摘?要：對分課堂核心是一半時間老師教，一半時間學(xué)生研。保留老師講授這一傳統(tǒng)教學(xué)的精華，保證了知識傳遞的系統(tǒng)性、準確性和有效性，但并不窮盡內(nèi)容，留給學(xué)生進一步主動探索的空間，引發(fā)學(xué)生主動對問題進行數(shù)學(xué)抽象性、數(shù)學(xué)建模和邏輯推理，培養(yǎng)學(xué)生理性的數(shù)學(xué)思維。

關(guān)鍵詞：對分課堂;核心素養(yǎng);理性思維

對分課堂模式的核心理念是把課堂的時間一半分給教師精講，另一半分給學(xué)生討論，使講授法與討論法兩者長短互補。這種新型教學(xué)模式理念深刻、簡明易用，變學(xué)生被動學(xué)習(xí)為主動學(xué)習(xí)，全面培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)精神、學(xué)會學(xué)習(xí)和實踐創(chuàng)新等核心素養(yǎng)。在高中數(shù)學(xué)課堂中逐步形成和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。

一、 對分課堂與傳統(tǒng)課堂的比較

筆者所在課題組在開展課堂教學(xué)中“學(xué)與教”方式的改革探索實踐中，借鑒目前國內(nèi)近十種教學(xué)改革模式，最終形成以“小組合作學(xué)習(xí)”為立足點，探索“先教后研，對分課堂”高效高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式。該模式分教師精講、自主學(xué)習(xí)、自主練習(xí)、小組合作學(xué)習(xí)、交流展示、共同提煉六個關(guān)鍵環(huán)節(jié)，其中“小組合作學(xué)習(xí)”過程是重點環(huán)節(jié)。對分課堂分“當(dāng)堂對分”和“隔堂對分”，其核心是一半時間老師教，一半時間學(xué)生研;有時可以把教授和研討的時間隔堂錯開，讓學(xué)生在課后有一段時間自主學(xué)習(xí)，加強對知識的理解記憶。在傳統(tǒng)課堂上，教師講授力求完整詳盡，學(xué)生沒有發(fā)揮余地，趨向被動接受。在高中數(shù)學(xué)對分課堂上，老師有引導(dǎo)，但并不窮盡內(nèi)容，留給學(xué)生進一步主動探索的空間，能夠引發(fā)學(xué)生主動對問題進行數(shù)學(xué)抽象性，根據(jù)自主學(xué)習(xí)進行數(shù)學(xué)建模和邏輯推理，有效培養(yǎng)學(xué)生理性的數(shù)學(xué)思維。對分課堂保留老師講授這一傳統(tǒng)教學(xué)的精華，保證了知識傳遞的系統(tǒng)性、準確性和有效性。對分課堂提高了學(xué)生的課堂參與度，教師化灌輸者為引導(dǎo)者角色。其實老師講得少，更要求教師講得精、控得穩(wěn)，因此教師地位和價值不但沒有削弱，反而得到進一步的提升，更能贏得學(xué)生的尊重。

二、 以“空間向量的基本定理課”為例

教師用PPT展示共線向量的概念、共線向量定理及其推論和共面向量定理：

如果兩個向量a，b不共線，p與向量a，b共面的充要條件是存在實數(shù)x，y使p=xa+yb

證明：（必要性）設(shè)向量a，b不共線，p與向量a，b共面，根據(jù)平面向量的基本定理，一定存在實數(shù)x，y使p=xa+yb。（充分性）設(shè)存在實數(shù)x，y使p=xa+yb。取空間任意一點M，作MA=a，MB=b，MA′=xa，A′P=yb，則MP=xa+yb=p，于是點P在平面MAB內(nèi)，向量p∥平面MAB。即p與向量a，b共面。

推論：空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x，y，使MP=xMA+yMB?①或?qū)臻g任一點O，有OP=OM+xMA+yMB或OP=xOA+yOB+zOM，（x+y+z=1）

上面①式叫做平面MAB的向量表達式。

教師講授時從學(xué)生認知出發(fā)，通過學(xué)生已學(xué)的知識，抽象出研究對象，理解揭示數(shù)學(xué)中的本質(zhì)。兩個向量共線，其中一個向量能用另一個向量表示且表示形式唯一。那么，平面任一向量能用兩個不共線的向量表示，且當(dāng)不共線向量確定時，表達形式唯一。那么空間向量可以由幾個向量表示，表達形式唯一嗎？

為了能讓學(xué)生用科學(xué)方法探索規(guī)律，教師在講授過程中要讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)研究對象的抽象和嚴謹?shù)倪壿嬐评碚撟C的過程。這樣不僅可以提升學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)，而且在這類型問題上找到了知識積累、知識遷移和知識創(chuàng)新的方法;為學(xué)生自主學(xué)習(xí)指明了方向。

學(xué)生基本能夠類比共線向量和平面向量的基本定理的思想對表達空間任一向量做出猜想：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p=xa+yb+zc。學(xué)生通過小組合作學(xué)習(xí)、討論和交流展示綜合得出如下結(jié)論：

（存在性）設(shè)a，b，c不共面，

過點O作OA=a，OB=b，OC=c，OP=p;

過點P作直線PP′平行于OC，交平面OAB于點P′;

在平面OAB內(nèi)，過P′作直線P′A′∥OB，P′B′∥OA，分別與直線OA，OB相交于點A′，B′，于是，存在三個實數(shù)x，y，z，使OA′=xOA=xa，OB′=yOB=yb，OC′=zOC=zc，

∴OP=OA′+OB′+OC′=xOA+yOB+zOC

所以p=xa+yb+zc

（唯一性）假設(shè)還存在x′，y′，z′使p=x′a+y′b+z′c

∴xa+yb+zc=x′a+y′b+z′c

∴（x-x′）a+（y-y′）b+（z-z′）c=0

不妨設(shè)x≠x′即x-x′≠0，∴a=y-y′x′-x·b+z-z′x′-x·c

∴a，b，c共面此與已知矛盾。由此定理，空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底。

值得一提的是，對分課堂模式給學(xué)生充分時間思考。學(xué)生在探求新知時，儲備了大量的結(jié)論和疑問，學(xué)生參與課堂討論、展示成果的熱情高漲，在智慧與智慧的碰撞下會得到許多精彩的結(jié)論。比如：

討論出空間向量的定理推論：設(shè)O，A，B，C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x，y，z，使OP=xOA+yOB+zOC。

探究出多維空間向量表達的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)：二維空間里，任一個向量可以被不共一維空間的兩個向量表達;三維空間里，任一個向量可以被不共二維空間的三個向量表達;同理可推導(dǎo)，N維空間里，任一個向量可以被不共N-1維空間的N個向量表達。且表達形式唯一。

三、 結(jié)語

對分課堂教學(xué)模式輸入—內(nèi)化—輸出的學(xué)習(xí)過程與數(shù)學(xué)知識認知理解—知識遷移—實踐創(chuàng)新的生成發(fā)展過程是高度一致的。由教師提問過渡到學(xué)生自主提問，顯得更為尊重學(xué)生。從學(xué)習(xí)效果看，對分模式的討論是延時討論，無論是在隔堂對分還是當(dāng)堂對分中，學(xué)生都有充分的準備和內(nèi)化吸收的時間。這樣可以加深學(xué)生對知識的理解和掌握，提高溝通交流能力，培養(yǎng)科學(xué)理性思維，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，最終促進學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)提升。

作者簡介：

唐震，福建省三明市，三明市第九中學(xué)。