徐金

【摘要】近幾年上海中考數(shù)學(xué)試卷中動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題出現(xiàn)比重越來(lái)越大，并且在動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題中出現(xiàn)一種新題型，即在圖形的變換過(guò)程中，探究圖形中某些不變因素，它把操作、觀察、探求、計(jì)算和證明融合在一起.筆者通過(guò)對(duì)上海2007—2016年共10年中考數(shù)學(xué)試卷統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，銳角三角比在應(yīng)用題、等腰三角形、二次函數(shù)、圓中出現(xiàn)的次數(shù)分別為5次、5次、10次、6次，并通過(guò)分析中考題中銳角三角比在上述四方面的應(yīng)用，與讀者一同探索未來(lái)上海中考出題的動(dòng)向和策略.

【關(guān)鍵詞】銳角三角比;等腰三角形;二次函數(shù);圓;動(dòng)態(tài)幾何學(xué)

一、初中數(shù)學(xué)“銳角三角比”的意義和要求

銳角三角比是初中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容“圖形與幾何”部分的一個(gè)重要的內(nèi)容.它對(duì)初中課程中的直角三角形、相似三角形、解直角三角形以及高中課程中三角函數(shù)有著承上啟下的作用.銳角三角比則是直角三角形中的邊角關(guān)系的研究.對(duì)于三角形中的邊角關(guān)系，學(xué)生并不是初次接觸，七年級(jí)時(shí)學(xué)生學(xué)習(xí)了“三角形中大邊對(duì)大角”這樣的邊角關(guān)系的定性表達(dá)，而銳角三角比就是在特殊的三角形（直角三角形）中對(duì)于邊角關(guān)系的定量研究.在相似三角形中，主要是橫向研究?jī)蓚€(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比的不變性.在銳角三角比中，主要從定量方面研究在形狀確定的前提下，一個(gè)直角三角形中任意兩邊的比的不變性.這樣的研究線索更加清晰地體現(xiàn)了角度和邊之間的相互變化關(guān)系，引入銳角三角比后，能夠清晰體現(xiàn)出直角三角形中的邊和角之間的相互依賴關(guān)系，有了這種關(guān)系，就能解決生活實(shí)際中的許多問(wèn)題，如測(cè)量物體的高、測(cè)量?jī)牲c(diǎn)的距離、有關(guān)斜坡的計(jì)算、工程設(shè)計(jì)中的計(jì)算，等等.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2016年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）中指出：1.會(huì)利用圖形的相似解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.2.利用相似的直角三角形，探索并認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值.3.由已知三角函數(shù)值求它的對(duì)應(yīng)銳角.4.能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.由《課標(biāo)》可見(jiàn)，初中數(shù)學(xué)中對(duì)銳角三角比的應(yīng)用還是比較簡(jiǎn)單的，只要求對(duì)特殊三角比熟記，會(huì)利用銳角三角函數(shù)解直角三角形或者是特殊的等腰三角形和四邊形.而在高中數(shù)學(xué)中對(duì)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)將會(huì)拓展很多，從銳角發(fā)展到任意角，從簡(jiǎn)單的三角函數(shù)的定義拓展到兩個(gè)角之間的和、差、積、商的三角函數(shù)的一系列公式，從直角三角形中銳角三角比的定義拓展到一般三角形中的正弦定理、余弦定理，從初中的簡(jiǎn)單三角比運(yùn)算拓展到圓錐方程、空間向量的計(jì)算及在其他一些復(fù)雜題中的求解或證明或在綜合問(wèn)題上的運(yùn)用.可以說(shuō)銳角三角比是相似三角形的一種應(yīng)用的延伸，學(xué)生如果能夠熟練掌握銳角三角比，對(duì)拓展思路和解題速度是個(gè)很大的提高，也是對(duì)即將進(jìn)入高中學(xué)習(xí)三角函數(shù)的鋪墊，重要性不言而喻.

