摘 要：旋轉(zhuǎn)思想與全等思想本質(zhì)上有著密切的關(guān)聯(lián)性.一般而言，學(xué)生運(yùn)用旋轉(zhuǎn)思想證明旋轉(zhuǎn)背景下的全等問題，要比用全等思想證明困難得多，學(xué)生易單純地從全等模式下進(jìn)行證明，極易產(chǎn)生漏解（遺漏線段位置關(guān)系）.對(duì)此，對(duì)于旋轉(zhuǎn)思想的培養(yǎng)，要加強(qiáng)利用概念要素教學(xué)探究性質(zhì)，以利于學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)法的理解運(yùn)用.

關(guān)鍵詞：旋轉(zhuǎn)問題;旋轉(zhuǎn)法;全等法;思辨關(guān)系

作者簡(jiǎn)介：程志南（1964-），男，浙江瑞安人，?？?，中學(xué)高級(jí)教師，研究方向：初中數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.

學(xué)習(xí)人教2013年版教科書的九年級(jí)學(xué)生，在求解有關(guān)旋轉(zhuǎn)類型的全等問題時(shí)，習(xí)慣用全等的視覺看待解決.緣何如此？究其原因，我們發(fā)現(xiàn)，這是由于旋轉(zhuǎn)與全等有著共同的屬性特征，都是關(guān)于兩個(gè)圖形之間能夠完全重合的全等關(guān)系;又由于旋轉(zhuǎn)與全等的證明過程之推理表達(dá)形式極其類似，都是在全等的過程推理模式中進(jìn)行;再由于旋轉(zhuǎn)知識(shí)是初學(xué)初用，而全等知識(shí)卻普遍存在和廣泛應(yīng)用，學(xué)生全等思想烙印深刻;還由于旋轉(zhuǎn)涉及圖形的運(yùn)動(dòng)，而運(yùn)動(dòng)的圖形使線段之間、角之間的關(guān)系變得復(fù)雜抽象.如何教學(xué)才能使學(xué)生自覺地運(yùn)用旋轉(zhuǎn)思想解決有旋轉(zhuǎn)背景的全等問題？本文試圖從旋轉(zhuǎn)與全等的關(guān)系，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式習(xí)慣等諸方面分析產(chǎn)生的原因，以及對(duì)教學(xué)的一些思考.

1 問題提出

圖形的旋轉(zhuǎn)與全等有著千絲萬縷的聯(lián)系，旋轉(zhuǎn)也是一種全等變換，可謂旋轉(zhuǎn)中必有全等，全等中一定條件下有旋轉(zhuǎn)背景.

學(xué)生用旋轉(zhuǎn)思想證明旋轉(zhuǎn)背景下的全等問題，要比用全等思想證明困難，求解時(shí)習(xí)慣用全等視覺一味地只關(guān)注靜態(tài)下圖形全等而缺乏運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)，不能自如地運(yùn)用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)定量、定性描述推理，造成對(duì)圖形只作定量分析無定性描述，導(dǎo)致解題走進(jìn)死胡同，結(jié)論寫不全.作為教師，常困惑于學(xué)生學(xué)習(xí)方法死，固守已有的全等思維模式，運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)、發(fā)散思維與創(chuàng)新能力差，如何讓學(xué)生求解此類問題時(shí)，自覺地運(yùn)用旋轉(zhuǎn)思想解決呢？

2 試題呈現(xiàn)

題1 如圖1，點(diǎn)K是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，以AK為一邊作正方形AKLM，使點(diǎn)L，M在AK同旁，連接BK和DM，試用旋轉(zhuǎn)思想說明BK與DM的關(guān)系.

