鐘城偉

【摘要】根據(jù)開普勒第一定律，萬(wàn)有引力情況下行星運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓，恒星在橢圓的焦點(diǎn)上。在胡克力的情形下，我們很容易得到運(yùn)動(dòng)軌跡也是橢圓。本文就這一現(xiàn)象，在理論上探討了胡克力和萬(wàn)有引力的聯(lián)系。通過引入的一個(gè)軌跡間的變換將胡克力運(yùn)動(dòng)方程與萬(wàn)有引力運(yùn)動(dòng)方程聯(lián)系起來(lái)，由此可以通過胡克力運(yùn)動(dòng)方程的解得到萬(wàn)有引力運(yùn)動(dòng)方程的解，并通過所得萬(wàn)有引力的解證明了開普勒第一定律和第三定律。

【關(guān)鍵詞】胡克力 ?萬(wàn)有引力 ?橢圓軌跡 ?運(yùn)動(dòng)方程 ?變換

【中圖分類號(hào)】G63 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2019）13-0151-02

一、引言

中學(xué)階段，我們學(xué)習(xí)了萬(wàn)有引力及行星運(yùn)動(dòng)的相關(guān)知識(shí)，尤其是開普勒三定律[1]的結(jié)果僅僅把結(jié)論呈現(xiàn)出來(lái)，但是為什么萬(wàn)有引力情形下的運(yùn)動(dòng)滿足開普勒三定律卻沒有涉及。想要回答這個(gè)問題，我們需要寫出其運(yùn)動(dòng)方程并求解，但是直接的求解比較困難，在本文中，我們發(fā)現(xiàn)，胡克力的運(yùn)動(dòng)軌跡也為橢圓且非常容易得到其運(yùn)動(dòng)軌跡的數(shù)學(xué)表達(dá)式。這為求解提供了一個(gè)思路，能否將胡克力和萬(wàn)有引力聯(lián)系起來(lái)，通過某種變換將胡克力運(yùn)動(dòng)方程的解變?yōu)槿f(wàn)有引力運(yùn)動(dòng)方程的解。正所謂“他山之石，可以攻玉”，我們?cè)诒疚闹写_實(shí)利用一個(gè)變換由胡克橢圓運(yùn)動(dòng)方程得到萬(wàn)有引力運(yùn)動(dòng)方程，并由此得到萬(wàn)有引力運(yùn)動(dòng)方程的解，從而證明了開普勒第一和第三定律。

二、運(yùn)動(dòng)方程的復(fù)數(shù)形式

萬(wàn)有引力（反比于距離的平方）的運(yùn)動(dòng)方程如下：

m■=-■

其中G為萬(wàn)有引力常數(shù)，M為恒星質(zhì)量，m為行星質(zhì)量。這屬于有心力場(chǎng)下的運(yùn)動(dòng)，因此運(yùn)動(dòng)軌跡在一個(gè)平面內(nèi)，設(shè)此平面為xy平面，運(yùn)動(dòng)方程為：

m■=-■，m■=-■

在此平面上引入復(fù)數(shù)坐標(biāo)z=x+iy，可改寫運(yùn)動(dòng)方程為：

m■=-■

同理對(duì)于胡克力（正比于距離）的運(yùn)動(dòng)方程m■=-kr（？子表示時(shí)間）可以通過引入uv平面和復(fù)數(shù)坐標(biāo)w=u+iv改寫為（這里使用不同的記號(hào)避免混淆）：

m■=-kw

三、兩個(gè)方程間的聯(lián)系

1.變換的數(shù)學(xué)表達(dá)式

在復(fù)平面上，設(shè)萬(wàn)有引力方程m■=-■的關(guān)于時(shí)間t的解為z（t），胡克力方程m■=-kw關(guān)于時(shí)間？子的解為w（？子）。我們的目標(biāo)是找到一個(gè)變換，z=z（w）和？子=？子（t）使得，若w（？子）滿足m■=-kw，則z（w（？子（t）））滿足m■=-■。結(jié)果表明變換z=z（w）和？子=？子（t）為z=■和 ■=■（其中r0是具有長(zhǎng)度量綱的常數(shù)），接下來(lái)我們證明該變換符合我們的目標(biāo)，也即變換是有效的。

