鄧劭 岳曉蕊

摘 要：微分中值定理在數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究中具有重要的作用，是聯(lián)系函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的橋梁。文章主要討論了微分中值定理在不等式證明，單調(diào)性討論，根的存在性，以及利用中值定理證明函數(shù)一致連續(xù)性等9個(gè)方面的應(yīng)用，以提升對(duì)微分中值定理的理解。

關(guān)鍵詞：微分中值定理；構(gòu)造函數(shù)法；應(yīng)用

中圖分類號(hào)：O172 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2095-2945（2019）20-0184-03

Abstract： Differential mean value theorem plays an important role in the study of mathematical problems and is the bridge between function and derivative. This paper mainly discusses the application of differential mean value theorem in the proof of inequality， the discussion of monotonicity， the existence of root， and the proof of uniform continuity of function by using mean value theorem in order to improve the understanding of differential mean value theorem.

Keywords： differential mean value theorem； construction function method； application

引言

微分中值定理包括了羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理，其中每個(gè)定理之間環(huán)環(huán)相扣[1]，分別從宏觀和微觀的角度揭示了函數(shù)在區(qū)間里以及某一點(diǎn)上的關(guān)系，是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，具有巨大的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。

中值定理及其推廣和變換形式具體見(jiàn)參考文獻(xiàn)[2]，本文旨在總結(jié)微分中值定理在常見(jiàn)的幾個(gè)函數(shù)證明類問(wèn)題的應(yīng)用，不再?gòu)?fù)述定理具體內(nèi)容。通過(guò)含有中值點(diǎn)問(wèn)題，不等式和等式的證明，根的存在性，判斷級(jí)數(shù)收斂問(wèn)題，函數(shù)一致連續(xù)性，求極限和估值計(jì)算，以及函數(shù)單調(diào)性9個(gè)方面進(jìn)行對(duì)微分中值定理的應(yīng)用總結(jié)。其中主要利用構(gòu)造函數(shù)和構(gòu)造符合中值定理形式的方法巧妙的將微分中值定理應(yīng)用于證明之中，將某些不顯含中值定理形式的題目，通過(guò)區(qū)間條件和取值范圍來(lái)構(gòu)造特殊形式從而進(jìn)行推理證明。

1 微分中值定理的應(yīng)用

1.1 證明含有中值點(diǎn)的問(wèn)題

針對(duì)這類問(wèn)題主要在于利用對(duì)應(yīng)的微分中值定理找到符合題目要求的中值點(diǎn)，常用的中值定理主要是拉格朗日中值定理，以及利用構(gòu)造函數(shù)的方法來(lái)求解相關(guān)問(wèn)題[3]。

1.3 證明相關(guān)的等式

對(duì)于一些特定的等式，可以利用到微分中值定理去求解，特別是涉及到在某個(gè)區(qū)間導(dǎo)數(shù)與點(diǎn)的關(guān)系時(shí)，下面通過(guò)這個(gè)例題來(lái)進(jìn)一步了解。

1.4 證明根的存在性

除了常見(jiàn)的一元二次方程的根存在性問(wèn)題，還有一些有關(guān)復(fù)雜的方程的根的問(wèn)題，對(duì)于這些問(wèn)題，我們通常可以考慮用微分中值定理去進(jìn)行分析，通?？梢杂玫搅_爾中值定理去進(jìn)行判斷根的存在性，同時(shí)要注意函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性、可導(dǎo)性問(wèn)題[4]。

1.5 利用中值定理求函數(shù)的極限

對(duì)于一些求極限問(wèn)題，有些時(shí)候使用洛必達(dá)法則或者進(jìn)行形式的變換，難免存在計(jì)算過(guò)于復(fù)雜或者難以求解的情況，此時(shí)可以考慮通過(guò)中值定理去進(jìn)行構(gòu)造函數(shù)或者直接進(jìn)行分析求解，下面通過(guò)這個(gè)例題來(lái)了解一下。

1.6 利用中值定理證明函數(shù)一致連續(xù)

對(duì)于函數(shù)一致連續(xù)性的證明我們通常根據(jù)定義來(lái)進(jìn)行證明，尋找滿足條件的？啄，使得對(duì)？坌？著>0，|x1-x2|<？啄時(shí)，函數(shù)一致連續(xù)，其中在形式上與中值定理相似，所有的時(shí)候可以考慮使用中值定理去進(jìn)行證明，請(qǐng)看下面的例子。

1.8 證明級(jí)數(shù)收斂問(wèn)題

證明級(jí)數(shù)收斂問(wèn)題主要是通過(guò)收斂的判定條件去進(jìn)行證明，而在利用判定條件的過(guò)程中，我們可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)去進(jìn)行判斷，而其中就能用到拉格朗日中值定理，比如下面這道關(guān)于調(diào)和級(jí)數(shù)的證明。

利用拉格朗日中值定理可以較好的進(jìn)行判斷，但是過(guò)程中要確定拉格朗日中值定理使用的前提條件，在區(qū)間上連續(xù)，區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，再進(jìn)行判斷函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是否大于0，此外，連續(xù)函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)處無(wú)導(dǎo)數(shù)不影響函數(shù)的單調(diào)性[5]。

2 結(jié)束語(yǔ)

微分中值定理是微分學(xué)的理論基礎(chǔ)，它的應(yīng)用還有許多其他方面，以上只是例舉出了比較常見(jiàn)的應(yīng)用類型，通過(guò)對(duì)上述例題所對(duì)應(yīng)的微分中值定理的掌握，以及借助構(gòu)造函數(shù)的方法對(duì)中值定理加以運(yùn)用，可以明白微分中值定理在許多數(shù)學(xué)問(wèn)題中的重要性，能夠更好地加深其理解。

參考文獻(xiàn)：

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第四版上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2017.

[2]樊守芳.微積分中值定理若干問(wèn)題[M].哈爾濱：黑龍江大學(xué)出版社，2011.

[3]楊艷萍，明清河.數(shù)學(xué)分析中的重要定理[M].北京：電子工業(yè)出版社，2015.

[4]張?zhí)斓?，孫書(shū)榮.數(shù)學(xué)分析輔導(dǎo)以及習(xí)題精解[M].延吉：延邊大學(xué)出版社，2017.

[5]孫學(xué)敏.微分中值定理的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2009，28（10）：61-63.