武利猛，張娟，李素紅

(1.河北科技師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科技學(xué)院，河北秦皇島 066004；2.河北科技師范學(xué)院科研處，河北秦皇島 066004)

2008年，美國高級教學(xué)設(shè)計(jì)師戴·彭羅斯提出了微課概念。一般情況下微課教學(xué)的完成包含如下幾個方面：首先是明確教學(xué)內(nèi)容；其次是給出合理的教學(xué)設(shè)計(jì)；最后是完善視頻，將教學(xué)視頻與課程任務(wù)上傳到課程管理系統(tǒng)[1]。初期，微課是以在線學(xué)習(xí)的形式參與到教學(xué)內(nèi)容中，其時長一般為1～3min，主要目的是利用網(wǎng)絡(luò)視頻資源，引導(dǎo)學(xué)生對課上所學(xué)知識進(jìn)行更好地理解，進(jìn)而達(dá)到教學(xué)目的。在我國，微課教學(xué)隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)達(dá)，已越來越多地深入到教學(xué)中來，對于提升教師教學(xué)和學(xué)生自學(xué)已起到不可或缺的作用[2]。國家已經(jīng)成功舉辦了四屆數(shù)學(xué)微課教學(xué)設(shè)計(jì)比賽，越來越多的高校教師參與到這項(xiàng)教學(xué)賽事之中，對于微課教學(xué)的發(fā)展起到了非常大的促進(jìn)作用[3-6]?；诖?，本文將討論如何將微課教學(xué)應(yīng)用于高等數(shù)學(xué)——以羅爾中值定理為例。

1 高等數(shù)學(xué)課程簡介

高等數(shù)學(xué)是一門重要的基礎(chǔ)理論課，通過學(xué)習(xí)使學(xué)生能夠掌握函數(shù)極限與連續(xù)、函數(shù)微積分學(xué)(包括二重積分)、常微分方程等方面的基本概念、基本理論和運(yùn)算技能。通過學(xué)習(xí)，逐步培養(yǎng)學(xué)生具有較強(qiáng)的計(jì)算能力，抽象思維能力和邏輯判斷能力，從而提高學(xué)生分析問題的能力。這門課程對于很多學(xué)生來說是有一定困難的，大致有如下兩個原因：（1）高校在不斷改革，高等數(shù)學(xué)課時少了很多，但是內(nèi)容并沒有太大變化，使得教師在有限時間的課堂上講授的內(nèi)容知識量多，學(xué)生接受起來有困難；（2）高等數(shù)學(xué)本身是一門邏輯性強(qiáng)，抽象的課程，知識前后連接特別緊密，如果學(xué)生復(fù)習(xí)、做練習(xí)不及時，課上會聽不懂，降低了學(xué)習(xí)積極性。高校教師一般沒有坐班制，因此學(xué)生如果有問題的話，只能等到老師下一次上課再問，這樣在一定程度上削弱了學(xué)生學(xué)習(xí)效率。因此，對于高等數(shù)學(xué)這門課程來說十分有必要開展微課教學(xué)，這樣學(xué)生會不斷反復(fù)去學(xué)習(xí)某一個知識點(diǎn)，對于知識的理解起到非常好的促進(jìn)幫助作用。

2 羅爾中值定理的教學(xué)設(shè)計(jì)

作者認(rèn)為，微課作為一種有別于教室課堂教學(xué)的新型授課模式，要以其新穎、 科學(xué)的教學(xué)模式吸引學(xué)生，讓學(xué)生在短時間內(nèi)能夠?qū)τ谒鶎W(xué)知識達(dá)到理解和掌握。教師在教學(xué)設(shè)計(jì)上應(yīng)遵循如下原則：（1）教學(xué)設(shè)計(jì)要符合的教學(xué)安排；（2）教師更重要的任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生通過微課的學(xué)習(xí)能達(dá)到自主學(xué)習(xí)；（3）教學(xué)中一定要有例題和課后作業(yè)，這樣能在一定程度上保證教學(xué)質(zhì)量。

2.1 復(fù)習(xí)提問，設(shè)題引入(2min)

