初中數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”活動研究—例談問題解決理論下的數(shù)學(xué)建?；顒?/h1>
2019-05-17 08:30:56吳威
名師在線 2019年12期
吳 威
（福建省福州第一中學(xué)，福建福州 350000）
引 言
在本文的數(shù)學(xué)建模活動研究中，問題解決模式為：指導(dǎo)教師引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)中提取信息，與已學(xué)的知識加以聯(lián)系，并進(jìn)行信息加工，從而將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，在自身能力所及的范圍內(nèi)解決此問題，再爭取將數(shù)學(xué)問題的解決應(yīng)用到實(shí)際生活中[1]。
一、問題解決理論下的數(shù)學(xué)建?；顒?/h2>
強(qiáng)調(diào)“問題解決”是目前構(gòu)建數(shù)學(xué)課程改革的重要趨勢。目前的國際數(shù)學(xué)課程改革強(qiáng)調(diào)以下三點(diǎn)：（1）強(qiáng)調(diào)“解決問題和數(shù)學(xué)應(yīng)用”；（2）強(qiáng)調(diào)“綜合活動”，我國《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中強(qiáng)調(diào)，在初中學(xué)段，學(xué)生將進(jìn)一步參與綜合實(shí)踐活動，探討一些具有挑戰(zhàn)性的研究課題，發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的意識和能力；（3）強(qiáng)調(diào)“非常規(guī)問題”。
二、“測量學(xué)校內(nèi)建筑物高度”的建模過程和指導(dǎo)
（一）原始問題
測量建筑物高度是一個常見的數(shù)學(xué)問題。測量的方法可以以幾何為主，也可以結(jié)合三角方法和物理方法，如求線段長、相似三角形、氣壓性質(zhì)、自由落體試驗(yàn)、幾何光學(xué)試驗(yàn)等。
測量的對象：（1）本校旗桿的高度；（2）校外高建筑物（不可及）的高度。
（二）實(shí)施過程
（1）學(xué)生。小組成員經(jīng)過討論，需要確定建模過程中的小組成員分工、測量目標(biāo)、測量方式和測量工具，及時記錄測量數(shù)據(jù)，做好多種方法的設(shè)計(jì)。有能力的小組可以做誤差分析。
（2）教師。指導(dǎo)學(xué)生查閱資料，了解相關(guān)的測量方法和技巧。鼓勵學(xué)生合作完成測量，不局限測量的方式。對學(xué)生提出的新穎的測量方式要及時加以引導(dǎo)和組織討論；在測量過程中，對學(xué)生不合理的方法和做法，要適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)他們發(fā)現(xiàn)問題，讓他們自己尋求解決方法，也可以將其作為反思的例子；在學(xué)生完成測量后，組織各小組進(jìn)行討論交流，讓學(xué)生將測量結(jié)果、測量方式、誤差估計(jì)方式等一一做交流，讓學(xué)生談?wù)勛约旱氖斋@。
（三）測量方法總結(jié)報告
（1）測量本校旗桿的高度。由于學(xué)校的旗桿下有階梯和底座，因此可以將這個模型看作被測建筑物底部不可到達(dá)的模型。
方法一：鑒于旗桿的前方是空曠的操場，選擇測量的位置比較自由，C組利用量角器測量，運(yùn)用三角函數(shù)知識求值（見圖 1）。
①設(shè)旗桿建筑MN底部的階梯高度為m，在旗桿建筑底部N所在的水平面上，選取A，B兩個位置，使A，B，N三點(diǎn)共線；
②在人眼的位置，分別測量A，B兩個位置的仰角，測得仰角的度數(shù)為x，y，兩觀測點(diǎn)間的距離AB=a，人眼高度AA'=b；
圖1
方法二：由于在試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，利用量角器測量仰角得到的數(shù)據(jù)誤差比較大，于是D組同學(xué)將C組的方法做了改進(jìn)，不測量角度，轉(zhuǎn)而利用三角函數(shù)定義，測量三角形兩邊之比（見圖 2）。
①設(shè)旗桿建筑MN底部的階梯高度為m，在旗桿建筑底部N所在的水平面上，選取A，B兩個位置，使A，B，N三點(diǎn)共線，人眼的位置為A'和B'；
②分別在C，D位置豎一根桿子，使人的視線經(jīng)過桿的頂端時，剛好能看見旗桿的頂端M，測量BD，AC間的距離a和b，A，B兩個位置間的距離c，桿子的長度DD'為h，在D位置到旗桿的距離DN為d，設(shè)MB高度為x，人的高度為n；
圖2
如果有平面鏡等工具，也可以利用平面鏡放射等光學(xué)原理來設(shè)計(jì)試驗(yàn)。
2.在校內(nèi)測量校外高建筑物的高度
由于校外的樓比較龐大，學(xué)生在校內(nèi)測量，樓底被遮擋，測量遇到一定困難。
方法一：由于在校內(nèi)有教學(xué)樓（其他建筑物）可以利用，教師指導(dǎo)C組學(xué)生采取與上文測量旗桿相類似的方法，在豎直方向選擇兩個測量點(diǎn)進(jìn)行操作（見圖3）。
①在教學(xué)樓底部A的豎直方向上，再找一個測量點(diǎn)C（在教學(xué)樓的一層）；
②分別測量A'和C兩個位置的仰角，測得仰角的度數(shù)為x和y，測得人眼高度AA'=b，教學(xué)樓一層的高度為a；
圖3