2.變換有效性的證明

在該變換下，z對(duì)時(shí)間t的一次導(dǎo)數(shù)■為：

■=■■（w2）=■2w■■=■2w■■

=r0■■

二次導(dǎo)數(shù)■為：

■=r0■■■=r0■■■■

=■■■■+■■■

=■■-■■+■-■w

在胡克力運(yùn)動(dòng)方程下，總能量E守恒，E由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能和彈簧勢(shì)能組成

E=■m■■+■■+■ku■+v■

=■m■■+■kw■

所以■■=■，代入到二次導(dǎo)數(shù)■的表達(dá)式中可得：

■=■-■■+■-■w

=-r■■■■=-r■■■■

因此令4r0E=GMm，即可得到萬(wàn)有引力運(yùn)動(dòng)方程m=■=-■。

3.變換的進(jìn)一步說(shuō)明

當(dāng)我們求解出來(lái)胡克力運(yùn)動(dòng)方程m■=-kw的解w（？子）時(shí)，我們可以通過引入變換z=■和■=■，并選取合適能量E=■的胡克力運(yùn)動(dòng)軌跡w（？子），使得變換后的z（t）=z（w（？子（t）））滿足萬(wàn)有引力運(yùn)動(dòng)方程m■=-■。

四、變換的應(yīng)用

1.變換前后的運(yùn)動(dòng)軌跡

可以很容易驗(yàn)證w（？子）=u+iv=A1cos ？棕？子+iA2sin ？棕？子是胡克力運(yùn)動(dòng)方程的解，其中？棕=■，這個(gè)軌跡顯然是橢圓■+■=1。我們來(lái)看一下變換之后的運(yùn)動(dòng)軌跡z（t）。可設(shè)A1>A2>0，改寫w為w=r0re■+■e■，其中r0=■■，r=■。r0具有長(zhǎng)度量綱，符合變換的要求。此時(shí)Z=■=r0r■e■+■e■+2，因此

x=r■r■+■cos2？棕？子+2r0，y=r0r■-■sin2？棕？子

x，y滿足■+■=1這也是一個(gè)橢圓，而且原點(diǎn)位置在橢圓的焦點(diǎn)上。

按照變換■=■，我們求得■=■=r2+■+2cos2？棕？子，所以t=r■+■？子+■sin2？棕？子

以上x（？子），y（？子），t（？子）給出了萬(wàn)有引力運(yùn)動(dòng)的解。

2.開普勒第一定律和第三定律的證明

我們證明了x，y滿足■+■=1因此萬(wàn)有引力運(yùn)動(dòng)軌跡可以是橢圓，且在寫萬(wàn)有引力運(yùn)動(dòng)方程時(shí)，我們認(rèn)為恒星位于原點(diǎn)處，該橢圓的焦點(diǎn)也在原點(diǎn)處，因此我們證明了開普勒第一定律，也即行星的運(yùn)動(dòng)軌跡是橢圓，恒星在橢圓的焦點(diǎn)上。

再者，按照上述結(jié)果，橢圓運(yùn)動(dòng)的長(zhǎng)軸為a=r■r■+■，質(zhì)點(diǎn)位置z在？子=0→■完成一個(gè)周期，對(duì)應(yīng)t的周期為T=r■+■■+0=r■+■■。我們知道胡克力下的運(yùn)動(dòng)w（？子）=u+iv=A1cos？棕？子+iA2sin？棕？子對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)能量E=■kA■■+A■■■=m ？棕■r■■■+r■，變換要求■=E=m ？棕■r■■■+r■，這個(gè)要求實(shí)際上意味著■=■=■=■

這就是開普勒第三定律。

五、結(jié)語(yǔ)

本文主要給出了胡克力與萬(wàn)有引力軌跡使用復(fù)數(shù)表示時(shí)的一個(gè)變換，將兩個(gè)方程聯(lián)系了起來(lái)，從而通過胡克力運(yùn)動(dòng)方程的橢圓解得到了萬(wàn)有引力運(yùn)動(dòng)方程的橢圓解（和極坐標(biāo)系的結(jié)果[1]一致），并給出開普勒第一和第三定律證明。這一方法可以嘗試推廣到其它有心力之間的聯(lián)系變換。

參考文獻(xiàn)：

[1]舒幼生.力學(xué)[M].北京大學(xué)出版社，2005，09：128-139.