張文彬

【摘要】極限是經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中一個(gè)很重要的概念.不少初學(xué)者在學(xué)習(xí)這一概念時(shí)，非常難理解.本文從數(shù)學(xué)文化這一角度，試著引入一些相關(guān)的案例幫助初學(xué)者更好地理解極限的概念.

【關(guān)鍵詞】極限;數(shù)學(xué)文化;案例;哲學(xué)思想

【基金項(xiàng)目】廣東省高等教育教學(xué)改革項(xiàng)目：將數(shù)學(xué)文化融入獨(dú)立學(xué)院經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)課程中的案例研究，粵教高函[2016]236號(hào).

極限理論是整個(gè)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的核心理論，極限理論的核心是極限概念.后續(xù)所學(xué)的導(dǎo)數(shù)、微分、定積分、無窮級(jí)數(shù)等都是建立在極限概念的基礎(chǔ)上.而經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的教學(xué)對(duì)象在高中階段大部分是文科生，他們?cè)诶斫鈽O限概念中“無限增大”“無限趨近于”等語言時(shí)困難重重.因此，探討設(shè)計(jì)淺顯易懂的極限教學(xué)案例與方法，顯得尤為重要.本文從古詩詞中蘊(yùn)含的有限與無限、古代與極限相關(guān)的經(jīng)典例子、極限中蘊(yùn)含的哲學(xué)思想這幾個(gè)方面探討極限的教學(xué).

一、古詩詞中蘊(yùn)含的有限與無限

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中的極限是在“無限”領(lǐng)域里討論的，這與中學(xué)數(shù)學(xué)所學(xué)的“有限”領(lǐng)域里討論的知識(shí)有著本質(zhì)區(qū)別.我們可以從古詩詞中來感受這種區(qū)別.

（一）與有限相關(guān)的詩詞意境

唐代詩人柳宗元的《別舍弟宗一》：“零落殘魂倍黯然，雙垂別淚越江邊.一身去國六千里，萬死投荒十二年.”這里，“一身”，足見其孤獨(dú)無助;“萬死”，愈見其劫難深重.南宋詞人辛棄疾的《西江月·夜行黃沙道中》：“七八個(gè)星天外，兩三點(diǎn)雨山前.舊時(shí)茅店社林邊，路轉(zhuǎn)溪橋忽見.”此處，“七八個(gè)”“兩三點(diǎn)”是有限的數(shù)，形容廣闊的天空只有點(diǎn)點(diǎn)繁星，小雨也不過一點(diǎn)點(diǎn).

（二）與無限相關(guān)的詩詞意境

唐代詩人李白《浪淘沙》：“白浪茫茫與海連，平沙浩浩四無邊.暮去朝來淘不住，遂令東海變桑田.”這里，“茫?！焙汀盁o邊”是無限之意.

二、滲透數(shù)學(xué)文化的經(jīng)典極限案例

極限概念不是憑空產(chǎn)生，它來自社會(huì)實(shí)踐，來源于現(xiàn)實(shí)生活，是經(jīng)過數(shù)學(xué)家們的千錘百煉，最終被提煉成概念.因此，了解極限思想的產(chǎn)生對(duì)理解極限的概念很有幫助.

（一）“截杖問題”

《莊子·天下篇》中有一段話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”意思是，一根一尺長的木棒，每天截取它的一半，一萬年也截不完.我們從中得到一個(gè)木棒剩余長度與天數(shù)的數(shù)列12n-1，在平面直角坐標(biāo)系中（如圖1所示），標(biāo)出相應(yīng)的點(diǎn)n，12n-1，觀察當(dāng)n→∞時(shí)動(dòng)點(diǎn)n，12n-1的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，就可以看出，當(dāng)自變量n越來越大時(shí)，數(shù)列12n-1無限趨于0.

（二）割圓術(shù)

我國魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽為求得圓周率π的值，創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，他說：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.”意思是，作圓的內(nèi)接正多邊形，當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加的時(shí)候，圓內(nèi)接正多邊形的周長無限趨近圓周長，圓內(nèi)接正多邊形的面積無限趨近圓面積.在只知道直邊形的面積計(jì)算方法的情況下，要計(jì)算圓面積.為此，先作內(nèi)接正6邊形，它的面積記為A1;再作內(nèi)接正12邊形，面積A2;再作內(nèi)接正24邊形，面積A3;依此下去，每次邊數(shù)加倍.一般地，把內(nèi)接正6×2n-1邊形的面積記為An（n=1，2，3，…）.這樣，就得到由內(nèi)接正多邊形面積依次排成的數(shù)列：

A1，A2，A3，….

n越大，內(nèi)接正多邊形與圓的差別就越小.即當(dāng)n無限增大時(shí)，An無限接近于圓面積.

