康永紅

[摘? ?要]“不等式”是高中數(shù)學(xué)重要的教學(xué)內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)研究的重要工具.新課標(biāo)提出要求通過不等式教學(xué)使學(xué)生能夠處理基本的不等關(guān)系，初步培養(yǎng)學(xué)生的不等觀念，提升學(xué)生利用不等式知識解決實際問題的能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.“不等式”教學(xué)中，教師應(yīng)關(guān)注基礎(chǔ)知識，重視思維發(fā)展，倡導(dǎo)應(yīng)用推廣，開展系統(tǒng)滲透，以不斷提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞]不等式;核心素養(yǎng);課堂教學(xué)

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）14-0039-02

“不等式”是高中數(shù)學(xué)的必修內(nèi)容，是研究基本數(shù)量關(guān)系的核心知識，在整個中學(xué)數(shù)學(xué)中有著廣泛的基礎(chǔ)性和工具性，因此新課標(biāo)要求教師通過該內(nèi)容的講解，使學(xué)生充分理解基本不等式，并能靈活應(yīng)用不等關(guān)系解決問題.下面筆者結(jié)合教學(xué)實踐進(jìn)行深入探討.

一、關(guān)注基礎(chǔ)知識

數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本技能是學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)的基礎(chǔ)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)思想和解題方法均是在理解基礎(chǔ)知識的前提下逐步發(fā)展起來的.因此，教學(xué)不等式內(nèi)容也應(yīng)從基礎(chǔ)知識入手，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識形成的基本階段.對于該階段的教學(xué)需要注重兩點：一是把握知識的前后聯(lián)系，完成知識的過渡;二是重視基礎(chǔ)定理的推理闡釋，完成基礎(chǔ)知識的本質(zhì)剖析.

由于初中生已經(jīng)對不等式的內(nèi)容有所了解，所以教師在教學(xué)基本不等式時可引導(dǎo)學(xué)生重新回顧不等式知識，如不等式的基本性質(zhì)以及一元一次不等式的解法，具體教學(xué)中可以給出幾道例題，利用例題引導(dǎo)學(xué)生全方位體會不等式運(yùn)算符號和數(shù)值的變化.

在教學(xué)的引入階段應(yīng)注重基本不等式的引入方式，如對于基本不等式[x2+y22≥xy] （[x≥0]，[y≥0]），雖然可以采取直切主題的方式，但由于學(xué)生不了解知識起源和應(yīng)用指向，所以學(xué)習(xí)興趣有所欠缺，教學(xué)效果也不太好.數(shù)學(xué)知識是有一定的實踐背景的，不等式也不例外，在教學(xué)不等式時十分有必要聯(lián)系情景問題完成知識過渡，如指明一些不等關(guān)系在客觀世界是始終存在的;若假定一根線的長度始終恒定，則用該線圍成圓的面積會比圍成正方形的面積大，而圍成正方形面積會比圍成一般矩形的面積大.這些問題可以歸結(jié)為不等式問題，然后引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)相應(yīng)的基本不等式，并從不等關(guān)系角度來加以探究.

而對于第二點的“不等式定理的推理闡釋”是強(qiáng)化學(xué)生理解的關(guān)鍵，同時通過對定理的推理證明可以提升學(xué)生的邏輯推理能力.在該階段需要由定理和性質(zhì)的邏輯統(tǒng)一性出發(fā)，逐步利用公式之間的相互關(guān)系完成證明.在證明過程中除了需要指導(dǎo)學(xué)生使用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言外，還要引導(dǎo)學(xué)生利用不同的分析方法，從不同的角度完成證明，盡可能地培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性.如證明不等式常用的作差比較法、綜合分析法以及基于構(gòu)造思想的函數(shù)構(gòu)造法等.這些方法的分析思路雖然不同，但對于不等式問題的證明效果是一樣的.在教學(xué)中加強(qiáng)一題多解的訓(xùn)練，對學(xué)生思維的開拓也極為有利.

二、重視思維發(fā)展

學(xué)生的數(shù)學(xué)能力決定解題的效率，影響最終的數(shù)學(xué)成績，考慮到數(shù)學(xué)能力的提升與學(xué)生的邏輯思維有著很大的關(guān)聯(lián)，因此在教學(xué)中教師應(yīng)特別關(guān)注學(xué)生的思維活動，利用數(shù)學(xué)的語言表述和推理活動來鍛煉學(xué)生的思維.鍛煉學(xué)生的思維有多種方式，其中最為重要的是強(qiáng)化學(xué)生的理解以及幫助學(xué)生突破思維障礙.

對于不等式基本定理內(nèi)容的教學(xué)，除了需要聯(lián)系實際問題外，還要借用幾何直觀來完成過程解釋.教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生基于具體的基本不等式構(gòu)建幾何圖像，利用幾何直觀證明完成定理的學(xué)習(xí)，從而強(qiáng)化學(xué)生對定理的理解.如對于基本不等式[a+b2≥ab] （[a≥0]，[b≥0]），可以構(gòu)建幾何圖像，將定理轉(zhuǎn)化為幾何問題：如右圖，圓O的直徑為AB，△ABC為直角三角形，設(shè)AD的長為a，BD的長為b，試分析CD與CO的長度關(guān)系.具體的思路是：引導(dǎo)學(xué)生利用射影定理或三角形相似來構(gòu)建[CD2=AD·DB，AC2=AD·AB，BC2=BD·BA]，讓學(xué)生可以直觀地得出[CD≤CO]，從而得出[a+b2≥ab] . 這樣通過知識的關(guān)聯(lián)來完成定理證明，對學(xué)生理解定理有很大的幫助.

