張建華

摘要：本文通過(guò)對(duì)2018年的有關(guān)多邊形折疊中考題的分析，抓住折疊中角與邊不變，動(dòng)中求靜，變中求不變，必要時(shí)動(dòng)手操作，化抽象為直觀，能達(dá)到化難為易的解題效果.

關(guān)鍵詞：中考試題;折疊問(wèn)題;多邊形折疊

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）》要求“在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想”.要求學(xué)生在觀察、操作等活動(dòng)中獲得直觀感受，用動(dòng)手實(shí)踐的方式去學(xué)習(xí)和探索，倡導(dǎo)對(duì)學(xué)生動(dòng)手操作能力的培養(yǎng).因折疊問(wèn)題能考查學(xué)生思維分析能力、空間想象能力、推理能力和動(dòng)手能力，故折疊型題備受命題者青睞.現(xiàn)擷取2018年部分多邊形折疊中考題，以饗讀者.

1 三角形的折疊

例1（2018年徐州）如圖1，將等腰直角三角形紙片ABC對(duì)折，折痕為CD.展平后，再將點(diǎn)B折疊在邊AC上（不與A、C重合），折痕為EF，點(diǎn)B在AC上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M，設(shè)CD與EM交于點(diǎn)P，連接PF.已知BC=4.

（1）若點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，求CF的長(zhǎng);

（2）隨著點(diǎn)M在邊AC上取不同的位置，

①△PFM的形狀是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由;

②求△PFM的周長(zhǎng)的取值范圍.

解析（1）因?yàn)镸為AC的中點(diǎn)，

點(diǎn)評(píng) 本題是將等腰直角三角形進(jìn)行“兩次折疊”問(wèn)題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，余角的性質(zhì)及勾股定理.第一次折疊的折痕CD是定線(xiàn)段即等腰△ABC底邊上的高，第二次折疊的折痕EF是動(dòng)線(xiàn)段.第（1）題求CF的長(zhǎng)，常設(shè)要求的線(xiàn)段CF長(zhǎng)為x，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示線(xiàn)段FM的長(zhǎng)度，選擇Rt△CFM，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案;第（2）題△PFM的形狀是不變，通過(guò)“導(dǎo)角”先證△POM∽△PMC和△MPC∽△OFC，得出OM/PO=OC/OF，再證△POF∽△MOC，得出∠PFO= ∠MCO= 45°，可證△PFM的形狀是等腰直角三角形;第（3）以第（2）題為基，將△PFM的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為底MF的代數(shù)式，求出MF的范圍即可.

2 正方形的折疊

例2（2018宿遷）如圖3，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上，將正方形ABCD沿直線(xiàn)EF折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M始終落在邊AD上（點(diǎn)M不與點(diǎn)A、D重合），點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P，設(shè)BE=x.

（1）當(dāng)AM=1/3時(shí)，求X的值;

（2）隨著點(diǎn)M在邊AD上位置的變化，△PDM的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如變化，請(qǐng)說(shuō)明理由;如不變，請(qǐng)求出該定值;

（3）設(shè)四邊形BEFC的面積為S，求S與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最小值.

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形折疊綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及二次函數(shù)的最值等知識(shí).第（1）問(wèn)利用勾股定理構(gòu)建方程;第（2）問(wèn)首先設(shè)AM=y.則BE= EM =x。MD=1 -y，在Rt△AEM中，由勾股定理得1+y2 =2x，其次抓住圖中“K字型相似”或“一線(xiàn)三等角”相似，可證△AEM∽△DMP，利用相似三角形的性質(zhì)，表示△DMP的周長(zhǎng)，再進(jìn)行整理代入;（3）過(guò)點(diǎn)F作FQ⊥AB，證Rt△ABM≌Rt△QFE（ASA），得AM= QE，根據(jù)梯形的面積公式構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問(wèn)題.

3 矩形的折疊

例3（2018年鎮(zhèn)江）（1）如圖5，將矩形ABCD折疊，使BC落在對(duì)角線(xiàn)BD上，折痕為BE，點(diǎn)C落在點(diǎn)C處，若∠ADB= 46°，則∠DBE的度數(shù)為_(kāi)___。.

（2）小明手中有一張矩形紙片ABCD，AB =4，AD =9.

【畫(huà)一畫(huà)】

如圖6，點(diǎn)E在這張矩形紙片的邊AD上，將紙片折疊，使AB落在CE所在直線(xiàn)上，折痕設(shè)為MN（點(diǎn)M，N分別在邊AD，BC上），利用直尺和圓規(guī)畫(huà)出折痕MN（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，并用黑色水筆把線(xiàn)段描清楚）;

【算一算】

如圖7，點(diǎn)F在這張矩形紙片的邊BC上，將紙片折疊，使FB落在射線(xiàn)FD上，折痕為GF，點(diǎn)A，B分別落在點(diǎn)A，B處，若AG=7/3，求B'D的長(zhǎng);

【驗(yàn)一驗(yàn)】

如圖8，點(diǎn)K在這張矩形紙片的邊AD上，DK =3，將紙片折疊，使AB落在CK所在直線(xiàn)上，折痕為HI，點(diǎn)A，B分別落在點(diǎn)A'，B處，小明認(rèn)為BI所在直線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，他的判斷是否正確，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析（1）如圖9，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，

所以 AD//BC.

所以∠ADB= ∠DBC= 46°.

由翻折不變性，∠DBE= ∠EBC=1/2∠DBC =23°.故答案為23.

（2）【畫(huà)一畫(huà)】如圖9.

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，翻折變換等知識(shí)的綜合運(yùn)用，運(yùn)算能力、作圖能力和邏輯推理能力.（1）利用矩形的性質(zhì)得AD//BC，∠DBC=∠ADB=46°，再由折疊，得∠DBE=1/2∠DBC =23°;（2）由題意知MN是AB，CE相交所得銳角的平分線(xiàn)，據(jù)此尺規(guī)作圖畫(huà)出MN;（3）因DB=DF -B'F，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求DF與B'F的長(zhǎng)，先證△DGF是等到腰三角形，得DF= BF，在Rt△CDF中可求CF，問(wèn)題解決;（3）在Rt△ICB中，求tan∠IB'C的值，連接ID，在Rt△ICD中，求tan ∠DIC的值，根據(jù)tan∠ IBC與tan ∠DIC是否相等判斷B'I，所在直線(xiàn)是否經(jīng)過(guò)點(diǎn)D.由動(dòng)手操作獲得感性認(rèn)識(shí)，再由邏輯推理上升到理性認(rèn)識(shí)，體現(xiàn)“大膽猜想，小心求證”的認(rèn)識(shí)過(guò)程.