李文劼

摘 要：可控?zé)岷司圩兪墙鉀Q能源危機(jī)的終極方式，實現(xiàn)熱核聚變離不開對聚變等離子體物理特性的診斷。由于聚變等離子體高溫的特性，常規(guī)的直接診斷法通常難以實現(xiàn)。介紹一種利用法拉第旋光效應(yīng)來診斷等離子體內(nèi)部磁場大小的方法。從麥克斯韋方程組出發(fā)，給出了等離子體中法拉第效應(yīng)的定量表達(dá)式。利用推導(dǎo)出的結(jié)論，結(jié)合相關(guān)的實驗參數(shù)作出可行性分析。

關(guān)鍵詞：法拉第效應(yīng);等離子體;電磁波;偏振

中圖分類號：TB 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：Adoi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2019.11.104

1 背景介紹

法拉第效應(yīng)是一種神奇的磁光效應(yīng)，描述的介質(zhì)中電磁波與磁場的一種相互作用。當(dāng)一束線偏振的電磁波入射到介質(zhì)中時，與電磁波傳播方向平行的磁場分量會導(dǎo)致線偏振光的偏振面發(fā)生偏轉(zhuǎn)，而且偏轉(zhuǎn)的角度與平行磁場分量成正比。即：

β=VBd

其中β是旋轉(zhuǎn)角度，B是磁場沿著電磁波傳播方向的分量，V稱為維爾德系數(shù)，與介質(zhì)的材料本質(zhì)、波長、溫度有關(guān)。

這種效應(yīng)在光學(xué)、天體物理等方面有著十分重要的應(yīng)用。例如，利用法拉第效應(yīng)制作光隔離器，能夠減少光學(xué)器件的反射對激光的干擾，是激光器的不可或缺的組件。再者，在天體物理中，當(dāng)光波從光源傳播到地球的過程中，會經(jīng)過星際間的介質(zhì)。在星際介質(zhì)中傳播時，光波的偏振面由于法拉第效應(yīng)會發(fā)生偏轉(zhuǎn)。因此，給予星際間的電子密度，即可計算出偏轉(zhuǎn)角與磁場大小的系數(shù)，從而估算出磁場大小。地球的電離層同樣會導(dǎo)致法拉第效應(yīng)的產(chǎn)生，但是越是高頻（波長越短）的電磁波，其維爾德系數(shù)越小。因此，對于電視頻率（<500MHz）來說，穿過地球電離層會出現(xiàn)至少一個全旋轉(zhuǎn)（360度），所以對于電視信號來說，被電離層反射之后，其偏振是難以估計的;但對于高頻的衛(wèi)星信號所在的頻段（GHz），由于法拉第效應(yīng)帶來的偏振面偏轉(zhuǎn)能夠維持在容許誤差之內(nèi)。

等離子體是物質(zhì)的第四種狀態(tài)，其物質(zhì)特性與固體、液體和氣體有很大的不同。宇宙中可見物質(zhì)的99%都以等離子體的狀態(tài)存在。研究宇宙中等離子體的物質(zhì)特性是天體物理的一個重要分支，但自上世紀(jì)50年代以來，隨著氫彈的研制成功，人們一直希望能夠?qū)崿F(xiàn)可控的熱核聚變，來解決日益嚴(yán)峻的能源危機(jī)。我們知道，要想使原子核克服庫侖斥力聚合在一起，就必須施以極大的外力。也就是說，需要極高的溫度或極大的壓強(qiáng)。在熱核聚變中，有一個十分著名的勞森判據(jù)，對于氘氚反應(yīng)，在14keV的溫度下，電子密度n、溫度T和約束時間 τ應(yīng)滿足如下關(guān)系：

nTτ3×1021keV·s/m3

在如此高的溫度和密度下，氘和氚被電離，形成等離子體。因此等離子體物理在核聚變研究中有著無比重要的地位。無論是磁約束核聚變（例如國際合作的ITER裝置以及我國的EAST裝置）或是激光慣性約束聚變（例如我國的神光三裝置），都離不開對等離子體的性質(zhì)的研究。因此我們需要對等離子體的內(nèi)部性質(zhì)進(jìn)行診斷來獲得實驗數(shù)據(jù)，但問題在于，聚變等離子體的高溫高密高壓的性質(zhì)使得等離子體診斷十分困難。直接測量是不可能的，我們需要借助各種手段，通過間接的方式測量等離子體的性質(zhì)。

本文介紹一種利用法拉第效應(yīng)來測量等離子體性質(zhì)的方式，從麥克斯韋方程組出發(fā)，推導(dǎo)出等離子體中法拉第效應(yīng)公式，并對具體問題進(jìn)行一些討論。

2 理論模型

從麥克斯韋方程組出發(fā)，在等離子體中，我們有

考慮等離子體中外加一個恒定磁場B=B0e︿z ，e︿z為z方向的單位向量。電子的流體方程可簡化為：

現(xiàn)在討論電磁波的情況。如下圖所示，若電磁波的傳播方向平行于外磁場，即k//B0。根據(jù)假設(shè)，k、B0都是沿著z軸方向，由于電磁波是橫波，即k-E1=0，則E1在x-y平面內(nèi)。又由于B0使電子運動速度ue1有x、y方向的2個分量，即：

E1=（E1X，E1y，0）

ue1=（uX，uy，0）

左側(cè)為線偏振電磁波，沿外加磁場方向入射等離子體。

假設(shè)所有擾動量E1、B1、ue1、j1均有相同的傳播因子ei（kz-ωt）REF_Ref507236548＼r＼h[3]，那么可以將（4）、（6）線性化為下式：

