李廣玉 陸啟義

【摘要】基于一堂數(shù)學(xué)期望課，從概念來源，到離散型數(shù)學(xué)期望概念給出，到離散型數(shù)學(xué)期望應(yīng)用等，從不同角度觀察思考數(shù)學(xué)期望課契入的課程思政。希望相關(guān)知識(shí)角度可以借鑒，以期更好的發(fā)揮課程思政的重要作用，對(duì)延伸至課外的課程思政進(jìn)行展望。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)期望 ?課程思政 ?投資決策

【基金項(xiàng)目】太湖學(xué)院課題，課題名稱：大思政格局下從思政課程到課程思政建構(gòu)的路徑研究，課題編號(hào)：JGYJ2018015。

【中圖分類號(hào)】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2019）13-0114-02

1.引言

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》是所有工科、經(jīng)濟(jì)管理專業(yè)的主干基礎(chǔ)課，每年有大量學(xué)生參加該門課程的學(xué)習(xí)。以往的教學(xué)方法、教學(xué)內(nèi)容和手段通常比較傳統(tǒng)，非常注重理論知識(shí)的學(xué)習(xí)，忽視學(xué)生應(yīng)用概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，以及課程本身所帶來的課程思政方面的思考。課程思政更加強(qiáng)調(diào)要充分發(fā)揮課堂教學(xué)在育人中主渠道作用，著力將思想政治教育貫穿于學(xué)校教育教學(xué)的全過程，深入發(fā)掘各類課程的思想政治理論教育資源，發(fā)揮所有課程育人功能，落實(shí)所有教師育人職責(zé)。接下來介紹由一堂數(shù)學(xué)期望課展現(xiàn)的課程思政。

2.數(shù)學(xué)期望的來源

梅累是一個(gè)貴族，嗜賭如命！一次他和賭友擲骰子，兩人賭技相同，因?yàn)檫@樣才公平，誰都會(huì)選擇與自己水平相當(dāng)?shù)娜擞螒?，沒有人會(huì)明知道不行還參與。他們用32枚金幣做賭注，約定：如果梅累先擲出三次“6點(diǎn)”，或賭友先擲出三次“4點(diǎn)”， 就算贏了對(duì)方。兩個(gè)人賭了一陣兒，梅累已經(jīng)擲出了兩次“6點(diǎn)”，賭友也擲出了一次“4點(diǎn)”。賭局被迫中斷了，據(jù)說是國(guó)王要召見梅累，那么他們倆該如何分配這64枚幣金呢？

分析：這個(gè)賭博游戲是需要一點(diǎn)時(shí)間的，教師通過實(shí)地演示擲骰子說明有的時(shí)候能擲出4點(diǎn)或6點(diǎn)，有的時(shí)候擲出其他點(diǎn)數(shù)，確實(shí)需要些時(shí)間，不能馬上定出結(jié)論。這樣的處理方式一方面具有代入感，讓同學(xué)設(shè)身處地去感受，一方面給同學(xué)思考時(shí)間。然后再次詢問學(xué)生：你覺得該如何分配賭資？已經(jīng)有同學(xué)給出答案了。通常最容易想出以下兩種分法：（1）梅累得32枚金幣，賭友得32枚金幣，也就是按1：1分配全部賭資64枚金幣。這種分法考慮到兩人賭技相同，就平均分配，沒有照顧到梅累已經(jīng)比賭友多贏1局這一現(xiàn)實(shí)，顯然對(duì)梅累是不公平的。（2）梅累與賭友按2：1分配賭資。這種分法不但照顧到“A、B兩人賭技相同”這一前提，還尊重了已經(jīng)進(jìn)行的三局比賽結(jié)果，當(dāng)然更公平一些。但是，第2種分法還是沒有考慮到如果繼續(xù)比賽下去的話會(huì)出現(xiàn)什么情形，即沒有照顧到兩人在現(xiàn)有基礎(chǔ)上對(duì)比賽結(jié)果的一種期待。還是有失公平的。期間同學(xué)可能還有其他提法，比如將賭資都給梅累，但是這種分法對(duì)于賭友來說也不公平，因?yàn)闀r(shí)間允許的話，繼續(xù)賭下去，若是運(yùn)氣好連贏兩局，賭友還有機(jī)會(huì)能得到全部的賭資。所以不管其他何種分發(fā)，注意提醒學(xué)生是在平等的基礎(chǔ)上兼顧公平公正的原則，得到的滿意結(jié)論嗎？由此契入課程思政，平等、公正原則也是黨的十八大提出的社會(huì)主義核心價(jià)值觀的基本內(nèi)容，同學(xué)們不管做什么事情，做什么決定都要記得公平，公正的原則，這種價(jià)值觀有史以來一直是人類社會(huì)應(yīng)該遵循的基本原則。歷史上，梅累就以“應(yīng)如何分賭本”為題求教于帕斯卡，帕斯卡與費(fèi)馬通信討論這一問題，于1654年共同建立了概率論的第一個(gè)基本概念——數(shù)學(xué)期望。分賭本問題的解決就需要用數(shù)學(xué)期望的概念，稍后我們將分賭本問題簡(jiǎn)化后給出結(jié)論。為了更好的理解數(shù)學(xué)期望的概念，先請(qǐng)同學(xué)們來看一個(gè)引例。