這是我縣九年級(jí)中考模擬試題.試題立足教材“旋轉(zhuǎn)”章節(jié)，關(guān)注學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)知識(shí)掌握與運(yùn)用情況，考查感知運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)，運(yùn)用旋轉(zhuǎn)思想解決問題的能力.從題目數(shù)學(xué)對(duì)象點(diǎn)、線、角、形，需從圖形位置和數(shù)量關(guān)系兩個(gè)角度描述.但從閱卷情況看，這一考查目標(biāo)不理想，學(xué)生基本從全等角度入手，只判斷線段BK與DM的數(shù)量關(guān)系而遺漏位置關(guān)系，鮮有運(yùn)用旋轉(zhuǎn)思想解決，說明很多學(xué)生概念理解不全混淆不清，或題意理解不清漏寫結(jié)論，暴露了學(xué)生用運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)分析解決問題意識(shí)不強(qiáng)，同時(shí)也從教學(xué)方面說明了教師在教學(xué)中滲透旋轉(zhuǎn)觀點(diǎn)的教學(xué)觀重視不夠.

3 解答情況

3.1 多數(shù)學(xué)生從全等角度解答

解析 因?yàn)樗倪呅蜛BCD和AKLM是正方形，

所以AB=AD，AK=AM，且∠BAD=∠KAM=90°.

所以∠BAD-∠KAD=∠KAM-∠KAD.

即∠BAK=∠DAM.

所以△ABK≌△ADM（SAS）.

所以BK=DM.

3.2 鮮有學(xué)生從旋轉(zhuǎn)角度解答

解析 因?yàn)樗倪呅蜛BCD和AKLM是正方形，

所以AB=AD，AK=AM，且∠BAD=∠KAM=90°.

所以△ADM是以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，∠BAD為旋轉(zhuǎn)角，由△ABK旋轉(zhuǎn)而成，所以BK⊥DM且BK=DM.

由全等法只獲得數(shù)量關(guān)系，而旋轉(zhuǎn)法既獲得定量又獲得定性關(guān)系.其實(shí)，全等法也可得位置關(guān)系.只要延長(zhǎng)BK交DM，得兩個(gè)對(duì)頂三角形，由△ABK≌△ADM和對(duì)頂角相等，同樣可得BK⊥DM.

題目要求從旋轉(zhuǎn)角度說明線段關(guān)系，然而多數(shù)學(xué)生全然無視不顧，直奔兩個(gè)三角形全等獲得數(shù)量關(guān)系，不會(huì)從數(shù)量和位置關(guān)系兩角度刻畫圖形性質(zhì)，僅從一角度寫結(jié)論.可見，學(xué)生求解時(shí)眼中只有全等而無旋轉(zhuǎn)，空間想象匱乏.運(yùn)用旋轉(zhuǎn)思想處理全等問題，需要有一定的空間觀念和運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)支撐，這正是學(xué)生的短板，需要“修補(bǔ)”加強(qiáng).

4 原因分析

4.1 全等思想根深蒂固

旋轉(zhuǎn)對(duì)全等有密切的依存關(guān)系，有旋轉(zhuǎn)背景的圖形一定存在全等效果.人教2012年版教科書把“全等三角形”編排在八年級(jí)上，一年后安排九年級(jí)上學(xué)習(xí)“旋轉(zhuǎn)”.這樣，學(xué)習(xí)全等后的幾何學(xué)習(xí)中，全等知識(shí)普遍存在和廣泛應(yīng)用，全等思想運(yùn)用幾乎“如影隨形”無處不在，使用率極高.而后續(xù)學(xué)習(xí)的旋轉(zhuǎn)知識(shí)是初學(xué)初用，且圖形需要有旋轉(zhuǎn)背景特征條件才能用旋轉(zhuǎn)思想處理，使用率低于全等.因此學(xué)生全等思想烙印深刻，全等意識(shí)強(qiáng)于旋轉(zhuǎn)意識(shí)，在處理兩條線段關(guān)系時(shí)，腦海里首先釋放的是全等策略強(qiáng)信息，在此信息牽引下自然而然地運(yùn)用全等思想解決問題.

