[摘? 要] 在初中階段，我們最常接觸并且難度最大的模塊便是函數，而在函數問題中，最讓人無處下手的就是函數的動態(tài)問題. 研究原函數的幾何變換（平移、軸對稱、旋轉、位似）所得到的新函數的動態(tài)問題，可以在這些函數上找到一個或幾個特殊點，讓這為數不多的幾個點代替整個函數的運動過程.

[關鍵詞] 變換;特殊點;函數;運動

大家都很熟悉這樣的一句話：“點動成線，線動成面，面動成體”，也就是說，極其復雜的三維幾何體僅僅是由二維平面上一個個點構成的，即點是一切幾何體或幾何圖形最基本的元素. 那么，我們把這個過程反過來，把一個幾何體拆成無數個點，而這無數個點又可看作是一個點沿著特定的軌道運動所勾勒出來的軌跡. 簡而言之，我們可以把不熟悉的幾何體或者幾何圖形，轉化為我們熟悉的點來研究，這就達到了簡化問題的目的.

在初中階段，我們最常接觸并且難度最大的模塊便是函數，而在函數問題中，最讓人無處下手的就是函數的動態(tài)問題. 何為動態(tài)問題？動態(tài)問題指的是研究原函數經過一系列的幾何變換（平移、軸對稱、旋轉、位似）所得到的新函數問題. 而這些動態(tài)問題中，函數運動的過程往往難以在紙上或是腦海中呈現，此時，我們急需將這些問題簡化. 我們可以在這些函數上找到一個或幾個特殊點，讓這為數不多的幾個點代替整個函數的運動過程. 以下對幾個初中階段常見的函數（一次函數、反比例函數、二次函數）運動做相應的分析.

一次函數

代數特征：一次函數的解析式為y=kx+b（k≠0）.

幾何特征：一次函數的圖像是一條直線.

談起直線，大家很容易想到“兩點確定一條直線”，再回想自己平時的做題經歷，也的確如此，我們只需兩點坐標，代入y=kx+b（k≠0），建立關于k，b的二元一次方程組便可得解.

既然兩點確定一條直線，在研究一次函數的運動問題時，我們是不是可以任選其圖像上兩點進行研究？當然可以. 但我們的最終目的是進一步簡化，即把兩點的坐標簡化為一點的坐標. 回想我們在學習一次函數的時候，學過特殊的一次函數——正比例函數. 正比例函數之所以特殊，是因為其函數圖像過原點（0，0），按照這個思路，我們可以將特殊點選為函數圖像y=kx+b（k≠0）與x軸的交點-，0或者與y軸的交點（0，b）. 不妨設k>0，b>0，對一次函數的幾何變換進行具體分析.

1. 平移

對于這個問題，我們還可以從另一個角度思考：整個函數圖像在坐標軸不動的情況下，原函數在x=-時，y=0，新函數在x=-+n的前提下，才取得y=0，原來的x值所對應的原來的y值，現在?。▁+n）才能取到，我們可以將（x+n+t）（t為常數）看作一個新的自變量x′，此時要使kx′+b=kx+b，則x′=x，所以t=-n.?（2）上下平移

對于上下平移，可以直觀地觀察到原來y=kx+b（k≠0）的圖像與y軸交點（0，b）這個特殊點的變化，當一次函數圖像向上移動n個單位時，交點（0，b）變?yōu)椋?，b+n），此時設平移后的函數為y2=kx+m（k≠0），與y軸交點（0，m），建立等量關系：b+n=m，所以y2=kx+m=kx+b+n（k≠0）.

2. 旋轉

不妨設旋轉角是直角，且將y=kx+b（k≠0）繞某點順時針方向旋轉，旋轉后的直線方程為y2=k′x+b′（k′≠0）.

旋轉中心在函數圖像上，點M為旋轉中心.

在這個問題中，出現了一個難點，-，0，（0，b）兩點都不能直觀地判斷運動，似乎無從下手. 其實從另一個角度來說，這是一個較為特殊的動態(tài)問題，它出現了一個定點，即旋轉中心，作為一個特殊點，為解決問題提供了突破口. 利用這個旋轉中心在函數圖像上，我們可以得到：kx+b=k′x+b′，再沿襲以往的經驗，利用-，0或（0，b）.

