王璐陽

【摘要】高等代數(shù)作為數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課程，為抽象代數(shù)的學(xué)習(xí)提供了支撐.由于抽象代數(shù)較難，所以可以嘗試從高等代數(shù)中探尋對抽象代數(shù)的理解，本文嘗試著從變換、等價、群、域、環(huán)、零因子以及環(huán)上的運算規(guī)律來闡釋如何通過高等代數(shù)來學(xué)習(xí)抽象代數(shù).

【關(guān)鍵詞】高等代數(shù);抽象代數(shù);教學(xué)

在代數(shù)學(xué)科中，高等代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)課當(dāng)中的一門較為基礎(chǔ)的課程.學(xué)習(xí)抽象代數(shù)是建立在對高等數(shù)學(xué)的掌握基礎(chǔ)上的.因此，抽象代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)的必修課，也是對高等數(shù)學(xué)中的數(shù)域、多項式等概念的高度概括和抽象.同時，高等數(shù)學(xué)也為抽象代數(shù)的學(xué)習(xí)提供了很多實用的模型.

高等代數(shù)與抽象代數(shù)之間的關(guān)系較為緊密，在數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生中，很多學(xué)生難以理清它們之間的關(guān)系，他們認(rèn)為高等數(shù)學(xué)較為簡單，抽象數(shù)學(xué)較難.因此，在抽象數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中可以嘗試使用高等數(shù)學(xué)中的模型和知識來理解抽象數(shù)學(xué)中的概念.

一、辨析兩種“交換”概念

在高等數(shù)學(xué)中，變換的概念一般可表述為：“一個集合A到A的映射稱為A的一個變換”.對這個概念則可以通過舉例的形式讓學(xué)生輕易掌握.但是，在教科書上沒有相關(guān)的習(xí)題，學(xué)生可以從網(wǎng)絡(luò)上尋找相關(guān)習(xí)題進行練習(xí).還需要將“變換”的概念同“線性變換”進行區(qū)分，既能溫故，又能促進新知識的學(xué)習(xí).

二、等價關(guān)系

等價關(guān)系，屬于集合上的概念，即集合A與另外一個集合B相等，它滿足自反性、對稱性以及傳遞性.這幾種特性在教材中也給出了若干例子.在實際教學(xué)中，則需要先將“關(guān)系”的概念理解清楚，同時對“非等價關(guān)系”進行解釋，這樣就等于從另一個角度對“等價關(guān)系”進行了講解.在學(xué)習(xí)這一概念之前，可以先復(fù)習(xí)高等代數(shù)中關(guān)于矩陣的“合同”和“相似”等相關(guān)概念.

三、群、環(huán)和域概念

在我們的教科書中，作者對群的定義進行了表述，分別給出了第一和第二定義，并且說明了這兩個定義之間的關(guān)系，即一致性.學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可以先理解第一定義，然后理解普通加法，進一步研究為何普通乘法在非零集合中都符合第一定義的群概念.然后再導(dǎo)向第三定義.在第三定義中，可以反問自己：Mn（R）關(guān)于矩陣加法是群嗎？通過自行翻查資料確定關(guān)于矩陣加法和乘法的相關(guān)性質(zhì)以及定義，嘗試去理解相關(guān)概念.然后，繼續(xù)理解交換律可以在矩陣加法中運用.最后，將相關(guān)例子進行梳理，進行總結(jié).

通過群的例子，還可以進一步尋找已經(jīng)學(xué)過的、類似地對環(huán)和域的概念進行理解.通過這種方法不僅可以使得學(xué)生重新對已學(xué)的知識進行復(fù)習(xí)，還能促進學(xué)生對新知識的掌握，使得學(xué)生感受到：群、環(huán)以及域的概念是對高等代數(shù)中的數(shù)域、多項式等的進一步概括以及抽象.通過這些方法使得學(xué)生明白抽象數(shù)學(xué)的非抽象性，有助于學(xué)生對該學(xué)科的學(xué)習(xí).

四、零因子

零因子對于數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說是第一次出現(xiàn)在教材上，在高等數(shù)學(xué)中并沒有相關(guān)的概念.教科書是先通過給出n這一整數(shù)模型的剩余類環(huán)Zn，當(dāng)n是合數(shù)的時候，則一定存在著兩個非零元的元素相乘，其結(jié)果卻是零元，并且進一步闡釋了零因子的概念，區(qū)分了左零因子和右零因子兩個因子，只有當(dāng)一個數(shù)同時是左零因子和右零因子時，這個數(shù)就能稱之為零因子了.這對學(xué)生來說仍然具有抽象性，那么可以嘗試著對Mn（R）中兩個非零的矩陣相乘的結(jié)果進行思考.如下例1：

通過這個例子闡釋A是環(huán)S的左零因子，B則為右零因子.還可以讓學(xué)生通過例1來找出矩陣C，并且使得BC=02×2，這樣也就說明了一個環(huán)內(nèi)的右零因子不一定就是左零因子.

五、環(huán)上的運算規(guī)律

在環(huán)上則有兩種運算方式：一種方式稱為加法，另一種則稱為乘法.這兩種方式的運算則可以通過一定的分配律來進行聯(lián)系.同時有些環(huán)內(nèi)的運算規(guī)則較為復(fù)雜和煩瑣，在學(xué)習(xí)過程中可以使用列表的方式將環(huán)內(nèi)的運算規(guī)律以及Mn（R）上的矩陣運算規(guī)律加以比較，從而發(fā)現(xiàn)環(huán)內(nèi)的運算規(guī)律和Mn（R）上的運算規(guī)律相符，正確理解環(huán)內(nèi)運算規(guī)律.

概言之，高等數(shù)學(xué)作為數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課程，其知識點可以有效地對抽象代數(shù)進行支撐.事實上，抽象代數(shù)正是建立在高等數(shù)學(xué)等一些基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識之上的，學(xué)生學(xué)習(xí)過程中可以充分采取熟悉的知識來理解和掌握新知識.

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