3.離散型數(shù)學(xué)期望概念的獲得

引例：有人賭嗎？假設(shè)我們來玩一個(gè)游戲：如果有13張牌，其中有一張是A;現(xiàn)在我來坐莊，一塊錢賭一把，如果誰抽中了A，我賠他10塊錢，如果沒有抽中，那么他那一塊錢就輸給我了。同樣可以用撲克牌做道具，同時(shí)敘述，一塊的賭資，十倍的返還，誘惑力不小，詢問同學(xué)：有人賭嗎？會(huì)有人參加，有人不參加，有人還沒想好。

分析：積極參與的人一定是關(guān)注到了十倍返還，高回報(bào)。不參加的人一定是發(fā)現(xiàn)了在抽之前，誰也不知道能抽到什么，但是可以判斷抽到A的可能性要小得多，13張牌中才有一張，換句話說概率是十三分之一，而抽不中A的概率是十三分之十二，十倍返還是高回報(bào)，同時(shí)也是高風(fēng)險(xiǎn)。當(dāng)然如果你只玩一把，只有兩種可能：抽中了贏10塊錢，沒抽中輸一塊錢。輸?shù)舻目赡苄允勤A的12倍，還是不要參加了。但是，如果你玩上幾百幾千甚至更多把呢？有的抽中，有的抽不中，幾千幾百把的總結(jié)果是什么樣的呢？再或者我按11倍、12倍返還，你還要不要參加？

概率是一個(gè)對(duì)未發(fā)生的事情會(huì)不會(huì)發(fā)生的可能性的一種預(yù)測(cè)，而上面的引例可以理解成某件事情大量發(fā)生之后的平均結(jié)果。這就是概率上的一個(gè)概念，叫作數(shù)學(xué)期望。數(shù)學(xué)期望用字母E表示，它是Expectation的首字母，揭示期望的本質(zhì)含義，是未發(fā)生的隨機(jī)事件的以概率為權(quán)的加權(quán)平均。現(xiàn)在我們來看上面的那個(gè)例子，抽中的概率是1/13，結(jié)果是贏10塊錢（+10），抽不中的概率是12/13結(jié)果是輸1塊錢（-1）。把概率與各自的結(jié)果乘起來，然后相加，得到的“數(shù)學(xué)期望”值是（-2/13）。這就是說，如果你玩了很多很多把，平均下來，你每把會(huì)輸?shù)簦?/13）塊錢。如果抽中A賠12塊錢，那么數(shù)學(xué)期望值是0，你玩了很多把之后會(huì)發(fā)現(xiàn)結(jié)果最接近不輸不贏。如果抽中A賠13塊錢，那么數(shù)學(xué)期望值是1/13，對(duì)你有利，大量玩的結(jié)果是你會(huì)贏錢，我當(dāng)然不會(huì)這么設(shè)賭局。數(shù)學(xué)期望是理性決策的基礎(chǔ)。我們做任何一個(gè)決定，都不能只考慮最理想的結(jié)果，不能只想到十倍返還，還要考慮到理想結(jié)果出現(xiàn)的概率和其他結(jié)果及其出現(xiàn)的概率，也就是還要想到輸?shù)?元的概率12/13。否則，如果只考慮最理想的結(jié)果，大家都應(yīng)該從大學(xué)里退學(xué)——從大學(xué)退學(xué)的最理想結(jié)果是成為世界首富，那個(gè)叫比爾蓋茨的家伙。由此契入課程思政，勸誡同學(xué)們凡事要腳踏實(shí)地，經(jīng)得起誘惑，不能輕信盲從，無論看起來多么誘人。無論是賭場(chǎng)還是彩票，幸運(yùn)兒的產(chǎn)生必定伴隨著大量獻(xiàn)愛心的人，賭場(chǎng)和彩票生意興隆的基礎(chǔ)，是每個(gè)人都認(rèn)為自己會(huì)是那個(gè)幸運(yùn)兒。

4.離散型數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用

例1.（簡(jiǎn)化的分賭本問題）甲、乙兩人賭技相同。各出賭金100元，并約定先勝三局者為勝，取得全部200元。由于出現(xiàn)意外情況，在甲勝2局、乙勝1局時(shí)，不得不終止賭博，如果要分賭金，該如何分配才算公平？解答：現(xiàn)在我們可以很簡(jiǎn)單的回答分賭本問題了，在賭技相同的情況下，應(yīng)用概率的知識(shí)可知甲，乙最終獲勝的可能性大小之比為3：1。因此，甲能“期望”得到的數(shù)目應(yīng)為200的3/4等于150元，而乙能“期望”得到的數(shù)目，則為200的1/4等于50元，這種分法自然更為合理，使雙方都樂于接受。從本例中可看出期望值也許與每一個(gè)結(jié)果都不相等。