二、初中數(shù)學(xué)“銳角三角比”的四種常見(jiàn)應(yīng)用

（一）十年上海中考“銳角三角比”的考點(diǎn)分析

從統(tǒng)計(jì)表中可以發(fā)現(xiàn)，上海2007—2016年中考中，銳角三角比主要出現(xiàn)在等腰三角形、函數(shù)、圓、生活中的應(yīng)用等題型中，其中四種題型中出現(xiàn)的次數(shù)分別為5次、10次、6次、5次，并且總分呈遞增趨勢(shì)，2016年達(dá)到峰值.下文，筆者就從這四方面通過(guò)例題淺談利用銳角三角比解題過(guò)程中在思路和計(jì)算方面的一些巧用.

（二）銳角三角比在上海中考中的四種常見(jiàn)類型

1.圓中的銳角三角比

此題是以圓為背景，綜合考查相似三角形、銳角三角比、兩圓的位置關(guān)系、方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想，綜合性較強(qiáng).比較以上兩種方法，方法一學(xué)生比較容易想到，但是計(jì)算量比較大，在中考特殊的環(huán)境中，增加計(jì)算錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)，耗時(shí)耗力.而方法二通過(guò)觀察特殊的三角比，得到第三邊的比，迅速解一元一次方程，快速簡(jiǎn)潔，甚是很妙的方法.初三數(shù)學(xué)一線教師，應(yīng)多從題型中發(fā)現(xiàn)聯(lián)系，多講解此種題型，讓學(xué)生切身體會(huì)兩種方法的優(yōu)劣，這樣往往可以起到事半功倍的效果.

2.函數(shù)中的銳角三角比

本題是2008年上海中考題，該題是以平面直角坐標(biāo)系、二次函數(shù)為平臺(tái)，考查了坐標(biāo)幾何、銳角三角比、代數(shù)方程、數(shù)形結(jié)合法、分類討論等知識(shí).解題的巧妙之處在于利用點(diǎn)C的坐標(biāo)點(diǎn)迅速求出角C的銳角三角比，利用比例式迅速求出兩種情況下點(diǎn)D的坐標(biāo)，思路簡(jiǎn)潔，過(guò)程明晰.如果學(xué)生選用一次方程和圖中的二次方程聯(lián)立求解，計(jì)算煩瑣，很容易算錯(cuò).筆者發(fā)現(xiàn)上海近10年中考中，函數(shù)題主要是二次函數(shù)試題出現(xiàn)了10次，基本上可以作為固定試題，學(xué)生在解這類題是比較容易想到代數(shù)方法，在這點(diǎn)上任課教師就應(yīng)多探索多總結(jié)規(guī)律，幫助學(xué)生多用幾何方法，尤其是三角比去解題.筆者相信，只要典型例題重點(diǎn)分析，學(xué)生會(huì)熱愛(ài)這種方法，同時(shí)對(duì)學(xué)生解答最后一道壓軸題起到映射作用.

3.中考應(yīng)用題中的銳角三角比

某地下車庫(kù)出口處“兩段式欄桿”如圖4所示，點(diǎn)A是欄桿轉(zhuǎn)動(dòng)的支點(diǎn)，點(diǎn)E是欄桿兩段的連接點(diǎn).當(dāng)車輛經(jīng)過(guò)時(shí)，欄桿AEF升起后的位置如圖5所示，其示意圖如圖6所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB=143°，AB=AE=1.2米，求當(dāng)車輛經(jīng)過(guò)時(shí)，欄桿EF段距離地面的高度（即直線EF上任意一點(diǎn)到直線BC的距離）.（結(jié)果精確到0.1米，欄桿寬度忽略不計(jì)參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75.）

