薛瓊

[摘? 要] 圖形旋轉是三大幾何變換之一，圖形旋轉的過程中蘊含著眾多的數(shù)學規(guī)律，以圖形旋轉為依托構建的解題方法是數(shù)學幾何重要的方法之一，文章將以一道典型問題為例，提煉旋轉模型，探究旋轉法的解題應用，提出相應的教學思考，與讀者探討.

[關鍵詞] 幾何;圖形旋轉;旋轉法;線段長;模型

典型問題的解答

題目? 圖1所示的四邊形ABCD中，AE⊥BC，∠BAE=∠ADC，BE=CE=2，CD=5，AD=kAB （k為常數(shù)），則BD的長為______（用k表示）.

解答? 連接AC，由于BE=CE，AE⊥BC，故△ABC為等腰三角形，即AB=AC（等腰三角形三線合一）. 由∠ABE+∠BAE=90°，∠BAE=∠ADC，可得∠ABE+∠ADC=90°. 將△ACD繞點A順時針旋轉至點C與點B相重合，再連接DF，如圖2所示，進而可證△ADC≌△AFB，由全等性質得∠AFB=∠ADC，BF=CD，∠BAC=∠DAF，進一步可證△FAD∽△BAC，所以∠AFD=∠ABC，∠BFD=90°. 由AD=kAB可得DF=kBC=4k，在Rt△BDF中由勾股定理可得BD2=BF2+DF2，因此BD=.

解題模型的提煉

上述考題在求解過程中采用了圖形旋轉的方式，將△ACD繞點A順時針旋轉了一定的角度，使得AC與AB邊相重合，使兩個不相鄰的角結合在一起，且獲得Rt△BFD，其中的直角∠BFD在整個解題中起著重要的作用，是構建代數(shù)方程的關鍵. 上述解題過程利用到了幾何內(nèi)容最為重要的一種模型——旋轉模型，旋轉模型對于構建等角、等邊、圖形相似與全等有著重要的意義，而這些條件是后續(xù)解題突破的基礎，下面將深入探析幾何的旋轉模型.

旋轉模型用到的基本理論是幾何旋轉的性質，在圖形旋轉過程中圖形的形狀不變、圖形全等、對應邊、對應角相等，且對應點到旋轉中心的距離相等，邊的旋轉角度也相等.

上述考題是關于基本三角形的旋轉，以圖3所示的△ABC為例，在圖形旋轉過程中必須明確旋轉的三要素——旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度. 在等邊三角形ABC的內(nèi)部存在一點P，將△ABP繞點A逆時針旋轉∠BAC，則AB將與AC相重合，AP=AP′，AB=AC，BP=CP′，∠BAP=∠CAP′，∠ABP=∠ACP′，∠APB=∠AP′C，△ABP≌△ACP′，即兩個陰影圖形全等，對應邊和角均相等. 圖形旋轉后獲得了新的四邊形ABCP′，在該復合圖形中有一個特殊的等邊三角形△APP′（AP=AP′=PP′），出現(xiàn)了多個復合角：∠BCP′，∠BAP′，∠PCP′和∠PAP′，這些新出現(xiàn)的幾何元素可以成為問題解答的關鍵條件.

旋轉模型的應用

幾何旋轉法是為了解決特定的問題，考慮到旋轉過程變化的對象較多，構建的新模型具有多種特征，因此在使用時必須明確旋轉圖形的目的，通過旋轉可以構建怎樣的圖形，解決哪些問題.

通過上述旋轉模型的分析我們可以發(fā)現(xiàn)構建了復合角，實際上是將兩個不相鄰的角緊密地聯(lián)系起來，同時也可以將不共線的線段轉換在同一直線上，即實現(xiàn)角度的“互補”、線段的“互補”. 第二種用途則是構建特殊的圖形和幾何關系，如等邊、等腰三角形和全等、相似三角形，因此圖形的旋轉過程實際上就是線段、角度、圖形重構的過程，旋轉模型最為普遍的用途是求解線段長、幾何角度和分析圖形形狀. 利用旋轉法進行解題時可以遵循如下思路：判斷是否旋轉→確定旋轉三要素→分析旋轉重構條件→重組問題條件→構建解題思路，從而將原始條件與旋轉性質條件充分結合起來，為后續(xù)的解題突破提供幫助. 下面結合一道考題深入講解旋轉模型的利用.

例1? 圖5所示等邊△ABC的內(nèi)部有一點P，已知∠APB，∠BPC和∠CPA的大小之比為5 ∶ 6 ∶ 7，則以線段長PA，PB和PC三邊組成的三角形的內(nèi)角大小之比為________（由小到大）.

分析：

第一步：判斷是否旋轉.

由問題出發(fā)進行分析，要求解△ABC內(nèi)部三條線段所構三角形的內(nèi)角之比，考慮到三條線段沒有形成閉合圖形，顯然需要通過旋轉的方式將其連接成三角形.

第二步：確定旋轉三要素.

將△ABP以點B為旋轉中心，順時針旋轉60°得到了△CBD，連接PD，如圖5所示.

第三步：分析旋轉重構條件.

由于△ABP通過旋轉得到了△CBD，旋轉前后AB=BC，BP=BD，AP=CD，∠BDC=∠BPA.

第四步：重組問題條件.

結合∠BPD=60°可得△PBD為等邊三角形，有PD=PB，則以線段PC，PD和CD為三邊的△PCD就是題干要求組成的三角形，求三角形內(nèi)角大小之比就是求∠PDC，∠CPD和∠PCD的大小之比.

