袁燕李凱特　董杰　高俊?！±钍浪伞≮w偉

摘要：用磁傳感器測(cè)量三芯電力電纜各芯線的電流時(shí)，磁傳感器陣列的中心可能偏離電纜中心，致使測(cè)量結(jié)果中含有由此產(chǎn)生的誤差即偏心誤差，為此提出一種對(duì)偏心誤差的計(jì)算和補(bǔ)償方法。在原有測(cè)量方法基礎(chǔ)上，將磁傳感器陣列沿電纜軸向安裝表面旋轉(zhuǎn)180°，測(cè)量新位置上的磁感應(yīng)強(qiáng)度。通過求解非線性方程組，可以確定偏心誤差的大小;并據(jù)此對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行補(bǔ)償，可得到計(jì)及偏心誤差情況下三芯電力電纜各芯線電流值的實(shí)際大小。電磁場(chǎng)有限元仿真試驗(yàn)結(jié)果表明，所建立的解析模型具有很好的準(zhǔn)確性，驗(yàn)證所提出計(jì)算和補(bǔ)償方法的有效性。

關(guān)鍵詞：電力電纜;電流測(cè)量;偏心誤差;旋轉(zhuǎn)法;電磁場(chǎng)有限元仿真

中圖分類號(hào)：TM934 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-5124（2019）01-0019-08

0 引言

隨著三芯電力電纜越來越多地應(yīng)用于35kV及以下三相電力系統(tǒng)的電纜輸配電工程中[1]，其運(yùn)行的安全性日益受到重視[2]。為實(shí)現(xiàn)對(duì)三芯電力電纜運(yùn)行狀態(tài)的在線監(jiān)測(cè)，一種較為可靠的方法是監(jiān)測(cè)三芯電力電纜實(shí)際運(yùn)行中各芯線的電流[3]。在電力系統(tǒng)運(yùn)行中，對(duì)三芯電纜各芯線電流的監(jiān)測(cè)意義重大。原則上，可通過實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)，對(duì)三芯電力電纜的運(yùn)行狀態(tài)和其是否存在潛在的故障等進(jìn)行評(píng)估，以確保經(jīng)三芯電力電纜傳輸電力的安全可靠。

然而，對(duì)各相芯線共同使用同一屏蔽保護(hù)層的三芯電力電纜而言，傳統(tǒng)的基于電磁感應(yīng)原理、以電流互感器測(cè)量電流的方法無法被應(yīng)用。這是因?yàn)椋倦娏﹄娎|的A、B、C三相芯線一般兩兩相隔120°沿該電纜軸向圓周均勻分布，且三相芯線使用共同的屏蔽保護(hù)層，在三芯電力電纜正常、對(duì)稱穩(wěn)定的運(yùn)行情況下，三相電流平衡，對(duì)外的等效電流為零，即穿過該電纜軸向橫截面的總磁通量也為零。因此，不能在環(huán)繞電纜軸向的磁感應(yīng)平面上產(chǎn)生變化的磁通量，因而就無法以電流互感器測(cè)量三芯電力電纜各芯線的電流。

目前已有的三芯電力電纜監(jiān)測(cè)方法，多是基于間接方法來反映三芯電力電纜的運(yùn)行特性，例如通過測(cè)量三芯電力電纜的溫度等來監(jiān)測(cè)三芯電力電纜的運(yùn)行狀態(tài)[4-7]。間接方法雖然也能反映三芯電力電纜是否存在發(fā)生故障的隱患甚至已發(fā)生故障，但測(cè)量往往存在延遲，且難以明確診斷故障的具體位置和類型，存在較大的局限性。

近年來，隨著磁測(cè)量技術(shù)的發(fā)展和磁傳感器制造工藝水平的不斷提高，用磁傳感器測(cè)量電流逐漸成為電力行業(yè)認(rèn)可的一種方法[8-9]。本文作者之前通過在三芯電力電纜表面安裝與各芯線準(zhǔn)直且空間上互差120°的3個(gè)磁傳感器（以下簡(jiǎn)稱“磁傳感器陣列”），線性地感知并獲取到三芯電力電纜各芯線電流的大小[10]。但在實(shí)施該測(cè)量方法時(shí)，磁傳感器陣列的中心必須要與三芯電力電纜的中心（以下簡(jiǎn)稱“電纜中心”）重合，否則，就會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的測(cè)量誤差[11-12]，也稱偏心誤差。對(duì)于實(shí)際的測(cè)量裝置，由于受裝置制作的工藝水準(zhǔn)和裝置安裝時(shí)施工人員的操作水平等因素限制，磁傳感器陣列中心與電纜中心之間難免存在毫米量級(jí)的偏心。而三芯電力電纜周圍任意位置由某相電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度，與該相電纜芯線到該位置之間的距離成反比，即其對(duì)位置的變化比較敏感。故，對(duì)偏心誤差必須加以考慮。

