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        租船問(wèn)題研究

        2019-06-05 02:54:40廣東省廣州市天府路小學(xué)陳欣言
        數(shù)學(xué)大世界 2019年9期
        關(guān)鍵詞:窮舉載客大船

        廣東省廣州市天府路小學(xué) 陳欣言

        在義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)第一單元《四則運(yùn)算》的例5(課本第10 頁(yè)),主題是租船問(wèn)題:游客有32 人,大船30 元每艘,可載6 人,小船24 元每艘,可載4 人,問(wèn)怎么租船租金最少?課本上的策略是通過(guò)計(jì)算和比較得出結(jié)論:先盡量租人均價(jià)格便宜的船,再考慮不留空位,就會(huì)最省錢,這樣得到的方案是大船4 艘,小船2 艘。

        經(jīng)過(guò)思考,我想到不通過(guò)計(jì)算,畫圖也可以得出最便宜的方案?!鸨硎疽凰掖蟠膬r(jià)格,△表示一艘小船的價(jià)格,顯然有:○>△。全部租大船:32÷6=5(艘)……2(人),至多需要大船5+1=6(艘),用6 個(gè)○表示;5 艘大船和1 艘小船用5 個(gè)○、1 △個(gè)表示,下面類同,所有的方案表示如圖1:

        圖1

        怎么比較它們的成本呢?我采用分組比較的方法,如圖2:

        圖2

        在每組中扣除相同的部分,又已知小船便宜,顯然,第一組中3便宜;第二組中5 便宜;第三組中7 便宜。因此只要比較3、5、7。

        先比較5 和7:

        我再想了一下,如果把題目的條件改一下變成“游客有33 人”會(huì)怎樣呢?顯然不可能沒(méi)有空位,因?yàn)橛慰褪瞧鏀?shù),大小船載客都是偶數(shù),那應(yīng)該怎么辦呢?這樣一來(lái),最省錢的方案應(yīng)該是5 艘大船和1 艘小船(比4 艘大船和3 艘小船便宜)。為了研究一下這個(gè)結(jié)論是否正確,我繼續(xù)使用畫圖列表法,把所有可行方案都列出來(lái),如圖3:

        圖3

        同樣進(jìn)行分組比較(如圖4 所示):第一組中2 便宜;第二組中4 便宜;第三組中6 便宜。再比較2、4、6、7,顯然2 比4 便宜,4比6 便宜,6 比7 便宜,所以,最便宜的方案就是5 艘大船和1 艘小船。

        圖4

        每一組去掉相同部分,可知第一組中2 便宜;第二組中4 便宜;第三組中6 便宜。再比較2、4、6、7,也可以得知:2 比4 便宜,4比6 便宜,6 比7 便宜,所以,最便宜的方案就是5 艘大船和1 艘小船。

        接著,我又把課本題目的條件改了一下,游客還是32 人,但是小船的價(jià)格改為48 元,大船不變,這樣的話全部租大船反而是最便宜的了(雖然大船上留有空位),原來(lái)沒(méi)有空位的4 條大船和2 條小船反而不是最便宜的了。

        看來(lái),這種題目還是需要畫圖列表法才能篩選出最省錢的方案!但畫圖列表法本質(zhì)上是窮舉,如果題目的數(shù)字很大就要花很多時(shí)間了。我研究了幾天,找到了一種改進(jìn)的方法,我把它叫作“湊整替換法”。如課本上的題目條件不變,先考慮全部使用貴的小船,此時(shí)需要8 艘,然后把小船分組拼團(tuán),一組內(nèi)小船的數(shù)量需要滿足能完整(不留空位)的用大船替換的條件(本質(zhì)上是求大船載客數(shù)和小船載客數(shù)的最小公倍數(shù)),如題大船載客6 人,小船載客4 人,一個(gè)分組內(nèi)的載客數(shù)就是12 人,此時(shí)需小船3 艘,能被2 艘大船完整替換。替換之后每組的成本肯定是降到最低的,只需要對(duì)最后余下來(lái)的人數(shù)進(jìn)行列表法窮舉就行了,如圖5 所示:

        圖5

        對(duì)余下的2 艘小船(8 人)進(jìn)行畫圖列表法窮舉,如圖6:

        圖6

        顯然,1是最便宜的方案。如果小船價(jià)格改為48元,就是3最便宜。如果人數(shù)改為33 人,價(jià)格不變,余下就是3 艘小船共9 人,這時(shí)2最省錢,也就是圖3 條件下得到5 艘大船和1 艘小船的方案。

        一道簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)課本題目,改動(dòng)一個(gè)數(shù)據(jù),參考量影響因子也會(huì)變化,所以對(duì)方法要理解到位,不能生搬硬套方法和結(jié)論。另外,一種分析策略也可以通過(guò)不斷優(yōu)化,實(shí)現(xiàn)更簡(jiǎn)潔的解題方法和思考過(guò)程。

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