張清華

(新疆烏魯木齊市第十三中學(xué) 830002)

在學(xué)習(xí)了初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)“等腰三角形”這節(jié)后，安排了一節(jié)習(xí)題課，在上課后我給學(xué)生們出示了一道題，不曾想一石激起千層浪，課堂在這一道題后掀起一層層的波瀾，忍不住心里的激動(dòng)，動(dòng)筆記下了這道題的講解過(guò)程.題目如下：

已知：△ABC是等腰三角形，其底邊是BC，點(diǎn)D在線段AB上，E是直線BC上一點(diǎn)，且∠DEC=∠DCE，若∠A=60°,求證：EB=AD.

此題對(duì)于八年級(jí)的學(xué)生而言，才學(xué)完等腰三角形，知識(shí)的綜合能力還不是很強(qiáng)，尤其是添加輔助線更是比較困難的.所以此題出示后，我給學(xué)生提供了一定的思考時(shí)間，但沒(méi)有學(xué)生舉手.這時(shí)，我做了第一次的引導(dǎo)：“此題要證EB=AD，我們常規(guī)思路是證兩條線段所在的三角形全等，我想大家已經(jīng)得出它們所在的兩個(gè)三角形明顯不全等，那我們可否想辦法通過(guò)添加輔助線構(gòu)建新的全等呢？誰(shuí)有想法可以先說(shuō)說(shuō)，來(lái)拋磚引玉”.

在我的鼓勵(lì)下，學(xué)生1慢慢地舉起手，她怯怯地說(shuō)：“我有個(gè)想法，但是碰到了困難.”我說(shuō):“沒(méi)關(guān)系，你先說(shuō)說(shuō)自己的想法，看大家能否幫你解決.”于是，她上臺(tái)講了她的想法.

學(xué)生1：我在AC上截取AF=BE,連接BF,我想證△AFB和△ADC全等，從而得到AF=AD,已知∠E=∠1，AB=AC,還少一個(gè)條件，我找不到.

聽(tīng)她說(shuō)完，學(xué)生2馬上舉手.

學(xué)生2：這兩個(gè)三角形是找不到第三個(gè)條件的，除非作AD=AF,這樣就可以全等，但是即便全等了，ED不等于AB、AC，那么△AFB、△ADC和△EDB也絕對(duì)不全等，那就不可能得到AD=BE

顯然，學(xué)生2的分析很到位，學(xué)生們也很贊同，我予以了肯定，也肯定了學(xué)生1能想到構(gòu)建全等的思路.接著，我第二次啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生：“大家看到學(xué)生2她想到了截一段線段等于已知線段，來(lái)構(gòu)建全等三角形，但是她在構(gòu)建的時(shí)候卻忽略了題目中的ED=DC這組相等線段，我們知道相等的線段是構(gòu)建全等的最佳線索.那么，有沒(méi)有同學(xué)能受她的啟發(fā)有新的思路呢？”

環(huán)視全班，我看到學(xué)生3緩緩地舉起了手，似乎還在思索中，我讓她來(lái)講自己的想法.

學(xué)生3：過(guò)E作EF=AD,交AB的延長(zhǎng)線于F.

∵AB=AC,∠A=60°,∴∠ABC=∠ACB=60°.

∵∠ABC=∠DEB+∠2,∠ACB=∠1+∠DCE,

∵DE=DC,∴∠DEB=∠DCE,∴∠1=∠2.

∵DE=DC,EF=AD,得到△DFE≌△CAD.

她還沒(méi)說(shuō)得到全等時(shí)，已經(jīng)有同學(xué)在說(shuō)“邊邊角，錯(cuò)了”，其他同學(xué)也很快發(fā)現(xiàn)了錯(cuò)誤所在，她證全等用了“邊邊角”，學(xué)生3說(shuō)完后也頓悟到出錯(cuò)了，帶著遺憾走下了講臺(tái).我忙說(shuō)：“雖然她出錯(cuò)了，但是她構(gòu)建的全等已經(jīng)讓我們看到了希望.”接著我做了第三次啟發(fā)引導(dǎo)：“大家思考一下學(xué)生3出錯(cuò)的原因是什么？顯然她輔助線添加的條件不利于我們證得全等，我們可不可以改變一下輔助線添加的條件呢？”

我話音剛落，學(xué)生4高高地舉起手來(lái)，還不等我點(diǎn)他的名字，就已經(jīng)站起身了(大家笑了)

學(xué)生4：過(guò)D作DF=DA,交AC于F.

∵DA=DF，∠A=60°，∴△ADF是等邊三角形.

∴∠ADF=∠3=60°,∴∠4=120°.

∵△ABC是等腰三角形，∠A=60°.

∴△ABC是等邊三角形,∴∠5=∠ACB=60°.

∴∠6=120°,∴∠4=∠6.

∵∠1=∠2(前面已證)，ED=CD,

∴△DBE≌△CFD,∴DF=BE.

∵DF=DA,∴DF=BE

教室里響起了雷鳴般的掌聲，大家給學(xué)生4喝彩.我說(shuō)：“真棒！”這時(shí)我繼續(xù)啟發(fā)學(xué)生：“學(xué)生4的這條輔助線是截DF=DA，那么同學(xué)們看看DF這條輔助線還有何特點(diǎn)？”于是，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)了DF∥BC.這時(shí)，班里的氣氛一下子熱烈起來(lái)，學(xué)生們感慨此題輔助線的神奇.我給學(xué)生時(shí)間，讓他們通過(guò)添加平行線來(lái)完成此題，很快學(xué)生6上臺(tái)做了講解.

學(xué)生6：證明：作DF∥BC交AC于F，如圖所示.

∵△ABC是等腰三角形，∠A=60°.

∴△ABC是等邊三角形,∴∠5=∠ACB=60°，∠6=120°.

∵DF∥BC,∴∠ADF=∠5=60°，∠3=∠ACB=60°,

∴△ADF是等邊三角形，∠4=120°，AD=DF,∴∠4=∠6.

∵DF∥BC,∴∠FDC=∠DCE.

∵∠E=∠DCE,∴∠FDC=∠E.

∵ED=CD,∴△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF，∴EB=AD.

在學(xué)生6完成后，教室里沸騰了，氣氛異常的熱烈，在一片贊嘆議論聲中，看到如此好的探索氛圍，我馬上勉勵(lì)學(xué)生：“同學(xué)們，這道題在大家一步步的探索中得以解決，此刻，你們思考一下這道題解題的思路，看看能不能總結(jié)歸納出一種思路、一種方法？”我?guī)W(xué)生總結(jié)出此題輔助線的規(guī)律：

等腰三角形中，可以通過(guò)作相等的線段直接構(gòu)建等腰三角形，也可以通過(guò)作平行線得到等腰三角形.

看著學(xué)生們被燃起的熱情，我也抑制不住內(nèi)心的激動(dòng)，笑著說(shuō)：“同學(xué)們，記住這節(jié)課，記住構(gòu)建等腰三角形，記住添加平行線哦，以后它是幫你出奇制勝的法寶！”學(xué)生們笑了，鈴聲也響了，一堂精彩的課，笑聲還在沸騰……