4.2 思維定勢(shì)產(chǎn)生負(fù)遷移

由于全等思想運(yùn)用的普遍性和先入為主的觀念，全等思想占據(jù)主導(dǎo)地位，形成潛意識(shí)下思維習(xí)慣.學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)單一膚淺，在慣性思維作用下，后繼運(yùn)用新知識(shí)“旋轉(zhuǎn)背景下的全等”，受已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)全等思想運(yùn)用比較熟練的干擾，產(chǎn)生過度依賴，引起思維僵化，不能從運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)出發(fā)，多角度、全面整體地看問題.在解決此類問題時(shí)，受思維定勢(shì)消極影響，“獨(dú)此一家，別無分店”，眼中只有全等，不能用運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)從旋轉(zhuǎn)角度思考，妨礙了運(yùn)用旋轉(zhuǎn)思想解決問題的策略.教育心理學(xué)認(rèn)為，產(chǎn)生錯(cuò)誤原因是負(fù)遷移作崇.

4.2.1 旋轉(zhuǎn)與全等的屬性特征一致造成負(fù)遷移

人教2012年版義務(wù)教育教科書八年級(jí)上第31頁定義全等：“形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形”;而把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)的某個(gè)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形形狀、大小相同，完全重合，是全等形.簡(jiǎn)言之，旋轉(zhuǎn)與全等都有著兩個(gè)圖形能夠完全重合的全等形關(guān)系共同屬性特征.

4.2.2 旋轉(zhuǎn)與全等的對(duì)應(yīng)元素性質(zhì)相同造成負(fù)遷移

全等的兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等;同樣，基本圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等.

4.2.3 旋轉(zhuǎn)與全等的證明過程相近造成負(fù)遷移

旋轉(zhuǎn)與全等的證明過程，其書寫推理表達(dá)形式極其類似，都是在全等推理模式中進(jìn)行，極易造成負(fù)遷移.學(xué)生受全等思想定勢(shì)思維的消極影響，求解時(shí)容易走入全等誤區(qū).如題1，全等用“邊角邊”判斷，旋轉(zhuǎn)同樣用類似于“邊角邊”模式獲得.

題2 如圖2，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AG⊥EB，垂足為點(diǎn)G，AG交BD于點(diǎn)F，求證：OE=OF.

解法1（利用全等思想證明）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AC⊥BD，OA=OB.

所以∠AOF=∠BOE=∠90°.

因?yàn)椤螦GB=90°，所以∠BEA+∠EAG=∠AFO+∠EAG=90°.

所以∠BEA=∠AFO.

所以△AOF≌△BOE（AAS）.

所以O(shè)E=OF.

解法2（利用旋轉(zhuǎn)思想證明）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AC⊥BD，OA=OB.

因?yàn)椤螦GB=90°，所以∠BEA+∠EAG=∠AFO+∠EAG=90°.

所以∠BEA=∠AFO.

故可以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使Rt△OAF重合于Rt△OBE，所以O(shè)E=OF.

全等策略是根據(jù)正方形性質(zhì)，利用AAS判定全等，再用全等性質(zhì)獲解;而旋轉(zhuǎn)策略也是根據(jù)正方形性質(zhì)，用類似于AAS模式推理兩個(gè)三角形重合，得對(duì)應(yīng)邊相等.兩相比較，只不過旋轉(zhuǎn)要特別證明有一對(duì)旋轉(zhuǎn)角相等，在推理過程中體現(xiàn)出來.可見，旋轉(zhuǎn)與全等的證明過程何其相似.

4.3 學(xué)生常常糾結(jié)于旋轉(zhuǎn)證明如何表述

運(yùn)用旋轉(zhuǎn)知識(shí)解決問題時(shí)，學(xué)生常常疑問：在解題時(shí)怎樣提及旋轉(zhuǎn)？我用全等證明了，但題目要求“用旋轉(zhuǎn)思想”，該怎樣表達(dá)呢？是證明它旋轉(zhuǎn)，還是用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)去證明？

