鄭勇林

摘 要 本文旨在研究新課標高中教材三角函數(shù)有關知識的應試心理以及通過實例剖析學生在解決三角函數(shù)相關問題時存在的問題，并做出相應教學建議。

關鍵詞 三角函數(shù) 性質 變換 最值

中圖分類號：G634.6 文獻標識碼：A

三角函數(shù)是高中數(shù)學的重點，在高考題中是較容易得分的考點，也是學生學習的一個難點，不僅公式多且在三角函數(shù)的變形過程中有一定的技巧性，如何發(fā)掘、靈活正確地運用這些技巧？本文分三個角度進行應試剖析并給出粗淺教學建議。

1基本概念公式牢固掌握

三角函數(shù)涉及知識點龐雜眾多，那么要想真正領會其中的技巧，就要掌握實質，在教學中重視基礎，避免偏題難題怪題，針對高考教學，有的放矢。

近幾年高考，三角函數(shù)主要以簡單的選擇題和解答題形式出現(xiàn)，其中選擇題主要考察三角函數(shù)的簡易求值以及判斷簡單三角函數(shù)的周期和奇偶性，解答題主要考察三角函數(shù)與解三角形、三角函數(shù)與向量結合的綜合應用。主要考察內容按綜合難度分，有以下幾個層次：

（1）通過誘導公式和倍角公式的簡單運用，解決有關三角函數(shù)基本性質的問題。如判斷符號、求值、求周期、判斷奇偶性等。

（2）三角函數(shù)公式變形中的某些常用技巧的運用。如輔助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。

（3）充分利用三角函數(shù)作為一種特殊函數(shù)的圖象及周期性、奇偶性、單調性、有界性等特殊性質，解決較復雜的函數(shù)問題。如分段函數(shù)值，求復合函數(shù)值域等。

例1.已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a=2，cosB=.

（1）若b=4，求sinA的值；

（2）若△ABC的面積S△ABC=4，求b，c的值。

點評：以上兩題主要考查同角三角函數(shù)公式，兩角差的正弦，正弦定理、余弦定理等內容，綜合考查了三角函數(shù)的知識。這是一道典型的三角形三角函數(shù)問題，那么解決此題先將其劃分知識點：

（1）三角形△ABC內角A，B，C，馬上想到知識點：角的變換；

（2）三角形△ABC內邊分別為a，b，c，：邊的變換。

2三角函數(shù)中的基本性質

（1）求定義域：實際上就是解最簡單的三角不等式（組），一般可用三角函數(shù)圖像或三角函數(shù)線來確定三角不等式的解。

（2）求值域（最值）

思路：通過三角變換化歸為下列基本類型處理：

類型一：可化為y=Asin（ x+ ）+B型（常用二倍角公式、兩角和與差公式或引入輔助角）。

類型二：y=asin2x+bsinx+c型，通過換元令t=sinx，化為二次函數(shù)y=at2+bt+c在閉區(qū)間上的值域（最值）問題。（注意t的取值范圍）。

（3）單調性、周期、對稱軸及對稱中心

關鍵：記住三角函數(shù)的圖像，根據(jù)圖象并結合整體代入的基本思想即可。

（4）平移后函數(shù)性質問題，講解時要重點強調平移的要領，比如y=sin（2 +）的兩種由y=sin 平移得到圖像的方法的差異，教師要著重講解并且強調“沿著x軸平移伸縮，那么平移伸縮的量只針對x變化”。

例2.已知函數(shù)f（x）=2sin2（+x） cos2x，x∈[，]，求f（x）的最值；

分析：本題是一道規(guī)范的三角函數(shù)化簡求解基本性質題，解此類題目應正確引導及區(qū)分本題若更改成已知函數(shù)“f（x）=2sin2（+x） cos2x”時兩者解答的不同之處。前者限定函數(shù)的定義域為非R，而后者為R，顯然后者較簡單。

3易錯實例

上面談及了當熟練掌握了三角函數(shù)基本知識以后便會形成相應的解題技巧，這種技巧在一定程度上縮減了解題的思考時間，對于高考和平時的做題也在某種程度上是有利的，當然也不排除有弊之處。下面為解題技巧下的易錯實例：

例3.要得到函數(shù)y=cos2x的圖像，只需要將函數(shù)y=-sin2x的圖像向 移 單位

錯解：（1）∵y=-sin2x=sin（-2x），y=cos2x=sin（-2x+），向左平移個單位。

（2）∵y=-sin2x=sin（-2x），y=cos2x=sin（-2x+）=sin[2（-x+）]，所以向左平移個單位。

剖析：上面兩種解法，都只注意到了“+”號，而忽略了“-”號的含義，雖然解法2考慮了的系數(shù)，但仍然沒有理解“-”對函數(shù)變換的影響，從而產生錯解。

正解：∵y=-sin2x=sin（-2x），y=cos2x=sin（-2x+）=sin[-2（x ）]，所以向右平移個單位。

點評：克服思維定勢帶來的負遷移，幫助學生構建全面、準確的思維模式是提升學生學習能力的重要步驟，注意對知識的理解與應用。

三角函數(shù)是高中數(shù)學的基礎，它可以與多重知識點相結合，如：函數(shù)圖像與其它函數(shù)問題結合，平面向量問題，數(shù)列問題……，那么，如何解決難度較高，綜合性較強的問題關鍵在于對于三角函數(shù)基礎的掌握。

參考文獻

[1] 人民教育出版社.普通高中數(shù)學課程標準實驗教科書數(shù)學4（必修）[M].北京：人民教育出版社，2007（2）.

[2] 馮忠良，等.教育心理學[M].北京：人民教育出版社，2010.