第五步：構建解題思路.

根據(jù)條件“∠APB，∠BPC和∠CPA的大小之比為5 ∶ 6 ∶ 7”可得∠APB=100°，∠BOC=120°，∠CPA=140°，則∠PDC=∠BDC-∠BDP=40°，∠CPD=∠BPC-∠BPD=60°，進而求得∠PCD=80°，所以∠PDC，∠CPD和∠PCD的大小之比為2 ∶ 3 ∶ 4，即以PA，PB和PC三邊組成的三角形的內(nèi)角大小之比為2 ∶ 3 ∶ 4.

旋轉模型的拓展

從上述考題的分析可知旋轉模型可以用于三角形類型題中的邊長和角度分析，對于其他多邊形我們也可以采用旋轉的方式來構建解題模型，求解一些較為特殊的問題，如求解面積、關系式證明等. 下面我們以正方形題型為例進一步探究旋轉模型的應用.

例2? 四邊形ABCD為正方形，點E是BC邊上的一點，AF平分∠EAD與CD相交于點F，試證明AE=BE+DF.

解析? 求證AE=BE+DF，考慮到三條線段長分散在不同的三角形中，無法直接構建線段長關系，可以采用圖形旋轉的方式將其轉化到同一三角形中. 現(xiàn)將△ADF繞點A順時針旋轉90°，如圖6，則點D將與點B重合，而點F移動到F′的位置. 根據(jù)旋轉模型的性質可得△ADF≌△ABF′，進一步可知∠AFD=∠AF′B，∠3=∠1，DF=F′B，則BE+DF=F′B+BE=F′E，只需要證明F′E與AE相等即可.

由圖6可知∠1+∠ABE+∠2=90°，因∠3=∠1，故∠3+∠ABE+∠2=90°=∠F′AE+∠2，又知∠AF′B+∠3=90°，結合∠1=∠2=∠3，可得∠AF′B+∠2=90°，即∠F′AE=∠AF′B，由等角對等邊可得F′E=AE，得證.

上述考題揭示了使用旋轉法最為關鍵的一點，即將不共線的線段轉移到同一直線上，進而將旋轉模型的應用拓展到多邊形中，不再局限于傳統(tǒng)的三角形，只需遵循圖形旋轉的三要素即可. 另外對于旋轉模型性質的利用可以從以下兩個方面來理解：一是傳統(tǒng)意義上的旋轉前后圖形對應元素相等，二是從圖形全等的角度，旋轉前后的兩個圖形滿足全等的條件，由圖形全等的性質同樣可以獲得諸多旋轉性質. 因此可以將旋轉模型法拓展到所有的幾何圖形中，不受題型和旋轉圖形的限制.

方法教學的思考

1. 形成旋轉模型使用的邏輯思維

數(shù)學的解題方式有很多，考慮到圖形旋轉過程中發(fā)生位移變化的對象較多，因此使用該方法進行解題需要嚴格遵守使用原則. 首先要根據(jù)題干的條件和問題來判斷是否可以采用旋轉模型，然后遵循旋轉要素進行合理旋轉，并根據(jù)旋轉模型的性質挖掘隱含條件從而完成解題條件的重組，最后充分利用重組條件開展解題突破. 因此進行幾何旋轉法教學實踐時可以按照“方法判斷→實施旋轉→條件挖掘→重組條件→構建思路”的步驟進行，使學生形成旋轉法解題思路的深刻記憶.

2. 形成幾何旋轉法的本質認識

圖形旋轉前后所獲得的是全等圖形，因此可以說利用圖形旋轉來解題實際上是對全等性質的拓展運用，旋轉法與圖形的全等和相似之間有著緊密的聯(lián)系，這也是教材將兩大內(nèi)容編排在一起的根本原因. 在教學圖形旋轉法時就需要引導學生重溫幾何全等的性質，以及圖形旋轉過程中“變”與“不變”的性質，從全等和不變性兩個角度引導學生進行旋轉法的探索學習，充分理解該方法的理論依據(jù)，認識旋轉模型的性質本質，從而深刻認識該方法的數(shù)學內(nèi)涵.

3. 形成幾何旋轉模型的思想認識

數(shù)學的解題方法都具有一定的理論思想，是在對應數(shù)學思想的指導下構建的解題方法，對于幾何旋轉法同樣不例外. 幾何圖形旋轉過后會得到一個全新的圖形，因此圖形旋轉的過程實際上就是數(shù)學建模的過程，圖形旋轉就是在數(shù)學模型思想指導下完成的. 在方法教學中不能單純地向學生傳達方法的使用步驟，還應該依托具體的教學內(nèi)容滲透數(shù)學的模型思想，使學生體會使用數(shù)學模型解決實際問題的優(yōu)勢. 可以借助幾何畫板完成旋轉模型的構建，使學生充分參與模型思想方法的辨析討論，提升動手能力的同時獲得數(shù)學思想的提升.

結束語

從圖形旋轉法的本質內(nèi)容來看，該方法屬于“空間與圖形”的教學范疇，因此在該方法的教學中需要遵從“觀察感知、動手實踐、內(nèi)涵理解”的理念，即教學中要使學生掌握該方法的使用依據(jù)、具體操作和思想內(nèi)涵. 圖形旋轉的過程蘊含著數(shù)學特有的美感，因此依托考題開展方法教學，不僅可以使學生體會數(shù)學方法的解題魅力，還可以激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，充分調(diào)動學生的數(shù)學思維，后者對于學生的發(fā)展具有深遠的意義.