李景財　王曉霞

摘要：平面幾何最值問題是中考的經(jīng)典題型，這類試題源于教材，高于教材，考查了學(xué)生解決綜合問題的能力，常用聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的思想方法，將問題轉(zhuǎn)化為課本的基本模型，從而解決問題.這類問題的學(xué)習(xí)需要經(jīng)歷三個階段：掌握基礎(chǔ)知識和基本技能，應(yīng)用基本圖形和基本方法，運用數(shù)學(xué)思想方法等.

關(guān)鍵詞：最值;聯(lián)系模型;轉(zhuǎn)化

平面幾何最值問題是中考的經(jīng)典題型，呈現(xiàn)的形式多樣，涉及面廣，考查了學(xué)生解決綜合問題的能力.研究發(fā)現(xiàn)：這類試題立足教材，蘊含解答模型，運用了聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的思想方法.本文以人教版教材和中考試題為素材，談?wù)勂矫鎺缀巫钪祮栴}的解題策略.

1 直接應(yīng)用公（定）理

1.1 兩點之間線段最短

例1如圖1，∠MON=90°，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM，ON上，當(dāng)點B在邊ON上運動時，點A隨之在邊OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB =2，BC=1，運動過程中，點D到點0的最大距離為（ ）.

A.√2+1 B.√5 c.√145/5 D.5/2

分析 取AB的中點E，連結(jié)OE、DE、OD，根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊可知：當(dāng)0、D、E三點共線時，點D到點O的距離最大.用勾股定理求出DE的長，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出OE的長，兩者相加即可得解.

因為OD≤OE +DE，所以當(dāng)0、D、E三點共線時，點D到點0的距離最大.

所以 OD的最大值為√2+1.

故選A.

方法歸納 該問題是“在兩定點之間求最小值”.根據(jù)模型“兩點之間線段最短”，把兩定點直接相連，對無法或難以量化的兩點間的線段，可與能量化的兩折線構(gòu)成三角形，轉(zhuǎn)化為“折線和”，利用三角形三邊關(guān)系或兩點間線段最短得出最值.

1.2 垂線段最短

例2 如圖2，△ABC中，∠BAC= 60°，∠ABC=45°，AB =2√2，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫◎0分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，則線段EF長度的最小值為（）.

A.2 B.√2 C.√3 D.3

分析 弦EF的長與它所對的圓心角和圓直徑有關(guān)，圓心角是定值，而直徑是變量，當(dāng)直徑最小時，EF的長度最小.根據(jù)垂線段最短，直徑的最小值是△ABC邊BC上的高的長度.

解析 當(dāng)AD是△ABC邊BC上的高時，

AD =AB×sin ∠ABC=2√2×sin45°=2，

EF：2×AD/2sin60°=√3，

所以線段EF長度的最小值為√3.

故選C

方法歸納 該問題是“已知一定點和一定直線求最小值”.解答此類試題只要透過問題，提出模型，剔除不變的量，轉(zhuǎn)化為一定點到一定直線的距離，再利用模型“垂線段最短”即可得出最小值.

2 應(yīng)用幾何變換求最值

2.1 直線同側(cè)兩定點+一動點

例3 如圖3，菱形ABCD中，∠BAD= 60°，M是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，若AB長是3，則PM +PB的最小值為_____.

分析 連接BD、MD，MD交AC于點P，因為四邊形ABCD是菱形，可得菱形的對角線互相垂直平分，所以點D是點B關(guān)于AC的對稱點，此時PM+PB最小，且PM+PB= DM.因∠BAD= 60°，所以△ABD是等邊三角形.由等邊三角形的性質(zhì)可知DM⊥AB，根據(jù)勾股定理即可求出MD的長.

解析 連結(jié)BD，DM，DM交AC于點P.

因為四邊形ABCD是菱形，且∠BAD= 60°，所以△ABD是等邊三角形，點D是點B關(guān)于AC的對稱點.

方法歸納 該問題是“直線同側(cè)兩定點+一動點，求線段和的最小值”，常作任意一定點關(guān)于定直線的對稱點，把同側(cè)線段和轉(zhuǎn)化為異側(cè)線段和，實現(xiàn)轉(zhuǎn)“折”為“直”，再根據(jù)模型“兩點之間線段最短”，作出線段并求之.此類問題通常以角、三角形、矩形、菱形、正方形、梯形、圓、拋物線等為背景，它們都具有軸對稱性，用軸對稱變換，轉(zhuǎn)“折”為“直”，從而直接應(yīng)用線段公理或垂線段公理.

方法歸納 此問題是“直線同側(cè)兩定點+一動點，求線段差的最大值”，方法是：連結(jié)兩定點，并延長與定直線相交，根據(jù)模型“三角形兩邊之差小于第三邊”，當(dāng)三點共線時，兩邊之差等于第三邊，取最大值.

2.2 直線異側(cè)兩定點+一動點（造橋選址問題）

例5如圖5所示，從A地到B地經(jīng)過一條小河（河岸平行），今欲在河上建一座橋，應(yīng)如何選擇橋的位置才能使從A地到B地的路程最短？

分析 橋必須與河岸垂直，所以不論橋建在哪里，橋長這段路程是固定不變的，只需使A到河岸與B到河岸這兩段路程的和最短即可.

解析 如圖5，將點B沿垂直于河岸的方向向河岸平移一個河寬到點B，連接AB，交河對岸于點C，則點C即為建橋位置，CD即為所建的橋.

根據(jù)平移的特征可知，BD//B'C，BD =B'C.

