華明

摘 要 量子光學為多種前沿科學研究提供了理論基礎，是研究生階段重要課程之一。Jaynes-Cummings（JC）模型是量子光學中很重要的模型，被廣泛應用于描述一個二能級原子和一個單模腔場的相互作用。該模型成立的前提是腔場與二能級原子的耦合強度遠小于腔頻（）。隨著近些年實驗技術的發(fā)展，被不斷增大，單純JC模型的教學是否能跟得上研究的進展便成為一個問題。我們在這篇文章里數(shù)值計算并討論了是否考慮旋轉(zhuǎn)波近似的單模腔場與二能級原子的共振相互作用。通過在教學中引入前沿科學研究及相關討論，學生們知道了滿足不同量子操作精度所需要的取值范圍。這為學生在未來科研中打下堅實基礎。

關鍵詞 量子光學 JC模型 教學改革 課堂教學

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2019.06.043

Teaching Exploration of Combining Jaynes-Cummings Model

with Frontier Scientific Research in Quantum Optics Course

HUA Ming

（School of Physical Science and Technology， Tianjin Polytechnic University， Tianjin 300387）

Abstract Quantum optics provides a theoretical basis for many frontier scientific researches and is one of the important courses in postgraduate stage. Jaynes-Cummings （JC） model is an important model in quantum optics. It is widely used to describe the interaction between a two-level atom and a single-mode cavity field. The premise of the model is that the coupling strength between the cavity field and the two-level atom is much less than the cavity frequency （）. With the development of experimental technology in recent years， has become a question whether the teaching of JC model can keep up with the progress of research. In this paper， we numerically calculate and discuss whether the resonant interaction between a single-mode cavity field and a two-level atom with rotating wave approximation is considered. By introducing frontier scientific research and related discussions into teaching， students know the range of values needed to satisfy different quantum operation accuracy. This will lay a solid foundation for students in future scientific research.

Keywords quantum optics； JC model； teaching reform； classroom teaching

0 前言

Jaynes-Cummings（JC）模型是量子光學[1]課程中的重要理論模型，它描述了一個二能級原子與一個單模腔場的相互作用。該模型成立的前提[2]是腔場與二能級原子的耦合強度要遠小于腔頻。在早期實驗中，由于能實現(xiàn)的原子（或人工原子）與各種諧振腔的耦合強度都較小，[3]所以人們以JC模型為基礎給出了大量基于原子（或人工原子）或諧振腔的普適量子邏輯門、量子糾纏以及各種量子操作的構建方案并能很好的指導相關實驗的實現(xiàn)。因此，在以前的量子光學教學中人們無需討論JC模型的適用范圍也可以不影響大部分學生未來的科學研究。隨著實驗技術的發(fā)展，諧振腔與人工原子之間的耦合強度逐漸增大。[4]這讓基于該系統(tǒng)的各種量子操作的完成時間被大大縮短。但與此同時，由于逐漸接近使得JC模型不再能很好的描述這種系統(tǒng)。這時，我們需要在JC模型的教學中定量的告訴學生該模型的適用范圍與耦合強度和腔頻之間的關系來指導學生在未來的科研中更準確的使用該模型。

1 JC模型

當一個系統(tǒng)由一個二能級原子和一個單模腔場耦合組成，那么該系統(tǒng)可以由哈密頓量

（） （1）

來描述。其中是腔場中光子的產(chǎn)生湮滅算符。是二能級原子的升降算符。為二能級原子能級間躍遷頻率。為單模諧振腔的頻率。是原子與腔之間的耦合強度。在弱耦合框架下以及當耦合強度超過腔的泄漏率和原子的退相干率時，人們可以使用旋轉(zhuǎn)波近似忽略掉頻率快變項和，從而將哈密頓量約化成為

（） （2）

此即著名的JC模型。但是，當耦合強度增大到一定程度時，快變項不再能被忽略，此時該系統(tǒng)將是否還能很好的被公式（2）所描述就需要看科研人員對該系統(tǒng)的操作準確度[5]的要求。下面我們將在不考慮原子與腔中光子壽命的前提下討論原子與腔場之間頻率共振操作時基于JC模型（）與總哈密頓量（）所給出來的光子在腔中布局的最大概率之間的偏差率隨的變化關系。