旋轉的本質在于旋轉角（也就是對應點與旋轉中心連線的夾角），因為旋轉角為90°，所以此處我們根據以往經驗，很自然地想到了構造“一線三等角”的方法，可以求得A′（km+m，km+b-m），聯立求解得：k′=-，b′=m+b，所以y2=-x+m+b.

還有兩種情況，一是旋轉中心不在直線上，二是旋轉角度不為90°，看起來很復雜，但是都能轉化為剛剛講述的特殊情況（旋轉中心在直線上以及旋轉角為90°），構造“一線三等角”的方法進行解答.

3. 對稱

（1）以y軸為對稱軸

（2）以x軸為對稱軸

4. 位似 （以原點為位似中心，縮小到原來的）

對于反比例函數而言，它與眾不同的地方在于漸近線（x=0，y=0）和對稱中心（0，0），而漸近線又取決于對稱中心的位置，所以反比例函數的動態(tài)問題，我們選取的點是其對稱中心，反過來，對稱中心又可決定反比例函數.

1. 平移

對稱中心：（0，0）向右平移m個單位，得到（m，0），再向上平移n個單位得到（m，n）.

解析式：y=（k≠0）→y=（k≠0）→=+n（k≠0）.

2. 旋轉

旋轉的本質在于旋轉角（也就是對應點與旋轉中心連線的夾角），因為旋轉角為90°，所以此處我們根據以往經驗，很自然地想到了構造“一線三等角”的方法，可以求得A′

還有就是旋轉角度不為90°的情況，看起來很復雜，但是都能轉化為剛剛講述的特殊情況，構造“一線三等角”的方法進行解答.

3. 對稱

（3）以原點為對稱中心的中心對稱，由于反比例函數圖像本身為中心對稱圖形，所以y=（k≠0）→y=（k≠0）.

4. 位似 （以原點為位似中心）

這里需要考慮反比例函數的特殊性質. 先來思考一個問題：反比例函數為什么是曲線？為什么其對稱軸為一、三象限或者二、四象限的角平分線所在的直線？為什么函數圖像是關于原點的中心對稱圖形？因為反比例函數的特征是自變量和因變量的乘積一定，所以導致在同一象限內的任意不重合兩點之間的連線的傾斜程度不同，進而使其成為曲線，又因為圖像上的點關于y=x或者y=-x對稱，且x與y的符號相同，所以函數圖像關于原點成中心對稱. 所以，我們考慮反比例函數的位似時，可以用面積來體現.

對于二次函數，其特征是沿對稱軸對稱，這是一個直觀的特征. 回想二次函數的應用，會發(fā)現其最值也是一個研究的熱點. 一方面是對稱性，一方面是最值，這兩個特點加在一起便是“頂點”，即點

因此，我們將頂點作為研究二次函數問題的特殊點.

1. 平移

頂點：（h，k）向右平移m個單位得（h+m，k），再向上平移n個單位得（h+m，k+n）.

解析式：y=a（x-h）2+k（a≠0）→y=a（x-h-m）2+k（a≠0）→y=a（x-h-m）2+（k+n）（a≠0）.

2. 旋轉

y=a（x-h）2+k（a≠0）的頂點（h，k），以原點為旋轉中心，旋轉180°后，頂點變?yōu)椋?h，-k），且開口方向改變，所以拋物線解析式變?yōu)閥=-a（x+h）2-k（a≠0）.

拋物線旋轉其他角度后的圖形在初中階段屬于超綱，這里不予分析.

3. 對稱

二次函數的軸對稱有兩方面要考慮，一是頂點，二是開口方向.

（1）以y軸為對稱軸對稱，頂點（h，k）→（-h，k），開口方向a→a，解析式：y=a（x-h）2+k（a≠0）→y=a（x+h）2+k（a≠0）.

（2）以x軸為對稱軸對稱，頂點（h，k）→（h，-k），開口方向a→-a，解析式：y=a（x-h）2+k（a≠0）→y=-a（x-h）2-k（a≠0）.

4. 位似

總而言之，函數的運動過程從特殊點入手，對于平移、旋轉、對稱、位似，都可以遵照特殊點，將復雜的直線或曲線變成點進行研究. 特殊點的選擇，要最能體現其幾何特征和代數特征的點，最大程度上確定這個函數的解析式，進而達到簡化的目的.

作者簡介：向偉（1983-），本科學歷，中學一級教師，從事初中數學教學工作，曾獲得深圳市中青年骨干教師、廣東省首屆中青年教師教學能力大賽初中數學第一名，多次在市教學技能比賽中獲一等獎.