學(xué)生糾結(jié)的問題，其實(shí)質(zhì)是畏懼旋轉(zhuǎn)證明的書寫形式.對(duì)學(xué)生而言，全等證明容易上手，而旋轉(zhuǎn)證明相對(duì)棘手.由于思考問題的局限性，不善于用運(yùn)動(dòng)眼光看待問題.旋轉(zhuǎn)變換本質(zhì)就是圖形運(yùn)動(dòng)的一種形式，因?yàn)樾D(zhuǎn)，所以抽象，抽象使問題變得復(fù)雜困難.因此，相較于全等書寫表達(dá)形式，學(xué)生不習(xí)慣用旋轉(zhuǎn)書寫形式推理表達(dá)，且有畏忌心理，害怕寫不好，故喜好從全等角度進(jìn)行推理表達(dá).

5 教學(xué)思考

教學(xué)旋轉(zhuǎn)變換性質(zhì)，要緊扣三要素進(jìn)行，以彰顯變換特性，體現(xiàn)點(diǎn)、線、形變換的一致性，強(qiáng)化研究視覺的關(guān)聯(lián)性，需要強(qiáng)化圖形變換的過程性教學(xué)，重視幾何語言學(xué)習(xí).

5.1 學(xué)會(huì)利用三要素描述旋轉(zhuǎn)過程

概念是基礎(chǔ)，三要素是旋轉(zhuǎn)概念的基石，是重中之重.教學(xué)旋轉(zhuǎn)概念時(shí)，依據(jù)教材“思考”材料，借助具體物體（時(shí)鐘）的支持，依托課件操作演示，直觀感知旋轉(zhuǎn)變換是由一個(gè)圖形改變?yōu)榱硪粋€(gè)圖形，在改變過程中，原圖上所有點(diǎn)都繞某個(gè)固定點(diǎn)按同一方向轉(zhuǎn)動(dòng)同一個(gè)角度，三個(gè)要素揭示定義實(shí)質(zhì)，從而明確三要素.因此，要清楚地描述旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，首先要說明旋轉(zhuǎn)中心，然后說明旋轉(zhuǎn)方向和角度.以時(shí)鐘指針旋轉(zhuǎn)為例，你能用旋轉(zhuǎn)三要素描述指針的旋轉(zhuǎn)嗎？然后進(jìn)行辨識(shí)旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角和描述旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象的練習(xí)，加深理解.

5.2 利用旋轉(zhuǎn)概念要素思考研究旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的教學(xué)

性質(zhì)是運(yùn)用于解題的依據(jù).只有深刻理解了旋轉(zhuǎn)不變性，才會(huì)具備運(yùn)用旋轉(zhuǎn)思想解決問題的意識(shí)，以及正確靈活地創(chuàng)新運(yùn)用.數(shù)學(xué)本質(zhì)是數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，那么，旋轉(zhuǎn)本質(zhì)就是旋轉(zhuǎn)思想的教學(xué).教學(xué)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)時(shí)，充分依托教材學(xué)習(xí)材料，豐富并發(fā)展.用猜想、測(cè)量、驗(yàn)證、證明的教學(xué)方式引領(lǐng)學(xué)生研究旋轉(zhuǎn)性質(zhì).

探究 如圖3，在硬紙板上，挖一個(gè)三角形洞，再另挖一個(gè)小洞O作為旋轉(zhuǎn)中心，硬紙板下面放一張白紙.先在紙上描出這個(gè)挖掉的三角形圖案（△ABC），然后圍繞旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動(dòng)硬紙板，再描出這個(gè)挖掉的三角形（△A′B′C′），移開硬紙板[1].你能得出它們哪些不變性？

學(xué)生獨(dú)立思考后，小組合作，用符號(hào)語言寫出圖中整體和對(duì)應(yīng)要素之間的數(shù)量和位置關(guān)系.點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)軌跡是圓弧路徑，因此，圖形上點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線即為半徑，如圖4.