例2.假設(shè)有一投資項(xiàng)目，若投資10萬元現(xiàn)金，為期一年，預(yù)估成功的機(jī)會(huì)為30%，可得利潤(rùn)8萬元，失敗的機(jī)會(huì)為70%，將損失2萬元。若存入銀行，同期間的利率為5%，問是否作此項(xiàng)投資？解答：如果你只有10萬元，不要投資，因?yàn)槭C(jī)會(huì)是成功機(jī)會(huì)的兩倍多。如果你有很多個(gè)10萬元可以用于投資，大數(shù)次重復(fù)的情況下，平均一次投資的利潤(rùn)為8*0.3+（-2）*0.7=1萬元，存入銀行的利息：10*0.05=0.5萬元，相比較而言，以投資的效益較大化為目標(biāo)建議選擇投資。其實(shí)，到底如何決策還與決策者的性格取向有關(guān)，有的人是風(fēng)險(xiǎn)型樂觀決策者，有的人是保守型悲觀決策者。由此契入課程思政，同學(xué)們要學(xué)會(huì)理性投資。新時(shí)代背景下，投資、保險(xiǎn)、校園貸等等五花八門，要理性，不要想著一夜暴富。彩票之所以叫福利彩票，因?yàn)槟阗I彩票能中獎(jiǎng)是小概率事件，所以你的投入更多的是用來做慈善，而不是回報(bào)你。數(shù)學(xué)期望起源于并不光彩的賭博行業(yè)，但是它的應(yīng)用很廣泛。數(shù)學(xué)從來都是練會(huì)的，不是聽會(huì)的，因此下面做一個(gè)練習(xí)題：

練習(xí).選拔運(yùn)動(dòng)員。設(shè)某教練員有甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員，現(xiàn)需要選拔其中的一名參加運(yùn)動(dòng)會(huì)， 根據(jù)過去的記錄顯示， 二人的技術(shù)水平如下：甲射手擊中8、9、10環(huán)的概率分別為0.3，0.1，0.6。乙射手擊中8、9、10環(huán)的概率分別為0.2，0.5，0.3。試問哪個(gè)射手技術(shù)較好？ 解答：運(yùn)員的水平是通過其平均水平來衡量的，因而甲、乙兩射手的平均水平分別為：甲8*0.3+9*0.1+10*0.6=9.3環(huán)。乙8*0.2+9*0.5+10*0.3=9.1環(huán)。故甲射手的技術(shù)比較好。此例說明，分布函數(shù)雖然能全面地刻劃隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，是隨機(jī)變量概率性質(zhì)最完整的刻劃，但是卻使人不得要領(lǐng)，既難以掌握，又難以迅速地作出判斷，有時(shí)只想知道反映隨機(jī)變量某些特征的綜合指標(biāo)。

5.課程展望

由以上幾點(diǎn)可看出課程思政無處不在，只要用心就能發(fā)現(xiàn)，并且與課程緊密結(jié)合。育人的同時(shí)可以深化要掌握的知識(shí)。課程思政其實(shí)不止于課堂傳播的知識(shí)，實(shí)際上，課程之外與學(xué)生交流的時(shí)候還可以繼續(xù)對(duì)學(xué)生進(jìn)行育人方面的干預(yù)。課程思政，任重道遠(yuǎn)。

參考文獻(xiàn)：

[1]姚柏洲，數(shù)學(xué)期望在生活中的應(yīng)用[J].科技資訊，2016.32：142 -143.

[2]劉迪佳，淺談數(shù)學(xué)期望與經(jīng)濟(jì)決策的關(guān)系及其應(yīng)用[J]，科技世界，2015.26：148-149

[3]劉寧，淺談數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用[J].理論前沿，2013.7：124-125.

[4]程家駿，幾種離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望與方差推導(dǎo)[J].課程教育研究，2018.34：148-149

[5]吳秀才，對(duì)概率論中“數(shù)學(xué)期望”概念的教學(xué)思考[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2017.7：124-125.

作者簡(jiǎn)介：

李廣玉，女，黑龍江人，副教授，02年于哈師大數(shù)學(xué)系畢業(yè)，07年獲得哈工大數(shù)學(xué)專業(yè)碩士學(xué)位，畢業(yè)十幾年分別在齊大、溫大甌江、無錫太湖從事《高等數(shù)學(xué)》等課程教學(xué)工作，16年起關(guān)注人性化教學(xué)模式，同年發(fā)表一篇論文。

陸啟義，副教授。