為了計(jì)算并補(bǔ)償偏心誤差，以更準(zhǔn)確地測(cè)量三芯電力電纜各芯線的電流，本文提出一種磁傳感器陣列“旋轉(zhuǎn)法”，建立三芯電力電纜各芯線電流、磁傳感器陣列中心實(shí)際位置以及所測(cè)量磁感應(yīng)強(qiáng)度相互關(guān)聯(lián)的解析模型，求解得到偏心誤差，以及考慮偏心誤差條件下三芯電力電纜各芯線電流的實(shí)際大小。

1 計(jì)算三芯電力電纜表面磁感應(yīng)強(qiáng)度的解析模型

1.1 磁傳感器陣列中心與電纜中心無偏心時(shí)三芯電力電纜表面磁感應(yīng)強(qiáng)度的解析模型

磁傳感器陣列中心與電纜中心重合即不存在偏心時(shí)，三芯電力電纜的結(jié)構(gòu)及各芯線電流的測(cè)量原理，如圖1所示。電纜中心為O，A、B、C分別為三相芯線的中心，電纜中心O到三相芯線中心A、B、C的距離均為r：OA、OB、OC互成120°;SA、SB、SC為3個(gè)磁傳感器的安裝位置，其到磁傳感器陣列中心O'（x，y）的距離均為R;3個(gè)磁傳感器均測(cè)量所在位置磁感應(yīng)強(qiáng)度沿電纜外表面軸向圓周的切向分量，即n方向的分量。不失一般性，可使Y軸與OA重合，則A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，r）;電纜中心到B，C兩芯線中心的矢量，即OB、OC與x軸的夾角就分別為210°、330°;B點(diǎn)的坐標(biāo)為（C點(diǎn)的坐標(biāo)為。A、B、C三相芯線的電流分別表示為I_A、I_B和I_C。

首先，給出磁傳感器陣列中心與電纜中心重合即無偏心時(shí)，使用磁傳感器測(cè)量三芯電力電纜各芯線電流的解析模型。本文規(guī)定電流方向向內(nèi)為正，根據(jù)安培環(huán)路定理，由A相電流I_A在SA處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為其中μ⁰為真空磁導(dǎo)率。

式（1）中的磁感應(yīng)強(qiáng)度即指向n方向。類似地，由B相電流I_B在SA處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

式（2）中磁感應(yīng)強(qiáng)度B_SA-B的方向?yàn)?/p>

故，B_SA-B中沿n方向的分量為

同理，由C相電流I_C在SA處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

式（5）所示磁感應(yīng)強(qiáng)度B_BA-C的方向?yàn)?/p>

故，B_SA-C中沿n方向的分量為

聯(lián)立式（1）、式（4）和式（7），可得到在SA處由三相芯線電流共同產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度沿n方向的分量為

考慮到三芯電力電纜結(jié)構(gòu)上的對(duì)稱性，在求解SB、SC處的磁感應(yīng)強(qiáng)度時(shí)，可將x和y坐標(biāo)軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。例如，在求解SB處的磁感應(yīng)強(qiáng)度時(shí)，就可將y軸旋轉(zhuǎn)至與OB相重合。如此，OC、OA與x軸的夾角分別為210°、330°。因此，在進(jìn)行具體計(jì)算上，基于式（1）、式（4）、式（7）和式（8），只要在磁傳感器SA處的磁感應(yīng)強(qiáng)度沿n方向分量的表達(dá)式中，將I_A換成I_B，I_B換成I_C，I_C換成I_A，即將三相芯線電流進(jìn)行如此的依次輪換即可。由此方法，即可得到SB處的磁感應(yīng)強(qiáng)度沿n方向的分量為

同理，也可得到SC處的磁感應(yīng)強(qiáng)度沿n方向的分量為

由于B_SA-n、B_SB-n和B_SC-n均為磁傳感器的測(cè)量值，聯(lián)立由式（8）～式（10）組成的方程組，便可推導(dǎo)出I_A、IB和I_C解析表達(dá)式，具體分別為