-iωmeux=-eE1x-euyB0（8）

-iωmeuy=-eE1y+euxB0（9）

（ω2-k2c2）E1x=ieωn0ux/ε0（10）

（ω2-k2c2）E1y=ieωn0uy/ε0（11）

其中（8）、（9）是運動方程，（10）、（11）是場方程。由（10）、（11）解出ux、uy，代入（9）、（10），有

（ω2-k2c2-ωpe2）E1x+iωceω（ω2-k2c2）E1y=0（12）

iωceω（ω2-k2c2）E1x-（ω2-k2c2-ωpe2）E1y=0（13）

式中ωce=eB0me為電子在外磁場B0中的回旋頻率，ωpe=n0e2meε0為電子等離子體頻率。根據(jù)線性代數(shù)的知識，（12）、（13）若有非零解，其充要條件是其系數(shù)行列式等于0，即：

（ω2-k2c2-ωpe2）2=ωce2ω2ω2-k2c2）2（14）

有

ω2-k2c2-ωpe2=±ωceω（ω2-k2c2）（15）

所以

E1y=±iE1x（16）

E1=E1xex+E1yey=E0（ex±iey）ei（kz-ωt）（17）

又已知其為圓偏振波，“+”對應(yīng)右旋圓偏振波（R），“-”對應(yīng)左旋圓偏振波（L），則（14）為R波與L波的色散關(guān)系，整理得

kR（L）=ωc1-ωpe2ω2（1ωceω）（18）

下面考慮線偏振波以平行于外加磁場B0的方向入射等離子體，那么線偏振波可以分解為左旋和右旋圓偏振波的疊加，即：

E=EL+ER=E0ex（eikLz+eikRz）-iey（eikLz-eikRz）e-iωt（19）

則：

cotφ=ExEy=-i1+ei（kL-kR）z1-ei（kL-kR）z（20）

所以

φ=arccotExEy=（kL-kR）z2（21）

考慮ωωpeωce，由（18）有

kL-kR=ωc 1-ωpe2ω2（1+ωceω）-ωc 1-ωpe2ω2（1-ωceω）（22）

對（22）進(jìn)行泰勒展開，有

kL-kR=12ωc1-ωpe2ω2（1+ωceω）-1+ωpe2ω2（1-ωceω）=ωpe2ωcecω2（23）

則：

φ=（kL-kR）z2=12（ωpe2ωcecω2）z=（e3B0n02ε0cme2ω2）z（24）

其中，n0 為等離子體中電子密度，ω為入射電磁波的頻率。至此，等離子體中法拉第旋光效應(yīng)的理論推導(dǎo)完畢，（24）式為線偏振波以平行于外加磁場方向射入等離子體后其偏振面的偏轉(zhuǎn)角的方程。

3 可行性研究

以超強(qiáng)激光與氣體靶產(chǎn)生的等離子體為例， 激光與物質(zhì)相互作用會產(chǎn)生環(huán)狀的自生磁場。如下圖所示，超強(qiáng)短脈沖激光（紅色）與靶相互作用產(chǎn)生了環(huán)向的自生磁場，我們利用一束高頻的探針光（橙色）入射超強(qiáng)激光與靶相互作用的區(qū)域。由于自生磁場的作用，探針光的偏振面會發(fā)生偏轉(zhuǎn)。通過檢測這一偏轉(zhuǎn)角度，即可估算出自生磁場的大小。

激光與氣體相互作用中產(chǎn)生的等離子體的電子密度一般在0.01nc 左右，其中 nc為臨界電子密度（對于波長為 1μm 的激光，nc=1.1×1027m-3）。超強(qiáng)激光與氣體產(chǎn)生的等離子體尺度約為100μm。根據(jù)前文得到的公式，如果測量到的偏轉(zhuǎn)角度為1°，那么磁場的大小約為60T （0.6MG），這和以往的實驗結(jié)果（50～100T）在同一個數(shù)量級。因此，這種方案是切實可行的。

4 總結(jié)

法拉第效應(yīng)是磁致旋光效應(yīng)，由于磁場的存在，使得光的偏振面會發(fā)生偏轉(zhuǎn)，這一效應(yīng)在許多方面有著十分重要的應(yīng)用。由于聚變等離子體高溫高密的性質(zhì)，通常難以直接對等離子體進(jìn)行診斷，但是利用法拉第效應(yīng)，可以間接地通過測量偏振面轉(zhuǎn)過的角度來反推出等離子體中的磁場。本文從麥克斯韋方程組出發(fā)，詳細(xì)推導(dǎo)了等離子體中的法拉第效應(yīng)的相關(guān)公式，此結(jié)論可以應(yīng)用在等離子體磁場的測量中。通過和實驗參數(shù)比對，作者估計出超強(qiáng)激光與氣體靶相互作用產(chǎn)生的等離子體中的自生磁場的大小約為60T，這和前人得到的結(jié)果基本一致。除去測量磁場大小，此方法還可應(yīng)用在測量等離子體的電子密度，通過施加一個與探針光相同方向的外磁場，我們可以反推出等離子體的電子密度。

參考文獻(xiàn)

[1]Mancuso S，Spangler S R.Faraday rotation and models for the plasma structure of the solar corona[J].The Astrophysical Journal，2000，539（1）：480.

[2]Lawson J D.Some criteria for a power producing thermonuclear reactor[J].Proceedings of the Physical Society，Section B，1957，70（1）：6.

[3]馬騰才，胡希偉，陳銀華.等離子體物理原理[M].北京：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，1988.

[4]李玉同，張杰，江文勉.激光等離子體中自生磁場的診斷[J].物理，2000，29（04）.