2 JC模型的適用范圍

這里，我們數(shù)值模擬二能級原子和單模諧振腔之間的單光子共振操作。模擬中，我們假設系統(tǒng)的初態(tài)為| 0〉=|〉 |0〉C。這里|〉 （ |g〉 ）是原子的第一激發(fā)態(tài)（基態(tài)）。| 〉c是腔內(nèi)光子的Fock態(tài)。也就是說在初始時刻t=0時，原子處于第一激發(fā)態(tài)而腔中沒有光子。基于概率的定義[6]（| f〉=|〉 |1〉C）

我們可以通過數(shù)值計算分別得到腔中的最大光子數(shù)布局概率和，并給出它們之間的偏差率（）隨取不同比值的變化關系如圖1所示。這里縱軸偏差率的取值范圍我們從10-2取到10-5依據(jù)的是普適量子計算對單步量子操作錯誤率的要求。其中錯誤率10-2指的是容錯量子計算所需要的最低要求。10-5指的是利用量子糾錯碼實現(xiàn)普適量子計算對單步量子操作錯誤率的最低要求。當然，針對其他科研目的，學生們可以依據(jù)此方法將偏差率進一步增大來找到合適的取值范圍。從圖中我們可以看出，在不考慮系統(tǒng)退相干時間的影響下，單步共振操作的錯誤率只要滿足=0.1即可滿足容錯量子計算對共振操作的閾值要求。雖然在實驗中，系統(tǒng)退相干時間不可能被忽略，但我們也可以通過簡單的進一步結合考慮操作時間與系統(tǒng)退相干時間的比率關系來確定JC模型滿足的大概范圍。

這里我們已假設總哈密頓量能準確描述該系統(tǒng)。不同的實驗目的需要不同精度的量子操作，所以有了這個結果，學生們在未來做相關科研時就會根據(jù)不同實驗目的以及實驗參數(shù)來決定是否能選擇JC模型作為較為準確的理論模型來解釋和指導實驗。

3 總結

JC模型在量子光學的教學中常被用來描述二能級原子與單模腔場的相互作用的系統(tǒng)，并能很好的讓學生們從理論上預測和解釋實驗結果。隨著實驗技術的發(fā)展，實驗參數(shù)的選擇逐漸使JC模型在某些領域和實驗條件下不再能準確解釋和指導實驗，早期單純只講解JC模型的教學已經(jīng)不能滿足現(xiàn)代科學研究的需要。為了讓學習量子光學課程的學生在未來科研當中能更準確的使用該模型，我們以原子和腔場共振相互作用為例數(shù)值計算了基于JC模型和系統(tǒng)總哈密頓量的單光子在腔中布局的最大概率并給出了這兩種概率之間的偏差率 隨的變化關系（至于原子和腔場其他種類的相互作用也可以依據(jù)此種方法進行討論）。將此討論運用到相關教學可以有效彌補早期教學中方法與內(nèi)容的不足，并為學生未來的科研打下了堅實的基礎。

參考文獻

[1] M.O.Scully and M.S.Zubairy，Quantum Optics （Cambridge University Press，Cambridge，UK，1997）.

[2] Y.Y.Zhang，Q.H.Chen， and Y.Zhao，Generalized rotating-wave approximation to biased qubit-oscillator systems， Phys.Rev.A 87，033827（2013）.

[3] Z.L.Xiang，S.Ashhab，J.Q.You，and F.Nori，Hybrid quantum circuits： Superconducting circuits interacting with other quantum systems，Rev.Mod.Phys.85，623（2013）.

[4] P.F.Diaz，J.Lisenfeld，D.Marcos，J.J.Garcia-Ripoll，E.Solano，C.J.P.M.Harmans，and J.E.Mooij，Observation of the Bloch-Siegert Shift in a Qubit-Oscillator System in the Ultrastrong Coupling Regime，Phys.Rev.Lett. 105，237001 （2010）.

[5] M.A.Nielsen and I.L.Chuang， Quantum Computation and Quantum Information （Cambridge University Press， Cambridge，UK，2000）.

[6] 曾謹言.量子力學（卷一）[M].北京：科學出版社，2007.