1.2 磁傳感器陣列中心與電纜中心之間存在偏心時(shí)三芯電力電纜表面磁感應(yīng)強(qiáng)度的解析模型

圖2給出了磁傳感器陣列中心與電纜中心之間存在偏心的原理示意圖。據(jù)此，SA、SB、SC 3個(gè)磁傳感器安裝位置的坐標(biāo)分別為（x，y+R）、y-R/2）、

根據(jù)圖2，由A相電流I_A在SA處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

式（14）所示磁感應(yīng)強(qiáng)度B_SA-A的方向?yàn)?/p>

故，B_SA-A中沿n方向的分量為

類似地，由B相電流I_B在SA處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

式（17）所示磁感應(yīng)強(qiáng)度B_SA-B的方向?yàn)?/p>

故，B_SA-B中沿n方向的分量為

同理，由C相電流I_C在SA處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

式（20）所示的磁感應(yīng)強(qiáng)度B_SA-C的方向?yàn)?/p>

故，B_SA-C中沿n方向的分量為

聯(lián)立式（16）、式（19）和式（22），可得到存在偏心條件下，在SA處由A、B、C三相芯線電流共同產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度沿n方向的分量為

類似地，可得到由A、B、C三相芯線電流在SB處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度沿n方向的分量分別為

聯(lián)立式（24）、式（25）和式（26），即可得到SB處由A、B、C三相芯線電流共同產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度沿n方向的分量為

B_SB-n=

同理，可得到A、B、C三相芯線電流在SC處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度沿n方向的分量分別為

聯(lián)立式（28）、式（29）和式（30），即可得到SC處由A、B、C三相芯線電流共同產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度沿n方向的分量為

B_BC-n=

現(xiàn)將磁傳感器陣列從原來位置沿安裝平面周向旋轉(zhuǎn)180°，旋轉(zhuǎn)后的新位置如圖3所示。

按照前述的方法，不難得到磁傳感器陣列在旋轉(zhuǎn)后測(cè)量位置處測(cè)得的由A、B、C三相芯線電流共同產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度沿n方向的分量分別為

以磁傳感器陣列在初始測(cè)量位置和旋轉(zhuǎn)后新測(cè)量位置的測(cè)量值作為已知量，聯(lián)立求解由式（23）、式（27）、式（31）～式（34）共計(jì)6個(gè)獨(dú)立方程組成的超定方程組，可以解得x、y、I_A、I_B和I_C共5個(gè)未知量。如此，既可確定偏心誤差的大小，還可以得到計(jì)及偏心誤差情況下三芯電力電纜各芯線電流值的實(shí)際大小。

2 模型仿真試驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證所提出方法的有效性，在Maxwe1115.0電磁場(chǎng)有限元仿真軟件中，搭建了一個(gè)三芯電力電纜的物理模型，并進(jìn)行了仿真試驗(yàn)。

仿真試驗(yàn)中，采用Maxwell二維模型，三芯電力電纜的參數(shù)設(shè)置如下：R=45mm，r=20mm，A、B、C三相芯線的半徑均為12.5mm;x=3mm，y=5mm，即存在偏心;輸入各芯線的正弦電流的幅值均為100A，即I_AI_B=I_C=100A，頻率均為50Hz，它們相互間的相位互差120°;仿真模型的邊界設(shè)置為Balloon邊界，加載至以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、半徑為450mm的圓上;網(wǎng)格剖分方式為手動(dòng)剖分，在源（即A、B、C三相芯線）的位置設(shè)置網(wǎng)格最大邊長為1mm;求解器類型為Transient求解器;仿真時(shí)長設(shè)置為電網(wǎng)電流一個(gè)周波的時(shí)間，即20ms。此外，又設(shè)置了兩個(gè)圓的幾何模型，半徑分別為45.1mm和44.9mm，在這兩個(gè)圓和R=45mm的圓所形成的兩個(gè)夾層中，都設(shè)置網(wǎng)格最大邊長為0.1mm，即保證了在6個(gè)求解點(diǎn)（SA、SB、SC，θ=0°和θ=180°）處，磁感應(yīng)強(qiáng)度沿n方向分量的求解足夠精確。