高中數(shù)學(xué)的不等式內(nèi)容對于學(xué)生而言是一塊新的知識大陸，必然在學(xué)習(xí)過程中存在一定的思維障礙，如不理解不等式等號成立的條件、不等式轉(zhuǎn)化變形的基礎(chǔ)，以及一些不等式與其他知識交匯問題的分析思路等.教學(xué)中教師要善于引導(dǎo)梳理.如對于不等式等號成立的條件探究，可以結(jié)合具體的問題將其轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的等式問題，或借助幾何知識來完成，在轉(zhuǎn)化過程中要注意對不等式性質(zhì)的利用，及關(guān)注轉(zhuǎn)化過程的符號變化.分析綜合性問題時，如不等式與數(shù)列綜合問題，可以引導(dǎo)學(xué)生從不等式和數(shù)列關(guān)系兩個角度進(jìn)行思考，合理利用放縮法將無規(guī)律的不等式和數(shù)列轉(zhuǎn)化為規(guī)則的數(shù)列和基本不等式，并利用相應(yīng)的性質(zhì)完成問題的分析證明.

三、倡導(dǎo)應(yīng)用推廣

教學(xué)不等式內(nèi)容時應(yīng)將“提升學(xué)生的應(yīng)用分析能力”作為教學(xué)的重要任務(wù).對于不等式的應(yīng)用教學(xué)，應(yīng)關(guān)注以下幾點：一要關(guān)注不等式的符號和應(yīng)用條件;二要開展不等式定理的變形運(yùn)用.尤其是教學(xué)基本不等式內(nèi)容時應(yīng)結(jié)合上述要點來開展.

不等式具有很高的應(yīng)用價值，從數(shù)的大小關(guān)系來看可以將其視為兩個數(shù)的大小比較，在求解問題時可借用基本不等式來完成數(shù)的大小比較，如對于基本不等式[a+b2≥ab] （[a≥0]，[b≥0]），通過變形可以轉(zhuǎn)化為[a+b≥2ab] （[a≥0]，[b≥0]），該式子可以較好地解釋a+b與[ab]的大小關(guān)系.不等式的另一個解題應(yīng)用是求解最值，從不等式等號成立的條件來分析則可以獲得數(shù)的最值.同樣以上述基本不等式為例，分析可知當(dāng)且僅當(dāng)[a=b]時，[a+b]可以取得最小值，且最小值為[2ab]，該思路也是求解相關(guān)代數(shù)取值問題的重要策略之一.

而對于不等式內(nèi)容的教學(xué)同樣應(yīng)重視其推廣，以求拓寬學(xué)生的知識視野，提升學(xué)生的解決問題能力.以基本不等式[a+b2≥ab]為例，它反映的是兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于等于它們的幾何平均數(shù)，在教學(xué)中教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：若是三個或三個以上數(shù)的情形，是否同樣滿足該關(guān)系？對于該問題，可以采用引導(dǎo)探究的方式來進(jìn)行.另一種變式推廣則是對兩個正數(shù)的分析，引導(dǎo)學(xué)生思考是否可以將轉(zhuǎn)其換為兩個正數(shù)的倒數(shù)，教學(xué)中通過對不等式的變形來完成證明，建立基本不等式的一整串變形鏈（均值不等式），適當(dāng)拓展學(xué)生思維的深度.

四、開展系統(tǒng)滲透

知識之間有著緊密的聯(lián)系，任何知識都不是獨(dú)立存在的.不等式內(nèi)容是代數(shù)的重要組成部分，從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的角度來看就不應(yīng)局限于向?qū)W生簡單地傳達(dá)不等關(guān)系，可以將本章節(jié)內(nèi)容作為一個基本的研究對象，立足解題方法教學(xué)的高點，進(jìn)行知識的全面、系統(tǒng)滲透.

如教學(xué)不等式的相關(guān)問題時，可以結(jié)合不等式的最值應(yīng)用意義，將不等式與函數(shù)內(nèi)容相關(guān)聯(lián).如函數(shù)[y=x+ax（a>0）]，在研究其最值時通常是借助函數(shù)的單調(diào)性，在教學(xué)時教師可以基于均值不等式的適用條件，引導(dǎo)學(xué)生考慮從不等式的角度來加以求解，這樣就可以將不等式的前后知識相聯(lián)系，構(gòu)建完整的知識體系.

不等式內(nèi)容中存在一些特殊的公式與定理，這些定理和公式的證明和使用均與數(shù)學(xué)知識相關(guān)聯(lián)，在教學(xué)中教師可以對知識進(jìn)行穿插講解.如教學(xué)時將集合、函數(shù)滲透于不等式的解法教學(xué)中，以及在教學(xué)直線與圓的最值問題時引入不等式知識，或?qū)⒔馊切螒?yīng)用題與不等式的解法相融合，實現(xiàn)不等式知識的聯(lián)網(wǎng)教學(xué).另外，有必要進(jìn)行數(shù)學(xué)思想的滲透，如不等式轉(zhuǎn)化變形過程中滲透化歸思想，基于不等式問題構(gòu)建新的函數(shù)時滲透構(gòu)造思想，以及利用函數(shù)圖像研究不等式時滲透數(shù)形結(jié)合思想，等等.

綜上，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)應(yīng)以教材為基礎(chǔ)，教學(xué)中要注重逐步將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)融合在數(shù)學(xué)的每一個模塊內(nèi)容中，使學(xué)生在掌握不等式知識的同時獲得學(xué)科素養(yǎng)的提升.總而言之，核心知識的打牢是基礎(chǔ)，知識的系統(tǒng)規(guī)劃是關(guān)鍵，學(xué)科思想的合理滲透是重點.

（特約編輯 安? ?平）