多媒體課件是微課教學(xué)的重要組成部分，利用多媒體軟件可以將抽象的問題形象化，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而提高學(xué)習(xí)效率。遵照知識的連貫性，回顧舊知識，使得課程自然地過渡到新課的學(xué)習(xí)中去。首先引導(dǎo)學(xué)生回顧導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)值f'（x0）等于函數(shù)在點(diǎn)（x0，f（x0））處切線的斜率值。在本次課件設(shè)計(jì)過程中，筆者采用了Matlab 和幾何畫板數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行編程，形象地演示了導(dǎo)數(shù)的幾何意義；進(jìn)一步畫出函數(shù)sinx，x∈[0，2π]和cos，x∈[0，2π]的動態(tài)圖像，引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)例出發(fā)，發(fā)現(xiàn)正弦曲線在和處具有水平切線，而cos，x∈[0，2π]這一條曲線沒有，進(jìn)而借助于圖像提出還有哪些曲線具有水平切線以及滿足什么條件曲線就會具有水平切線，函數(shù)圖像見圖1。

圖1 y=sin(x)和y=cos(1/2x)的圖像

引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想導(dǎo)數(shù)的幾何意義，從而得出函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的切線若是水平切線，則在該點(diǎn)x0處導(dǎo)數(shù)值f'（x0）=0。讓學(xué)生繼續(xù)觀察函數(shù)sinx，x∈[0，2π]的圖像，考察所給函數(shù)在指定閉區(qū)間上是否連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)是否可導(dǎo)，端點(diǎn)的函數(shù)值是否相等，從而引出本節(jié)課內(nèi)容“羅爾中值定理”。

2.2 探索新知，討論歸納(8min)

結(jié)合引例分析中抽象出的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算過程，給出完整的導(dǎo)數(shù)與可導(dǎo)的概念，即本次課的教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)。這里給出羅爾中值定理

定理（羅爾中值定理） 如果函數(shù)y=f（x）滿足

（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；

（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；

（3）f（a）=f（b），

則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)（ξ，使得f'（ξ）=0。下面分層次進(jìn)行教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)化解。

層次一：認(rèn)識定理。

將定理?xiàng)l件核心過程簡述為：閉區(qū)間連續(xù)，開區(qū)間可導(dǎo)，兩端點(diǎn)函數(shù)值相等，三個判斷過程，使學(xué)生對定理?xiàng)l件形成基本雛形。讓同學(xué)們觀察y=sinx 在區(qū)間[0，2π]上的圖像，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論和圖像性質(zhì)是相符的，加深了學(xué)生對定理的理解。從宏觀上，引導(dǎo)學(xué)生回顧導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時指明羅爾中值定理的結(jié)論：在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f'（ξ）=0 的幾何意義為：至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b），有函數(shù)y=f（x）在該點(diǎn)的切線是一條水平切線。

例1：驗(yàn)證函數(shù)y=sinx 在區(qū)間[0，2π]上是否滿足羅爾中值定理的全部條件，如若滿足請給出結(jié)論中ξ 的取值?

這兩個例子的給出，是為了讓學(xué)生對于羅爾中值定理的條件和結(jié)論有一個非常清晰的認(rèn)識，進(jìn)而更好地掌握定理的條件和結(jié)論。

層次二：融入數(shù)學(xué)史，提升學(xué)習(xí)興趣。

數(shù)學(xué)課堂一般都會很抽象，學(xué)生學(xué)習(xí)會感覺有一點(diǎn)兒枯燥，為了發(fā)揮學(xué)生主觀能動性和拓展數(shù)學(xué)文化知識，在這里會簡單介紹羅爾的個人背景資料以豐富課堂內(nèi)容。

層次三：深化剖析。

例3：不求導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)f（x）=x（x-1）（x-2）的導(dǎo)數(shù)有幾個實(shí)根，以及各個根的所在范圍。

設(shè)置本例題主要有兩方面的用意：（1）梳理所學(xué)知識；（2）將概念延伸到定理應(yīng)用中，以不斷激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

2.3 課堂小結(jié)，布置作 業(yè)(2min)

以提問的方式，和學(xué)生一起回顧所學(xué)知識，結(jié)合多媒體課件對其進(jìn)行梳理，進(jìn)而提煉教學(xué)知識點(diǎn)；布置作業(yè)。最后，會給學(xué)生設(shè)問：指出羅爾中值定理中三個條件是充分條件，三者缺一不可，請認(rèn)真思考為什么。

3 結(jié)語

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，現(xiàn)代教育模式也越來越多樣化。微課教學(xué)作為其中一種不斷地在優(yōu)化教學(xué)結(jié)構(gòu)，提高教學(xué)質(zhì)量。作為教師我們更應(yīng)該鞏固自己的主體地位，對教學(xué)模式進(jìn)行創(chuàng)新，不斷改善教學(xué)設(shè)計(jì)，從而提供更好的微課教學(xué)資源，讓學(xué)生更好地理解和掌握知識。