(dǎo)火箭彈不同的初始射角，通過(guò)控制攻角變化規(guī)律都能夠達(dá)到火箭彈的最大射程。這表明針對(duì)火箭彈滑翔增程問(wèn)題，攻角控制是一個(gè)理想的方法。這對(duì)于火箭彈射程優(yōu)化設(shè)計(jì)有一定的參考價(jià)值。