追問1：△A′B′C′可以看成△ABC經(jīng)過怎樣的運(yùn)動(dòng)得到的？

追問2：觀察旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形，你能立即得出它們有哪些不變性嗎？

追問3：總結(jié)得到的結(jié)論，從三要素出發(fā)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的不變性怎樣體現(xiàn)？

追問4：你認(rèn)為研究旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就是研究什么？

追問5：你認(rèn)為對(duì)應(yīng)元素有哪些？它們?cè)谛螤睢⒋笮?、位置關(guān)系上有哪些不變性？

這里的教學(xué)處理，就是引導(dǎo)學(xué)生從概念出發(fā)思考性質(zhì)，也就是利用旋轉(zhuǎn)三要素研究性質(zhì).體現(xiàn)兩點(diǎn)[2]：①由點(diǎn)到形研究.先從圖形上特殊點(diǎn)（線段端點(diǎn)）變換過程出發(fā)，由特殊到一般去研究整體.讓學(xué)生知道，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)就是旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形的關(guān)系，是兩個(gè)圖形的形狀、大小和位置關(guān)系;②思考的有序性（邏輯性）.由一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)性質(zhì)（即對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角等于旋轉(zhuǎn)角），再到兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)性質(zhì)（即兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等），最后利用已確定的要素（點(diǎn)、線、角關(guān)系）對(duì)象，明確研究圖形的全等關(guān)系.

追問6：怎樣驗(yàn)證上述猜想的正確性？這一發(fā)現(xiàn)對(duì)于任意三角形的任意旋轉(zhuǎn)都成立嗎？

學(xué)生猜想和測(cè)量后，利用幾何畫板給出一些數(shù)據(jù)進(jìn)一步操作驗(yàn)證.幾何圖形性質(zhì)，只靠猜想和有限的數(shù)據(jù)驗(yàn)證遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，利用相關(guān)定理進(jìn)行推理驗(yàn)證，才是科學(xué)可信的.

證明 因?yàn)锳和A′是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，由對(duì)應(yīng)點(diǎn)的定義可知OA=OA′，同理OB=OB′，OC=OC′，即對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.

因?yàn)椤螦OB=∠A′OB′，所以∠AOB+∠BOA′=∠A′OB′+∠BOA′.

所以∠AOA′=∠BOB′.

同理∠AOA′=∠BOB′=∠COC′.

即任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)中心的連線所夾的角（旋轉(zhuǎn)角）相等.易證△AOB≌△A′OB′.

所以AB=A′B′，同理BC=B′C′，CA=C′A′.

所以△ABC≌△A′B′C′.

即旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)三角形全等.

問題1-5體現(xiàn)了探索發(fā)現(xiàn)，問題6體現(xiàn)了合情與邏輯推理，突出：①點(diǎn)旋轉(zhuǎn)確定形旋轉(zhuǎn)效果，將研究形旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為研究點(diǎn)旋轉(zhuǎn);②一個(gè)基本點(diǎn)（旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了相同角度）統(tǒng)領(lǐng)旋轉(zhuǎn)全局的教學(xué)思路.讓學(xué)生親歷了性質(zhì)發(fā)現(xiàn)、概括和驗(yàn)證過程，幫助深刻理解和掌握性質(zhì)，發(fā)展歸納和合情推理能力.其中，“旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)三角形全等”性質(zhì)的證明，需要通過添加輔助線（點(diǎn)運(yùn)動(dòng)半徑）構(gòu)造獲得，這又為后續(xù)解決旋轉(zhuǎn)全等問題提供了方法策略.

5.3 怎樣用旋轉(zhuǎn)思想解決幾何問題

以一道習(xí)題的解析為例進(jìn)行說明.

題3 如圖5，等腰Rt△ABC中，M為AC上一點(diǎn)，∠DBM=45°，且AD⊥AC，AC=BC=12，DM=10，求CM的長(zhǎng).

解法1 如圖6，延長(zhǎng)AD，作過點(diǎn)BG⊥AD交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，截取GE=CM.

易證四邊形ACBG.

所以△BGE≌△BCM，△BDM≌△BDE.

設(shè)線段CM=x，則EG=x，DG=10-x.

從而AD=12-（10-x）=2+x.

在Rt△ADM中，（12-x）2+（2+x）2=102，解得x1=3或x2=8.

