黃山

摘 要：高中數(shù)學(xué)在初級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)著極其重要的位置，其中三角函數(shù)既是教學(xué)重點(diǎn)，同時(shí)也是教學(xué)難度，如何攻破三角函數(shù)這顆“硬釘子”就成為能否保證高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵所在。其實(shí)三角函數(shù)既簡(jiǎn)單又復(fù)雜，要使學(xué)生認(rèn)識(shí)到三角函數(shù)的圖像特點(diǎn)以及不同三角函數(shù)之間的變化關(guān)系，這樣才能使整個(gè)教學(xué)過(guò)程變得既輕松又有趣，而幾何畫板則是當(dāng)代高中數(shù)學(xué)教學(xué)中不可缺少的重要教學(xué)工具，合理使用幾何畫板可以使三角函數(shù)的教學(xué)變得生動(dòng)而高效。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);三角函數(shù);幾何畫板;教學(xué)方法;多媒體

幾何畫板是一種高效、形象的多媒體教學(xué)工具，通過(guò)幾何畫板教師可以更輕松、隨意、形象地畫幾何圖形，并且能夠進(jìn)行任意翻轉(zhuǎn)、平移、著色等一系列教學(xué)活動(dòng)。對(duì)于學(xué)生而言通過(guò)幾何畫板他們可以更形象、具體地感知圖形或圖像的特點(diǎn)、特性以及變化規(guī)律，他們可以與圖像進(jìn)行一次親密接觸，甚至可以自己動(dòng)手繪制、“制造”一個(gè)相關(guān)圖像。這樣的教學(xué)內(nèi)容不僅使課堂更“活”，也使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的積極性更高，使抽象的數(shù)學(xué)圖像變得有形象、有特點(diǎn)，使得教學(xué)過(guò)程變得有趣和豐富。

一、 善用幾何畫板，使三角函數(shù)變得形象

根據(jù)以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生普遍反映三角函數(shù)太抽象，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)等函數(shù)圖像的特點(diǎn)以及三角函數(shù)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系弄不清，對(duì)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性弄不明白。其實(shí)我們?cè)谪?zé)怪學(xué)生學(xué)不明白、學(xué)不透的同時(shí)，也應(yīng)該對(duì)自身的教學(xué)方法進(jìn)行反思。傳統(tǒng)的教學(xué)方式單單是給出學(xué)生一幅圖片，讓學(xué)生聯(lián)想三角函數(shù)之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系、轉(zhuǎn)化關(guān)系，這樣就使得教學(xué)課堂變“死”了。幾何畫板是一種先進(jìn)的教學(xué)工具，通過(guò)幾何畫板我們能夠使學(xué)生準(zhǔn)確地掌握理論知識(shí)與函數(shù)圖像的關(guān)系，使不同三角函數(shù)之間的變化關(guān)系更有規(guī)律，使它們之間的聯(lián)系更緊密。也能夠使得學(xué)生能夠?qū)θ呛瘮?shù)有一個(gè)動(dòng)態(tài)地、形象地接受過(guò)程和感官認(rèn)知。

針對(duì)這一問(wèn)題，我們是這樣設(shè)計(jì)三角函數(shù)的幾何畫板教學(xué)過(guò)程的。如在三角函數(shù)的教學(xué)的第一步——認(rèn)識(shí)三角函數(shù)時(shí)，我們首先要巧用幾何畫板為學(xué)生繪制三角函數(shù)圖形，這樣就可以使學(xué)生對(duì)三角函數(shù)圖像的形成過(guò)程以及三角函數(shù)的函數(shù)意義有了一個(gè)更確切地了解和認(rèn)知。如以正弦函數(shù)為例，繪制過(guò)程如：首先打開(kāi)幾何畫板，

1. 第一步，確定單位長(zhǎng)度，在畫板中任意標(biāo)出一點(diǎn)A，使點(diǎn)A向右平移1cm形成點(diǎn)B，連接AB。使用繪圖——定義單位長(zhǎng)度來(lái)自定義AB為單位長(zhǎng)度。

2. 第二步，在畫板中任意選取一點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，以1個(gè)AB長(zhǎng)為半徑，作圓。

3. 第三步，以圓心O為原點(diǎn)做平面坐標(biāo)系，繪制x軸和y軸，記x軸與圓相交的兩點(diǎn)分別為點(diǎn)E（正方向）和點(diǎn)E′，記y軸與圓相交的兩點(diǎn)分別為點(diǎn)F（正方向）和點(diǎn)F′。

4. 第四步，在圓上取一點(diǎn)M，連接點(diǎn)M和圓心O，要求OM在y軸正方向，且記OM與OF所成角度為角α。

5. 第五步，過(guò)點(diǎn)M做x軸的垂線，記垂足為點(diǎn)M′。用箭頭工具連接O、M′、M三點(diǎn)，方向?yàn)辄c(diǎn)O→點(diǎn)M′→點(diǎn)M。

