袁佳婧

摘 要：蒙特卡羅模擬是通過計算機模擬實際發(fā)生的事情。通過蒙特卡羅模擬能計算出相應(yīng)事件發(fā)生的概率，模擬與計算過程有效、可行、易理解。其基本思想是，將各種隨機事件的概率特征與模擬聯(lián)系起來，用試驗的方法確定事件的相應(yīng)概率與數(shù)學(xué)期望。應(yīng)用蒙特卡羅模擬方法解決了實際概率問題，為解決用傳統(tǒng)方法不能解決的問題，提供了有意義的參考。主要介紹蒙特卡羅方法及基本原理，并通過實例說明蒙特卡羅方法在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：蒙特卡羅模擬;隨機試驗;正態(tài)分布;數(shù)學(xué)建模

中圖分類號：TB 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：Adoi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2019.11.106

1 蒙特卡羅方法與基本原理

蒙特卡羅方法又稱為計算機模擬方法，它是以概率統(tǒng)計理論為基礎(chǔ)的一種方法。該方法與一般數(shù)值計算方法有本質(zhì)區(qū)別，蒙特卡羅模擬采用的是頻率近似概率的數(shù)學(xué)思想，來解決物理、數(shù)學(xué)、生產(chǎn)管理或工程技術(shù)等方面的問題。蒙特卡羅方法的起源，最早可以追溯到18世紀(jì)下半葉時，由Buffon提出的用試驗的方法求值，即：蒲豐投針問題。蒲豐投針問題的解決方法就是蒙特卡羅模擬的典型運用。當(dāng)時的投針試驗是利用人工進行實際操作，然后統(tǒng)計試驗結(jié)果，最后得出結(jié)論。但是人工進行大量實際的隨機試驗，一方面成本較高;另一方面統(tǒng)計結(jié)果的準(zhǔn)確率較低，因此只能稱Buffon試驗只能稱為近代統(tǒng)計模擬的雛形。隨著現(xiàn)今計算機技術(shù)的高速發(fā)展，蒙特卡羅模擬實驗已不再需要人工實際操作，通過計算機隨機模擬更加方便快捷，所得的估計值也更精確。

蒙特卡羅模擬方法求解概率問題的基本思想是：當(dāng)所求問題的解是某個隨機變量的數(shù)學(xué)期望或者某個事件的概率，或者是與數(shù)學(xué)期望、概率有關(guān)的量時，通過試驗的方法模擬事件的發(fā)生，求出該事件發(fā)生的頻率，計算所求參數(shù)的統(tǒng)計特征，最后給出近似值作為問題的解。

2 實際問題

校車在每個工作日，都會在A校區(qū)與B校區(qū)之間擺渡。李華家住B校區(qū)附近。校車從A校區(qū)到B校區(qū)的運行時間服從均值為30分鐘，標(biāo)準(zhǔn)差為2分鐘的正態(tài)隨機分布。校車大約中午13：00從A校區(qū)出發(fā)，李華大約13：30步行到達(dá)B校區(qū)，校車從A校區(qū)出發(fā)的時刻及概率如表1所示。

3 問題分析

記T1為校車從A校區(qū)出發(fā)的時刻，T2為校車從A校區(qū)到B校區(qū)運行的時間，T3為李華到達(dá)B校區(qū)的時刻。T1、T2、T3均是隨機變量，且T2～N（30，22），T1、T3的分布律如表所示：其中記中午13時為時刻t=0。

通過分析可知，此人能及時趕上校車的充分必要條件是：T1+T2>T3。由此得到，此人趕上校車的概率是P{T1+T2>T3}。

4 建立模型

利用蒙特卡羅方法隨機模擬校車出發(fā)時刻，校車車運行時間，李華到達(dá)B校區(qū)的時刻。然后判斷多次試驗中滿足上述充要條件的試驗有多少次。若在n次試驗中，有k次成功，則用頻率k/n作為李華能趕上校車的概率。當(dāng)n很大時，頻率值與概率值近似相等。

設(shè)r1，r2 是（0，1）區(qū)間上均勻分布的隨機數(shù)。則T1，T3的分布律的模擬公式為：

t1=0，0

令 t2 是服從正態(tài)分布N（30，22） 的隨機數(shù)，則將t2 看成火車運行時間T2的觀察值。

在每次試驗中，產(chǎn)生兩個U（0，1） 的隨機數(shù)r1，r2，來構(gòu)造 t1，t3。產(chǎn)生一個N（30，22） 的隨機數(shù)r3，來構(gòu)造 t2。當(dāng) t1+t2>t3，認(rèn)為試驗成功（能夠趕上校車）。若在n次試驗中，有k次成功，則用頻率k/n 作為此人趕上火車的概率。當(dāng)n很大時，頻率值與概率值近似相等。

