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        梯形面積問題之求解

        2017-12-27 21:39:26何秋霞
        考試周刊 2017年41期
        關(guān)鍵詞:坐標(biāo)三角函數(shù)基底

        何秋霞

        摘要:以向量為背景研究梯形的相關(guān)問題;從幾何(勾股定理)、三角函數(shù)、向量分解、坐標(biāo)的視角給出梯形面積的不同求法。

        關(guān)鍵詞:梯形面積;向量;基底;三角函數(shù);坐標(biāo)

        以梯形為背景考查向量的相關(guān)問題是常見的,但以向量為背景考查梯形相關(guān)問題,就顯得奇異。那么,向量視角下,如何研究梯形的相關(guān)問題呢?是以向量為手段,還是轉(zhuǎn)化為平幾?

        【點(diǎn)評】(1)證明一個四邊形是梯形,關(guān)鍵是找到那一對平行的邊——解析一是通過基底表示來完成了這一證明。而且,這一想法應(yīng)該是自然生成的。(2)本題求梯形的面積中,最難的是如何求梯形的高。由基底想到求四邊形的各邊長,再通過勾股定理完成高的計算,應(yīng)該說是基底思想的基本應(yīng)用。很明顯,這種方法計算量超大,能改進(jìn)嗎?

        2. 視角二:分解+三角函數(shù)

        在筆者展示學(xué)生提供的解法一時,有學(xué)生提出:筆者改卷時判分存在問題。筆者將其求解過程投影,并要求其講述自己的思維過程。

        【點(diǎn)評】(1)解析二存在一個問題:E、P、G、Q四點(diǎn)在同一條直線上嗎?筆者將該解法投影后,就有學(xué)生指出上述問題。那么,能完善這種解法嗎?首先證明四邊形PDFQ為平行四邊形,其次證明PE∥AB、QG∥AB。遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有解析一快捷。(2)求梯形的面積較解析一簡便了許多。求梯形的高,應(yīng)用三角函數(shù)定義簡化了計算。另外,也可以考慮求B到PQ的距離。方法和前面類似。

        3. 視角三:分解+相似比

        解析二也給我們提供了一種求高的想法——將AP分解,將求高轉(zhuǎn)化為求三角形的相似比。

        【點(diǎn)評】(2)將梯形的高轉(zhuǎn)化為三角形的相似比,避開了向量的復(fù)雜計算。應(yīng)該是向量法(基底思想)中最簡單的方法。

        4. 視角四:坐標(biāo)法

        【分析四】解決向量問題的另一個常用方法就是建立直角坐標(biāo)系,將向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的運(yùn)算。如何建系呢?以A為原點(diǎn)或以B為原點(diǎn),AB所在直線為x軸建系,都可以。

        【點(diǎn)評】坐標(biāo)法求得P、Q的坐標(biāo),恰巧的是P的縱坐標(biāo)就是梯形的高。一步,既解決了梯形中平行的證明,又解決了梯形的高,妙!

        縱觀以上四種解法,從最開始的迷茫,到有想法(繁瑣的計算),再到簡化計算,每一次思考都有一個層次,而通過比較,自然在以后的求解中會優(yōu)先選擇坐標(biāo)法——畢竟由基底給定的向量,其坐標(biāo)也是一定的,進(jìn)而就能解決問題了。解析三給人的沖擊也是蠻大的——給定基底,自然蘊(yùn)涵了向量的加法,也就存在比例問題。基底思想是統(tǒng)一思想:將所有向量用兩個已知的向量表示,將所有向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為兩個已知向量的運(yùn)算,是數(shù)學(xué)中重要的一種思想。endprint

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