（三）阿喀琉斯追龜

阿喀琉斯是古希臘一位跑得很快的英雄，現(xiàn)在要去追趕在他前面不遠(yuǎn)、行動(dòng)十分遲緩的烏龜，結(jié)果似乎是毋庸置疑的.但是，古希臘哲學(xué)家芝諾卻說：“不能.”他是這樣證明的.如圖2所示，假設(shè)烏龜先往前爬一段距離a1到達(dá)A1點(diǎn)，阿喀琉斯要想追上烏龜，必須先跑完距離a1到達(dá)A1點(diǎn).當(dāng)阿喀琉斯到達(dá)A1點(diǎn)時(shí)，烏龜此時(shí)又往前爬了一段距離a2到達(dá)A2點(diǎn).阿喀琉斯要想追上烏龜，又必須先跑完距離a2到達(dá)A2點(diǎn).當(dāng)阿喀琉斯到達(dá)A2點(diǎn)時(shí)，烏龜此時(shí)又往前爬了一段距離a3到達(dá)A3點(diǎn).如此下去，當(dāng)阿喀琉斯到達(dá)A3點(diǎn)時(shí)，烏龜又爬到了A4點(diǎn).這樣阿喀琉斯永遠(yuǎn)也追不上烏龜.

這當(dāng)然與我們的常識(shí)相違背，但芝諾卻得出了荒謬的結(jié)論.那么，我們?nèi)绾纹平庵ブZ的荒謬結(jié)論呢？

芝諾將路程分成了無限段，從表面上看阿喀琉斯想要追上烏龜必須跑完無限段路程，由于是無限段，所以感覺永遠(yuǎn)也追不上.但是，事實(shí)上這無限段路程的和卻是有限的，所以阿喀琉斯跑完這一有限路程之后，其實(shí)已經(jīng)追上烏龜了.

三、極限中蘊(yùn)含的哲學(xué)思想

極限是研究變量變化趨勢(shì)的一種數(shù)學(xué)方法，體現(xiàn)了辯證法思想.理解極限中蘊(yùn)含的哲學(xué)思想對(duì)理解極限概念非常有幫助.

（一）極限中蘊(yùn)含了量變引起質(zhì)變的規(guī)律

辯證法認(rèn)為：量的變化積累起來，達(dá)到一定的程度，就不可避免地引起質(zhì)變.“截杖問題”中木棒剩余長度與天數(shù)的數(shù)列12n-1，每取一個(gè)天數(shù)n，都會(huì)對(duì)應(yīng)一個(gè)具體的木棒剩余長度12n-1.天數(shù)n取得越大，木棒剩余長度12n-1就會(huì)越小，這是一個(gè)量變的過程.但是，這個(gè)量變過程無限積累，就會(huì)導(dǎo)致質(zhì)變的產(chǎn)生——木棒剩余長度為0，從而體現(xiàn)了量變引起質(zhì)變的規(guī)律.

（二）極限中蘊(yùn)含了對(duì)立統(tǒng)一的規(guī)律

極限的過程是無限的，但最終得到的結(jié)果往往是一個(gè)有限的數(shù).比如，“截杖問題”中截取的過程是無休止的，但木棒剩余長度的極限是0.這體現(xiàn)了有限與無限的對(duì)立統(tǒng)一，也體現(xiàn)了過程與結(jié)果的對(duì)立統(tǒng)一，同時(shí)也體現(xiàn)了變與不變的對(duì)立統(tǒng)一.

四、結(jié) 語

在極限概念的教學(xué)中，引入數(shù)學(xué)文化案例能增加課堂的趣味性，吸引學(xué)生主動(dòng)探究極限概念的形成，使學(xué)生更加有信心學(xué)好極限理論.同時(shí)，適當(dāng)展示一些圖片，使抽象的極限思想具體化.但一堂課不宜過多地引入數(shù)學(xué)文化案例，以免影響正常的教學(xué)進(jìn)度，可以在課前布置一些數(shù)學(xué)文化相關(guān)的案例供學(xué)生閱讀.

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