5 模型求解

下面是利用python語言進行蒙特卡羅模擬的程序。其中montefun（）是自定義的蒙特卡羅模擬函數(shù)。

import numpy as np

def montefun（）：

t1 = np.random.rand（）

t2 = np.random.normal（30，2）

t3 = np.random.rand（）

arrtime1=0

arrtime2=t2

arrtime3=0

if t1<0.7：

arrtime1=0

elif 0.7<=t1<0.9：

arrtime1=5

else：

arrtime1 = 10

if t3 < 0.3：

arrtime3 = 28

elif 0.3<= t3 <0.7：

arrtime3 = 30

elif 0.7<= t3 < 0.9：

arrtime3 = 32

else：

arrtime3 = 34

return arrtime1，arrtime2，arrtime3

if __name__ == "__main__"：

t=0

f=0

for i in range（10000）：

t1，t2，t3 = montefun（）

if （t1 +t2） > t3：

t+=1

else：

f += 1

print （float（t）/10000）

程序運行的最后結(jié)果為：0.6317，故李華可以趕上校車的概率是0.6317。

6 模型推廣

眾所周知，在實際生活中有很多概率事件，這些事件可能沒有明確的概率分布。這種情況下，蒙特卡羅模擬是最有效且直接的方法。

我們都玩過套圈圈的游戲：游戲者拿著圈，去套擺放在地上的玩具，如果套中即可拿走。這個游戲貌似很誘人，但事實上投圈游戲攤的老板是穩(wěn)賺不賠的?，F(xiàn)在我們用蒙特卡羅模擬計算能套中的概率，證明這個事實。

假設(shè)目標(biāo)物品中心點的坐標(biāo)為（0，0），目標(biāo)物品的半徑為5cm。下面用python代碼畫出目標(biāo)物品坐標(biāo)圖。

import matplotlib.pyplot as plot

import numpy as np

import matplotlib.patches as mpts

target_circle = mpts.circle（[0，0]，radius=5，edgecolor='r'，fill=False）

plot.ylim（-80，80）

plot.xlim（-80，80）

plot.axes（）.add_patch（circle_target）

plot.show（）

代碼運行后得到目標(biāo)物品，如圖1所示。

對此我們假設(shè)投圈的半徑為8cm。投圈中心點圍繞目標(biāo)物品中心點呈二維正態(tài)分布，且假設(shè)其均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：μ=0cm，σ=20cm。模擬1000個參與游戲者每人投圈1 次，即模擬投圈過程1000次。用python代碼完成模擬的程序如下。

N=1000

u，beta = 0，20

points = u + beta * np.random.randn（N，2）

plot.scatter （ [x[0] for x in points]，[x[1] for x in points]，c=np.random.rand（N），alpha=0.5）

運行代碼之后，得到的投圈中心點的分布圖如圖2所示。

計算1000次投圈的過程中，投圈能夠套住目標(biāo)物品的概率。用python代碼完成計算：print（len（[xy for xy in points if xy[0] ** 2 + xy[1] ** 2 < （8-5） ** 2]）/N）。

代碼執(zhí)行后輸出的結(jié)果值為0.012?？梢越忉尀橥度?000次，其中只有12次能夠套住物品。這是個小概率事件，所以不難理解投圈游戲的老板幾乎時穩(wěn)賺不賠了。

7 總結(jié)

蒙特卡羅方法的發(fā)明，無疑是人類思維史上的重大突破。通過一個隨機性的構(gòu)想，它打破了過去的思考空白區(qū)，開啟了人類新的思維空間。

蒙特卡羅方法的使用過程可以歸納為以下三個主要步驟：

（1）構(gòu)造概率過程：對于本身具有隨機性質(zhì)的問題，需要正確地描述和模擬這個概率過程;對于本來不是隨機性質(zhì)的確定性問題，需要事先人為地構(gòu)造概率過程，將不具有隨機性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為隨機性質(zhì)的問題。

（2）利用概率分布抽樣：各種概率模型可以看作是由各種各樣的概率分布構(gòu)成的，所以實現(xiàn)蒙特卡羅方法模擬實驗的基本手段是產(chǎn)生已知概率分布的隨機變量。然后依據(jù)概率分布進行隨機抽樣模擬概率過程。

（3）建立估計量：實現(xiàn)模擬實驗后確定一個隨機變量，作為所要求的問題的解。蒙特卡羅方法通過構(gòu)造符合一定規(guī)則的隨機數(shù)來解決各種實際問題。對于那些由于計算過于復(fù)雜而難以得到解析解或者根本沒有解析解的問題，蒙特卡羅方法是一種有效的求出數(shù)值解的方法。

蒙特卡羅模擬方法的優(yōu)點是能夠比較逼真地描述具有隨機性質(zhì)的事物的特點及物理實驗過程。受幾何條件限制小。程序結(jié)構(gòu)簡單，易于實現(xiàn)。是中學(xué)生入門數(shù)學(xué)建模與實驗的不二選擇。

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