解法2 將△BCM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△BGE，連接DG.由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)易知△BGE≌△BCM，∠CBG=90°.

所以∠BGE=∠BCM=90°，EG=CM.

由等腰Rt△ABC和AD⊥AC，易證四邊形ACBG是正方形.

所以∠BGD=90°.

所以∠BGD=∠BGE=90°.

所以D、G、E三點(diǎn)在同一直線上.下同解法1.

由于旋轉(zhuǎn)涉及圖形運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的圖形使線段之間、角之間關(guān)系變得復(fù)雜抽象，但旋轉(zhuǎn)卻能夠把如同散沙般的條件聚攏利用，有利解決問題.那么，如何想到用旋轉(zhuǎn)方法呢？

5.3.1 如何添輔助線

這個(gè)問題等同于怎么想到旋轉(zhuǎn)法.本題條件十分分散，不易直接求出CM，如何將關(guān)聯(lián)線段集中到同一個(gè)三角形中，是解決問題的關(guān)鍵.等腰直角三角形其實(shí)是由正方形沿對(duì)角線折疊后得到的，我們想到，不妨將這個(gè)過程還原，即構(gòu)造出原來的正方形，同時(shí)可以將△BCM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，如圖6.

這是一個(gè)非常熟悉的圖形，通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出一對(duì)全等三角形△BCM和△BGE，同時(shí)還得到另一對(duì)全等三角形△BDM和△BDE，思路由此打開.

5.3.2 如何表述輔助線的作法

顯然，兩種解法都體現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)思想構(gòu)造全等三角形的思路，然而，輔助線作法的表述截然不同.

解法1體現(xiàn)旋轉(zhuǎn)思維非旋轉(zhuǎn)作圖.證明過程中沒有表述為旋轉(zhuǎn)，通常用作出輔助線后再證全等方式來達(dá)到旋轉(zhuǎn)效果.說明作輔助線的具體內(nèi)容如：“過某點(diǎn)作××的平行線（或垂線），交××于×點(diǎn)”“延長(zhǎng)××到×點(diǎn)，連接××”“在××上截取××=××，連接××”“作∠×××=××度”.

解法2體現(xiàn)旋轉(zhuǎn)思維旋轉(zhuǎn)作圖.借助旋轉(zhuǎn)思想對(duì)圖形元素間的關(guān)系進(jìn)行定性分析探尋思路構(gòu)造全等三角形，證明過程中利用旋轉(zhuǎn)三要素表述旋轉(zhuǎn)作圖，但需要說明三點(diǎn)共線，而這恰是學(xué)生的軟肋.

如何掌握旋轉(zhuǎn)的方法，使學(xué)生逐步添加輔助線，這些都是有規(guī)律可循的.由此，教學(xué)時(shí)，必須向?qū)W生講清旋轉(zhuǎn)作圖的兩種方法，會(huì)正確表達(dá)旋轉(zhuǎn)后的結(jié)果，注意規(guī)范輔助線的表述，規(guī)范證明的書寫格式.

通過習(xí)題教學(xué)，甄別旋轉(zhuǎn)背景下全等問題的兩種解法，領(lǐng)會(huì)旋轉(zhuǎn)法實(shí)質(zhì)是從動(dòng)態(tài)視角探究問題，在變化中發(fā)現(xiàn)規(guī)律的一種解題方法;理解當(dāng)圖形條件過于分散，無法有效利用時(shí)，就需要移動(dòng)圖形，將部分圖形改變位置后重組優(yōu)化，有利發(fā)現(xiàn)隱含條件，抓住問題的實(shí)質(zhì)關(guān)鍵，而移動(dòng)圖形的手段就是三種變換;明確當(dāng)圖形中只要存在共頂點(diǎn)的等線段時(shí)，就可以實(shí)施旋轉(zhuǎn)變換，體會(huì)創(chuàng)新妙用旋轉(zhuǎn)變換解決問題的奇效.

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（收稿日期：2019-08-19）