本題是上海2013年中考題，從實(shí)際生活中來(lái)源的一道很好的中考題，該題雖然綜合性不強(qiáng)，但學(xué)生對(duì)“實(shí)際問(wèn)題”心存恐懼，加之通過(guò)實(shí)際問(wèn)題迅速轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)問(wèn)題，迅速作出相應(yīng)的輔助線，構(gòu)造直角三角形，合理利用相應(yīng)三角比時(shí)學(xué)生還是存在一定困難，或是由于代錯(cuò)數(shù)據(jù)，導(dǎo)致出現(xiàn)一些錯(cuò)誤.要想順利、巧妙解決這類題型，教師首先要了解學(xué)生，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況引導(dǎo)他們逐步分析，積累經(jīng)驗(yàn).這一過(guò)程教師不可操之過(guò)急，一定要留給學(xué)生獨(dú)立思考的時(shí)間，看清楚，想明白了，就可以正確解題.在上課時(shí)，根據(jù)學(xué)生的情況，教師多抽查學(xué)生是否熟悉四種銳角三角比公式，只要多練習(xí)該種題型還是比較容易解答出來(lái)的.

4.等腰三角形中的銳角三角比

通過(guò)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)近10中考中解等腰三角形題出現(xiàn)了6次，并且在平時(shí)的一模和二?？贾幸步?jīng)常出現(xiàn)，是要求學(xué)生必須掌握的一種題型.這是上海閘北區(qū)2016年一模題，考查學(xué)生圖形變換，分類討論的能力，有一定難度，該題圖形背景是結(jié)合梯形、三角形出的一種題，考查了圖形變換、相似三角形、代數(shù)方程、分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，一道很好的綜合題，對(duì)學(xué)生要求較高.此題就是巧妙運(yùn)用銳角三角比計(jì)算，迅速得到答案.在中考中，利用相似三角形、圖形運(yùn)動(dòng)、三角比問(wèn)題是越來(lái)越常見(jiàn).這也是近幾年上海中考?jí)狠S題的一種趨勢(shì)，關(guān)鍵是掌握等腰三角形三種情況，巧妙利用等腰三角形底角或頂角三角比解題.解決這類問(wèn)題時(shí)，教師一定要專題專講，多思考出題為何要出這種題，由果索因，多從題型深層次出發(fā)，切忌題海戰(zhàn)術(shù)，應(yīng)總結(jié)規(guī)律，強(qiáng)化學(xué)生，多想想還有其他方法嗎，拓展學(xué)生的思路，這樣多加訓(xùn)練，學(xué)生定會(huì)收益良多.

以上是筆者通過(guò)四道?？己椭锌碱}，對(duì)上海中考數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的銳角三角比問(wèn)題的探討.同時(shí)，筆者從教學(xué)實(shí)踐中認(rèn)識(shí)到，對(duì)于簡(jiǎn)單綜合題，大多數(shù)學(xué)生來(lái)講往往訓(xùn)練有素，教師平時(shí)的講解也比較詳盡，因此學(xué)生在解題時(shí)比較得心應(yīng)手.而對(duì)于復(fù)雜綜合題，學(xué)生乃至教師感到最為棘手：一方面學(xué)生由于自身解題能力有限，從而在解題時(shí)往往捉襟見(jiàn)肘，同時(shí)許多學(xué)生對(duì)復(fù)雜綜合題還存在著畏難情緒.就教師本身而言，因自身教學(xué)方法的匱乏而感覺(jué)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中不得要領(lǐng)，最終也只能以“題海”戰(zhàn)術(shù)來(lái)強(qiáng)化學(xué)生“理解”，希望所謂“熟讀唐詩(shī)三百首，不會(huì)作詩(shī)也會(huì)吟”的效果出現(xiàn).正因?yàn)槿绱?，所以師生共?zhàn)“題?！爆F(xiàn)象在復(fù)習(xí)階段特別明顯.盡管教師以一些“經(jīng)典”的，有層次、有坡度、大題量的練習(xí)方式增強(qiáng)了綜合題的覆蓋面并對(duì)學(xué)生解答綜合題有一定的強(qiáng)化與促進(jìn)作用，但學(xué)生在這種“地毯式”的轟炸下，常常疲于奔命，頭昏腦漲，處于一知半解的狀態(tài)，只會(huì)機(jī)械模仿.只有“舉一”之功，而無(wú)“反三”之力.因此，難以提高學(xué)生的應(yīng)變能力.