所以A、B兩地路為AC+CD+ BD =AC+ CD+B'C= CD +AB'.

若橋的位置建在點C處，則A、B兩地的路和為AC'+ C'D' +BD'= CD +AC' +B'C'.

因AB

所以橋的位置選取在點C處，A、曰兩地路程最短.

方法歸納 該問題是“直線異側(cè)兩定點+一動點，求兩線段和的最小值”.此問題要剔除河寬，轉(zhuǎn)化為求兩線段和的最小值.方法是：通過平移變換，將任一定點沿河岸垂直的方向平移河寬的距離，根據(jù)模型“兩點之間線段最短”，連結(jié)平移得到的點與直線異側(cè)的點，所得線段與河對岸的交點就是橋的選址.

2.3

一定點+兩動點

例6（2010年鄂州）如圖6，△ABC內(nèi)接于半徑為2的00，其中∠ABC= 45°，∠ACB= 60°，CD平分∠ACB交◎O于D，點M、N分別是線段CD、AC上的動點，則MA +MN的最小值是（）.

方法歸納 該問題是“一定點+兩動點，求線段和的最小值”，方法是：作定點關(guān)于一定直線的對稱點，再過對稱點作另一定直線的垂線段，轉(zhuǎn)“折”為“直”，根據(jù)模型“垂線段最短”，可求線段和的最小值.

3 應(yīng)用輔助圓求最值

3.1 應(yīng)用弧中點求最值

例7如圖7，在梯形ABCD中，AD//BC，對角線ACIBD，若AD =3，BC =7，則梯形ABCD面積的最大值____.

分析 將對角線AC平移至DE，連結(jié)CE，則梯形ABCD面積等于△BDE的面積.Rt△BDE是動態(tài)的，直角頂點D在以BE為直徑的半圓上移動，當(dāng)點D在半圓弧的中點時，△BDE的面積最大，即梯形ABCD的面積最大.

解析 將對角線AC平移至DE，連結(jié)CE，過B、D、E三點作半圓◎O.當(dāng)點D在半圓弧的中點D時，△BDE的面積最大，

因為CE =AD =3，BE =BC+ CE= 10，

所以△BD'E的面積為1/2BE×OD' =25.

所以梯形ABCD面積的最大值為25.

方法歸納 當(dāng)直角三角形的斜邊長是定值時，直角頂點的軌跡是以斜邊為直徑的圓.當(dāng)直角頂點在半圓弧的中點時，斜邊上的高最大，該三角形的面積最大.構(gòu)建輔助圓或弧，利用弧中點的特性，是圓中求最值問題的有效途徑.

3.2 應(yīng)用切線求最值

例8如圖8，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（4.0），點B為y軸正半軸上的一點，AC=2.設(shè)∠BOC=m，則m的取值范圍是_____.

分析 點C是以點A為圓心，以2為半徑的圓上的動點，∠BOC的大小由oc邊的位置決定，當(dāng)oc在x軸的上方與◎A相切時最小，當(dāng)OC在x軸的下方與OA相切時最大.

解析以A（4，0）為圓心，以2為半徑作◎A，過點0作◎A的切線OC、OC.

連結(jié)AC，則∠ACO =90°.

因為AC =1/20A =2，所以∠AOC =30°.

由圓的對稱性可得，∠AOC=30°.

所以∠BOC= 60°，∠BOC=120°.

所以60°≤∠BOC≤120°.

即60°≤m≤120°.

方法歸納 到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓.利用圓的切線或切點等特殊位置，是圓中求幾何最值的又一常用方法.

4 應(yīng)用代數(shù)方法求最值

4.1 配方法

例9 如圖9，在面積為24的△ABC中，矩形DEFG的邊DE在AB上運動，點F、G分別在邊BC、AC上.

（1）、（2）略;

（3）請直接寫出矩形DEFG的面積的最大值，

分析矩形DEFG的面積是一個變量，它隨矩形的長與寬的變化而變化，而長與寬的關(guān)系可通過相似列比例式來表示，矩形DEFG的面積的最大值可借助二次函數(shù)模型，用配方法來求.

方法歸納若一個量用兩個變量的積表示，要求這個量的最值，常用模型是二次函數(shù)，再用配方法求其最值.

4.2 判別式法

例10如圖10，直線y=一1/2x+2與坐標(biāo)軸交于A、B兩點，以AB為直徑作◎M，P為◎M上的一動點，且P的坐標(biāo)為（x，y），求x+y的最大值.

分析 x+y的值是一個變量，可考慮用函數(shù)來建模，設(shè)x+y=k，用x表示y.點P到圓心M的距離等于半徑，用這個等量關(guān)系建立方程，用方程的知識尋求k值的范圍.

方法歸納 求含有兩個變量代數(shù)式的最值，通常用輔助未知量表示兩個變量的關(guān)系，用等量關(guān)系建立含有一個輔助未知量的一元二次方程，用根的判別式建立關(guān)于輔助未知量的不等式，求出輔助未知量的最值.

由本文可知，平面幾何最值問題的學(xué)習(xí)需經(jīng)歷三個階段：掌握基礎(chǔ)知識和基本技能是起步階段;應(yīng)用基本圖形和基本方法，即建立基本模型，是基礎(chǔ)階段;運用數(shù)學(xué)思想方法，是應(yīng)用的高級階段.所以平面幾何最值問題的學(xué)習(xí)要循序漸進(jìn)，分步實施，既要掌握基礎(chǔ)知識與技能，獲得基本活動經(jīng)驗與思想，又要發(fā)展思維與能力.