山東省濱州市濱城區(qū)第二中學(xué) 王建波 劉金月

函數(shù)y=A sin(ωx+φ)+b 的圖像，可由函數(shù)y=sin x 的圖像通過平移、伸縮得到，把握這一變換過程，可正確理解參數(shù)A、ω、φ、b 對圖像形狀的影響。準(zhǔn)確把握用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y=sin x 圖像的關(guān)鍵點(diǎn)與函數(shù)y=A sin(ωx+φ)圖像上相關(guān)點(diǎn)之間的對應(yīng)關(guān)系，可快速與準(zhǔn)確地確定解析式中的相關(guān)參數(shù)，以便進(jìn)一步研究該函數(shù)的性質(zhì)。

一、ω（ω＞0）的確定

【例1】已知函數(shù)f（x）=A cos(ωx+φ)的圖像如圖所示，且有，則f（0）=（ ）

分析：借助于該函數(shù)圖像可確定它的周期，進(jìn)而求得ω 的值。再根據(jù)，，結(jié)合誘導(dǎo)公式和兩角和差公式便可求得f（0）的值。也可借助于相關(guān)點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行求解。

二、φ 的確定

若已知φ 的范圍，用代點(diǎn)法求φ 的值時(shí)，可代入最值點(diǎn)或零點(diǎn)；若不知道φ 的范圍，通常代入曲線上的最值點(diǎn)，若代入零點(diǎn)，需分清它是遞增區(qū)間，還是遞減區(qū)間的中心點(diǎn)，否則還需要分類討論。φ 的作用僅僅是改變了圖像的位置。

【例2】已知函數(shù)y=sin(ωx+φ)（ω＞0，-π ≤φ＜π）的圖像如圖所示，則φ=______。（答案：）

分析：由圖像易得函數(shù)的周期，當(dāng)ω 確定后，可通過代入最值點(diǎn)確定φ 的值，也可結(jié)合它與函數(shù)y=sin x圖像上五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系確定φ 的值。

三、A 的確立

A 是振幅，它表示做簡諧振動的物體離開平衡位置的最大距離，因此可借助它的幾何意義來確定A 的值。若已知圖像與y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)和初相φ 的值，也可通過列方程求A 的值。不再贅述。

四、b 的確立

函數(shù)y=A sin(ωx+φ)圖像的平衡位置是x 軸。在函數(shù)y=A sin(ωx+φ)+b 中，b 改變了圖像的平衡位置，若已知函數(shù)的最大值為m，最小值為n，則。

分析：當(dāng)a ≠0 時(shí)，y=1，三角函數(shù)的平衡位置，參數(shù)a 不僅決定函數(shù)的最值，還影響函數(shù)的周期，故可以此為切入點(diǎn)進(jìn)行研究。

解析：圖像A 中，函數(shù)的最大值小于2，故0＜a＜1，此時(shí)其周期應(yīng)大于2π，所以A 可作為該函數(shù)的圖像；圖像C 中的a=0，此時(shí)f（x）=1，所以C 可作為該函數(shù)的圖像；圖像B 和D 中函數(shù)的最大值均大于2，故a＞1，此時(shí)其周期應(yīng)小于2π，所以B 可作為該函數(shù)的圖像，D 不能作為該函數(shù)的圖像。

綜上可知，函數(shù)y=A sin(ωx+φ)+b 的圖像是由y=sin x 的圖像經(jīng)過平移與伸縮變換而得到的，它體現(xiàn)了由簡單到復(fù)雜、特殊到一般的化歸思想的應(yīng)用。明確函數(shù)y=A sin(ωx+φ)+b 的各個(gè)參數(shù)的幾何意義，即在函數(shù)圖像上的反映，是數(shù)形結(jié)合思想的重要應(yīng)用。求參數(shù)的值，列含有該參數(shù)的方程，是函數(shù)與方程思想的重要應(yīng)用，總之，明確由y=sin x 到y(tǒng)=A sin(ωx+φ)+b 的變換過程是解答此類問題的關(guān)鍵。