所以，筆者認(rèn)為與時(shí)俱進(jìn)地對(duì)現(xiàn)有教學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)與大膽突破是提高教學(xué)效率、解決教學(xué)瓶頸的最有效方法.而優(yōu)化并整合學(xué)生已經(jīng)熟練掌握的簡(jiǎn)單綜合題解題技巧，另辟蹊徑地歸納和提升簡(jiǎn)單綜合題的解法，比如在解答函數(shù)題時(shí)多用銳角三角比解題，不但能使學(xué)生經(jīng)歷和體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的創(chuàng)造和發(fā)展的過(guò)程，更可以有效地提高學(xué)生解復(fù)雜綜合題的能力.這也是筆者寫這篇文章的動(dòng)力和初衷.

（二）上海數(shù)學(xué)中考“銳角三角比”的特點(diǎn)分析

三、初中數(shù)學(xué)“銳角三角比”教學(xué)策略淺析

（一）重視基礎(chǔ)知識(shí)的理解、基本技能的訓(xùn)練、基本方法的掌握的教學(xué)

雖然，近兩年的數(shù)學(xué)中考一直在變，試題的新穎性、靈活性越來(lái)越強(qiáng)，但是近幾年來(lái)中考命題事實(shí)已明確告訴我們：基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本方法始終是中考數(shù)學(xué)試題考查的重點(diǎn).

（二）重視對(duì)數(shù)學(xué)思想的理解及運(yùn)用的教學(xué)

數(shù)學(xué)能力是學(xué)好數(shù)學(xué)的根本，主要表現(xiàn)為數(shù)學(xué)的思想方法.初中數(shù)學(xué)中最常見(jiàn)的思想方法有：分類、化歸、數(shù)形結(jié)合、猜想與歸納等.其中，數(shù)形結(jié)合思想、方程與函數(shù)思想、分類討論思想等幾乎是歷年中考試卷（包括外省市中考試題）考查的重點(diǎn)，必須引起足夠的重視.

1.分類討論思想：當(dāng)面臨的問(wèn)題不宜用統(tǒng)一方法處理時(shí)，就得把問(wèn)題按照一定的原則或標(biāo)準(zhǔn)分為若干類，然后逐類進(jìn)行討論，再把結(jié)論匯總，得出問(wèn)題的答案.這種解決問(wèn)題的方法就是分類討論的思維方法.

2.“化歸”是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡(jiǎn)稱.我們?cè)谔幚砗徒鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，總的指導(dǎo)思想是把未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為能夠解決的問(wèn)題，這就是化歸思想.

3.數(shù)形結(jié)合思想：

本題考查用數(shù)形結(jié)合的思想，第3小問(wèn)中，利用BC∥PD，得到tan∠OPC=tan∠OBC=23，利用幾何方法迅速得到t的值，華羅庚老先生也說(shuō)：數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微.在數(shù)學(xué)解題中由數(shù)思形，以形促數(shù)可以開(kāi)辟多角度、多層次的解題思維途徑.從題目本身看，是“數(shù)”和“形”兩個(gè)方面，從學(xué)生能力角度看，則是要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和空間想象能力，而其中的銳角三角比往往起到“柳暗花明又一村”的效果.

近幾年上海市中考，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查常常會(huì)出現(xiàn)幾種思想方法的綜合運(yùn)用，上兩題其實(shí)也不是單純地考一種數(shù)學(xué)思想方法，而考查幾種思想方法的綜合運(yùn)用，其中最典型的題型是壓軸題.