6. 最后一步，我們?yōu)榱耸箤W(xué)生更清楚、準(zhǔn)確地了解到正弦函數(shù)的形成過(guò)程，我們配合Flash軟件，制作當(dāng)點(diǎn)M在圓上做順時(shí)針運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的（x，y）圖像關(guān)系，此時(shí)x代表點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡，y代表MM′的長(zhǎng)度。當(dāng)Flash動(dòng)畫演示時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M的函數(shù)圖像如同波浪的形狀一樣，學(xué)生都感覺(jué)到驚訝極了。最后我們讓學(xué)生利用三角形OM′M來(lái)證明為什么sinα所對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像可以利用M在圓上的運(yùn)動(dòng)軌跡來(lái)表示。之后學(xué)生開(kāi)始分組討論，并且利用余弦的定義推導(dǎo)出答案。之后我們向?qū)W生發(fā)問(wèn)：那余弦、正切函數(shù)又該如何表示？學(xué)生陷入沉思，之后課堂進(jìn)入第二階段。

二、 巧用幾何畫板，使數(shù)學(xué)課堂變得生動(dòng)

在利用幾何畫板成功地為三角函數(shù)“制作”出形象后，課堂教學(xué)的第二階段就應(yīng)該是使學(xué)生認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的圖像特性和變化規(guī)律了。對(duì)于這點(diǎn)幾何畫板同樣可以達(dá)到十分理想的教學(xué)效果。由上文已知，正弦函數(shù)的意義在于點(diǎn)M在圓上順時(shí)針的運(yùn)動(dòng)軌跡與MM′長(zhǎng)度的對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么由此可推余弦函數(shù)的意義在于點(diǎn)M在圓上順時(shí)針的運(yùn)動(dòng)軌跡與OM′長(zhǎng)度的對(duì)應(yīng)關(guān)系。這樣學(xué)生就能夠更直觀、清楚地了解到三角函數(shù)的實(shí)際意義和由來(lái)，能夠建立正弦函數(shù)與正弦定理的聯(lián)系、余弦函數(shù)與余弦定理的聯(lián)系。在教學(xué)中我們以正弦函數(shù)以及余弦函數(shù)的形成過(guò)程為入手點(diǎn)，首先使學(xué)生意識(shí)到三角函數(shù)不難，并漸漸地開(kāi)始接觸、認(rèn)識(shí)三角函數(shù)。之后我們利用幾何畫板將課堂深化。

如我們接下設(shè)計(jì)思考題：“老師已經(jīng)演示了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的形成過(guò)程，你們也能夠建立正弦定理和正弦函數(shù)的關(guān)系以及余弦定理和余弦函數(shù)的關(guān)系。那么接下來(lái)你們想一想該如何用幾何畫板繪制正切函數(shù)，并且找出正切函數(shù)關(guān)于‘圓動(dòng)的圖像？”之后我們將全班學(xué)生分成若干個(gè)組進(jìn)行討論。學(xué)生根據(jù)正弦函數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程，即：以角α為固定角，建立點(diǎn)M在圓上的運(yùn)動(dòng)軌跡與MM′長(zhǎng)度的對(duì)應(yīng)關(guān)系。在思考后，學(xué)生紛紛說(shuō)出自己的想法。學(xué)生發(fā)言總結(jié)：要想建立正切函數(shù)，我們首先就要找準(zhǔn)圓內(nèi)的正切關(guān)系，即角α對(duì)邊與角α鄰邊的比值。我們首先做OM的延長(zhǎng)線，在點(diǎn)E處做x軸的垂線，交OM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，用箭頭工具連接點(diǎn)E和點(diǎn)G，方向?yàn)橛牲c(diǎn)E到點(diǎn)G。這樣我們所求的函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系就出來(lái)了，即點(diǎn)E在圓上的運(yùn)動(dòng)軌跡與EG長(zhǎng)度的對(duì)應(yīng)關(guān)系。我們首先給予學(xué)生肯定和表?yè)P(yáng)。像這樣的教學(xué)過(guò)程不僅使教學(xué)難度得到適當(dāng)降低，而且使教學(xué)過(guò)程變得具有趣味性和探究性，使教學(xué)過(guò)程由淺入深，并且還能夠培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、自主探究學(xué)習(xí)能力，使學(xué)生在教學(xué)過(guò)程中的參與感增加，使課堂的互動(dòng)效果更好，最終達(dá)到使課堂活起來(lái)的目的。

這樣的教學(xué)過(guò)程也更易激發(fā)學(xué)生的自豪感和學(xué)習(xí)信心，使學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的概念、圖形特點(diǎn)、變化特點(diǎn)等有了更直觀地認(rèn)知和了解，使學(xué)生不僅知其然，而且知其所以然。之后我們趁熱打鐵，讓學(xué)生將“圓動(dòng)”圖像與函數(shù)圖像相互結(jié)合起來(lái)進(jìn)行分析，進(jìn)而得到三角函數(shù)的圖像特性和變化規(guī)律。以正弦函數(shù)為例，我們?yōu)閷W(xué)生設(shè)計(jì)思考題：若點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)四分之一個(gè)圓、二分之一個(gè)圓、四分之三個(gè)圓、整個(gè)圓，那么MM′的長(zhǎng)度會(huì)呈現(xiàn)出怎樣的變化規(guī)律？我們給學(xué)生5分鐘的思考時(shí)間，并不斷、緩慢地演示“圓動(dòng)”圖與三角函數(shù)形成圖互相轉(zhuǎn)化的Flash動(dòng)畫，并由此進(jìn)入到三角函數(shù)教學(xué)的第三個(gè)階段。