齊欣

摘要：本文通過對2016年大慶中考數(shù)學一模試卷上的一個填空題進行研究，發(fā)現(xiàn)圖中隱含著基本圖形，進而發(fā)現(xiàn)圖形中線段、角之間還可能存在一定的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

關(guān)鍵詞：幾何綜合題;思路探究;轉(zhuǎn)化思想

一道數(shù)學試題凝結(jié)了命題者的智慧，具有典型性、示范性，引導(dǎo)性.本文結(jié)合一道中考模擬題的思路探究，揭示數(shù)學問題是如何運用所學知識加以解決的，萬變不離其宗，體會知識轉(zhuǎn)化才是一切轉(zhuǎn)化思想與方法的本源.九年級下中考復(fù)習時，2016年大慶中考數(shù)學一模試卷上的一道求線段長度填空壓軸題難倒了一大批學生和教師.筆者研究發(fā)現(xiàn)，借助轉(zhuǎn)化思想，抓住基本圖形，從導(dǎo)角人手，是這類問題的重要突破口.

1 試題呈現(xiàn)

如圖1，等腰△ABC中，AB =AC，tan∠B=3/4，BC= 30，點D為BC中點，射線DE⊥AC，垂足為點E.將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)（點A的對應(yīng)點為點A，點B的對應(yīng)點為點B），射線AB分別交射線DA、DE于點M、N，且DM=DN.

（1）求證：∠ACB =2∠ACH;

（2）求線段DM的長.

2 思路分析

對于第（1）問，作B'K上HN，垂足為點K，則BK//AC.設(shè)CB交DM于點G，延長CA交DN的延長線于點F（如圖2），借助平行線轉(zhuǎn)移角，容易得到∠ACH= ∠HBK因此，只需證BN=BH，即證∠BHN=∠BNH.而由已知DM= DN，得∠B'NH= ∠DMN，因此只需證∠B'HN=∠DMN.因為∠B'HN是△FHC的外角，∠DMN是△BMG的外角，且∠A'B'C=∠ACB，所以轉(zhuǎn)化為證∠DGC=∠CFE.由AB =AC，AD為中線，根據(jù)“三線合一”，可知∠GDC=90°，從而∠DGC+ ∠BCG= 90°.又∠CFE+∠ACF= 90°，從而只需證∠ACF=∠BCG，只需證∠ACB=∠ACB.結(jié)合旋轉(zhuǎn)這一條件，這是顯然的.

有了第（1）問的鋪墊，對于第（2）問的思路探求，就柳暗花明，水到渠成了.如圖3，作∠ACB的角平分線CP，交DE于點P，作PQ⊥BC，垂足為點Q.則由（1）知，∠DCP=∠PCE=∠ECH，PQ= PE= EH.而AD =15×3/4=45/4，DE=9，PQ： DP =4：5，所以EH=PE= PQ =4，DP =5，DQ =3，QC=12，HC= PC =4√10.

3 解后反思

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，注重識圖、推理、運算等能力的考查，原題解答如下：

如圖4，過點D作DH⊥A'M于點H交AC于點Q，過點Q作QP⊥AD于點P，過點C作CK⊥MA于點K，過點K作KL⊥CE于點L，KJ⊥DN于點J

對于原題的解法，主要是作5條垂線進行轉(zhuǎn)化.怎么想到要添加這些輔助線？這對學生來說有一定難度，而這種解法運算繁雜也是一個難點.本文通過增設(shè)第（1）問，搭建腳手架，進而“運用所證的結(jié)論，問題迎刃而解[1]”.借助轉(zhuǎn)化思想，達到了節(jié)省時間，化繁為簡，化難為易的目的，可謂一舉多得，事半功倍.

本文的轉(zhuǎn)化思想體現(xiàn)在通過對問題層層深入地分析，不斷轉(zhuǎn)換視角，揭示基本圖形、隱含條件、結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，為尋找解題突破口找到方向，使解法更加自然，更具有一般性.

進一步，在習題課教學內(nèi)容設(shè)計時，應(yīng)設(shè)計富有挑戰(zhàn)性的學習內(nèi)容，以激發(fā)學生學習熱情，還要善于啟發(fā)學生學會借助數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想有效探尋解題的突破口[2]，讓學生通過比較不同解法和不同思路的優(yōu)缺點，在愉悅的學習氛圍中獲取知識;在循序漸進的、民主、平等、自由合作的探究過程中感悟數(shù)學思想，掌握一般方法.

參考文獻：

[1]沈岳夫.解題善總結(jié)深研顯模型——一類45°角與正切值關(guān)聯(lián)的綜合題解答探微[J].中學數(shù)學雜志，2017（02）：36- 38.

[2]孫道斌.加強習題課的設(shè)計有效提升教學效率——以“§4.3探索三角形全等的條件”習題課為例[J].中學數(shù)學雜志，2017（02）：27 -29.