仿真試驗(yàn)輸入的A、B、C三相芯線的正弦電流隨時(shí)間變化的波形曲線如圖4所示。

仿真試驗(yàn)獲得的3個(gè)磁傳感器SA、SB、SC處的磁感應(yīng)強(qiáng)度沿n方向的分量隨時(shí)間變化的波形曲線，如圖5所示。將仿真試驗(yàn)的邊界擴(kuò)大一倍，網(wǎng)格最大長度縮小一半，兩次仿真試驗(yàn)之間能量誤差的變化小于1%，即認(rèn)為原仿真模型的準(zhǔn)確度已符合要求。

然后，以仿真試驗(yàn)所得到的相應(yīng)磁感應(yīng)強(qiáng)度作為已知條件，根據(jù)無偏心時(shí)的解析模型，即式（11）～式（13），求解三芯電力電纜各芯線的電流I_a、I_b、I_c。圖6給出了計(jì)算得到的三芯電力電纜各芯線電流隨時(shí)間變化的波形曲線。不難看出，計(jì)算結(jié)果與仿真試驗(yàn)所設(shè)置輸入的各芯線電流波形存在較大的偏差，最大相對(duì)誤差約26%。這表明，對(duì)偏心誤差必須予以考慮。

將磁傳感器陣列相對(duì)于原安裝位置沿安裝平面周向旋轉(zhuǎn)180°，并在新位置對(duì)沿電纜外表面軸向圓周的磁感應(yīng)強(qiáng)度沿n方向的分量進(jìn)行測(cè)量。

仍采用如圖4所示的輸入電流，再次進(jìn)行仿真試驗(yàn)，得到的3個(gè)磁傳感器SA、SB、SC在新位置處的磁感應(yīng)強(qiáng)度沿n方向的分量隨時(shí)間變化的波形曲線如圖7所示。

再采用式（23）、式（27）、式（31）～式（34）共同組成的超定方程組，對(duì)x、y、I_a、I_b、I_c進(jìn)行解析求解。注意，在已知6個(gè)獨(dú)立方程求解5個(gè)未知量時(shí)，應(yīng)采用最小二乘非線性擬合方法來獲取最佳的未知量估計(jì)值。計(jì)算得到的各芯線正弦電流的幅值I_A=100.18A，I_B=101.04A，I_C=99.83A;電纜中心坐標(biāo)參數(shù)x=2.86mm，y=5.22mm，以解析計(jì)算結(jié)果復(fù)現(xiàn)出的各芯線電流隨時(shí)間變化的波形，如圖8所示，其與仿真試驗(yàn)所設(shè)置輸入的各芯線電流波形的誤差曲線如圖9所示。

從圖9可以看出，在計(jì)及偏心誤差后，三芯電力電纜各芯線電流的計(jì)算結(jié)果與仿真試驗(yàn)輸入值非常接近，最大誤差僅約為1%，從而很好地驗(yàn)證了本文所建立解析模型的正確性。

3 結(jié)束語

本文將磁傳感器陣列設(shè)計(jì)為可沿安裝平面周向旋轉(zhuǎn)，進(jìn)而分別在初始的00和旋轉(zhuǎn)后的1800兩個(gè)位置，測(cè)量由三相芯線共同產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度沿n方向的分量;由磁傳感器陣列在上述兩個(gè)位置的參數(shù)以及測(cè)得的磁感應(yīng)強(qiáng)度，建立三芯電力電纜各芯線電流、磁傳感器陣列中心實(shí)際位置以及所測(cè)量磁感應(yīng)強(qiáng)度之間關(guān)系的解析模型，得到6個(gè)非線性方程?；谧钚《朔ㄇ蠼庠摲蔷€性方程組，便可得到三芯電力電纜的偏心信息，以及計(jì)及偏心誤差條件下三芯電力電纜各芯線電流的實(shí)際大小。

本文所提出的測(cè)量方法，可對(duì)以磁傳感器測(cè)量三芯電力電纜各芯線電流的偏心誤差進(jìn)行計(jì)算和補(bǔ)償。該方法克服了磁傳感器陣列中心與三芯電力電纜中心存在偏心條件下，以磁傳感器測(cè)量三芯電力電纜各芯線電流準(zhǔn)確性不高的缺陷，可實(shí)現(xiàn)對(duì)三芯電力電纜各芯線電流的更準(zhǔn)確測(cè)量。電磁場(chǎng)有限元仿真試驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的用磁傳感器測(cè)量三芯電力電纜各芯線電流的偏心誤差的計(jì)算和補(bǔ)償方法準(zhǔn)確性高、魯棒性好，具有較高的實(shí)用價(jià)值。

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