此題起點(diǎn)不高，但要求較全面.是一道數(shù)與形、代數(shù)計(jì)算與幾何證明、相似三角形的判定與性質(zhì)、畫圖分析與列方程求解、勾股定理與函數(shù)、圓和三角比相結(jié)合的綜合性試題.同時(shí)，考查了初中數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想和幾何運(yùn)動(dòng)變化等數(shù)學(xué)思想.本題融入了動(dòng)態(tài)幾何的變和不變，對(duì)給定的圖形（或其一部分）施行某種位置變化，然后在新的圖形中分析有關(guān)圖形之間的關(guān)系.其特點(diǎn)是：注重考查學(xué)生的猜想、探索能力;解題靈活多變，能夠考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，有一定難度，但上手還是容易的.本題有三問(wèn)，相當(dāng)于三個(gè)臺(tái)階，這種恰當(dāng)?shù)匿亯|給了考生較寬的入口，有利于考生正常水平的發(fā)揮.而通過(guò)層層設(shè)問(wèn)，拾級(jí)而上，逐步深入，能夠使一部分優(yōu)秀學(xué)生數(shù)學(xué)水平得到體現(xiàn).

因此，在今后的數(shù)學(xué)教育教學(xué)中，化歸思想、方程與函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想和幾何運(yùn)動(dòng)變化等數(shù)學(xué)思想的教學(xué)要重視要加強(qiáng)，而不是削弱.

（三）在沖刺階段教師更要重視學(xué)生情意因素的影響

學(xué)生的學(xué)習(xí)需要全部心理活動(dòng)的積極參與，而其中更需要情感、意志、求知欲、動(dòng)機(jī)等情意因素的參加.這些情意因素構(gòu)成個(gè)體從事學(xué)習(xí)的動(dòng)力系統(tǒng)，驅(qū)動(dòng)學(xué)生進(jìn)行積極的學(xué)習(xí)活動(dòng).在上述的情意因素中，動(dòng)機(jī)在情意系統(tǒng)中居于核心地位，它是個(gè)體學(xué)習(xí)動(dòng)力的主要來(lái)源，又是把各種動(dòng)力因素聯(lián)系在一起的紐帶，直接影響學(xué)生的學(xué)習(xí)行為.中考模擬考一結(jié)束，學(xué)生正處于學(xué)習(xí)疲勞階段，而又馬上要投入最后的沖刺階段，因此教師要注重教學(xué)藝術(shù)，能調(diào)動(dòng)學(xué)生最廣泛的情意因素，使學(xué)生形成最強(qiáng)大的學(xué)習(xí)動(dòng)力，直擊中考.同時(shí)，初三教師在授課過(guò)程中，關(guān)注學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)和興趣愛(ài)好、個(gè)性特長(zhǎng)等發(fā)展特點(diǎn).創(chuàng)設(shè)適合學(xué)生的問(wèn)題情境，幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中體驗(yàn)、感悟、建構(gòu)并豐富學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)傳承、能力發(fā)展、積極情感形成的統(tǒng)一.教師不要搞題海戰(zhàn)術(shù)，力爭(zhēng)做到：做一題，通一類，會(huì)一片.

總之，教學(xué)有法，但無(wú)定法，復(fù)習(xí)也如此，不管采取何法，必須以培養(yǎng)學(xué)生的分析能力、思維能力、自學(xué)能力為目的，同時(shí)在復(fù)習(xí)中要注意規(guī)范訓(xùn)練，嚴(yán)格按照中考要求答題，按標(biāo)準(zhǔn)格式答題，糾正答題過(guò)程中的不良習(xí)慣，對(duì)于試卷的錯(cuò)誤要認(rèn)真分析，找出錯(cuò)誤的原因和解決的辦法，只要方法得當(dāng)，循序漸進(jìn)就能提高復(fù)習(xí)質(zhì)量，達(dá)到事半功倍的效果.

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