與此方法同理，學(xué)生也可以借助之前試驗(yàn)中求得的教學(xué)樓高為數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。
方法二：考慮到高建筑物在學(xué)校外，無法看到其底部，因此無法準(zhǔn)確判斷點(diǎn)是否與建筑物底部質(zhì)點(diǎn)共線，容易產(chǎn)生誤差。D小組的學(xué)生沒有采用測量旗桿的方法，而是結(jié)合平面幾何的知識，即三角形中線定理給出了一個更具普遍性和應(yīng)用性的方法（見圖4）。
①由于被測的高樓比較龐大，樓底被遮擋難以確定位置。因此，在被測對象前方，也就是學(xué)校內(nèi)，與被測高樓同一水平面上任取共線的三點(diǎn)A'，E'，D'，使E'為A'D'的中點(diǎn)；
②測得AE=ED=a，學(xué)生分別站在A'，E'，D'處測量仰角，測得 ∠BAC=x,∠BEC=y,∠BDC=z，人眼高度為m，
設(shè)AB=b,BE=c,BD=d，BC=x；
③根據(jù)中線定理，可得b2+d2= 2a2+ 2c2，
由三角函數(shù)知識可以得知：b· ta nx=c· ta ny=d· ta nz=x， 由 此可得則被測高樓的高度為
圖4
三、模型結(jié)果和評估
（一）測量本校旗桿的高度
在實(shí)際模擬中，測得a=5m，b==1.5m， 44x= °， 65y°= ，m=0.6m，代入得
由于大多數(shù)學(xué)校的旗桿高度為10米到12米，因此借助測角儀測得的數(shù)據(jù)，用于模擬計(jì)算旗桿高度較為準(zhǔn)確。
但這種設(shè)計(jì)方式，對于較遠(yuǎn)的建筑而言，由于底部看不清位置，無法準(zhǔn)確選定三點(diǎn)共線的位置，估算的數(shù)值容易有較大誤差。
（二）在校內(nèi)測量校外高建筑物的高度
由于校外的樓比較龐大，學(xué)生在校內(nèi)測量，樓底被遮擋，無法看到其底部，因此無法準(zhǔn)確判斷點(diǎn)是否與建筑物底部質(zhì)點(diǎn)共線，容易產(chǎn)生誤差， 操作時采取方法二，即被測高樓的高度為測 得x= 7 0°，y= 6 5°z=62°，m=1.5m，a=10m， 代 入 得
結(jié) 語
在建模過程完成后，學(xué)生需要回顧自己已經(jīng)解決的模型，正視自己正在解決的模型，展望自己能夠解決的模型。在將自己的新想法付諸實(shí)踐時，需要不斷地學(xué)習(xí)、改進(jìn)，使這些觀念適合現(xiàn)實(shí)的問題情境。由此可見，通過數(shù)學(xué)建?；顒?，能夠有效培養(yǎng)學(xué)生的問題意識、知識應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，在活動中使學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)問題的能力。
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一、問題解決理論下的數(shù)學(xué)建?；顒?/h2>
強(qiáng)調(diào)“問題解決”是目前構(gòu)建數(shù)學(xué)課程改革的重要趨勢。目前的國際數(shù)學(xué)課程改革強(qiáng)調(diào)以下三點(diǎn)：（1）強(qiáng)調(diào)“解決問題和數(shù)學(xué)應(yīng)用”；（2）強(qiáng)調(diào)“綜合活動”，我國《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中強(qiáng)調(diào)，在初中學(xué)段，學(xué)生將進(jìn)一步參與綜合實(shí)踐活動，探討一些具有挑戰(zhàn)性的研究課題，發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的意識和能力；（3）強(qiáng)調(diào)“非常規(guī)問題”。
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（一）原始問題
測量建筑物高度是一個常見的數(shù)學(xué)問題。測量的方法可以以幾何為主，也可以結(jié)合三角方法和物理方法，如求線段長、相似三角形、氣壓性質(zhì)、自由落體試驗(yàn)、幾何光學(xué)試驗(yàn)等。
測量的對象：（1）本校旗桿的高度；（2）校外高建筑物（不可及）的高度。
（二）實(shí)施過程
（1）學(xué)生。小組成員經(jīng)過討論，需要確定建模過程中的小組成員分工、測量目標(biāo)、測量方式和測量工具，及時記錄測量數(shù)據(jù)，做好多種方法的設(shè)計(jì)。有能力的小組可以做誤差分析。
（2）教師。指導(dǎo)學(xué)生查閱資料，了解相關(guān)的測量方法和技巧。鼓勵學(xué)生合作完成測量，不局限測量的方式。對學(xué)生提出的新穎的測量方式要及時加以引導(dǎo)和組織討論；在測量過程中，對學(xué)生不合理的方法和做法，要適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)他們發(fā)現(xiàn)問題，讓他們自己尋求解決方法，也可以將其作為反思的例子；在學(xué)生完成測量后，組織各小組進(jìn)行討論交流，讓學(xué)生將測量結(jié)果、測量方式、誤差估計(jì)方式等一一做交流，讓學(xué)生談?wù)勛约旱氖斋@。
（三）測量方法總結(jié)報告
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方法一：鑒于旗桿的前方是空曠的操場，選擇測量的位置比較自由，C組利用量角器測量，運(yùn)用三角函數(shù)知識求值（見圖 1）。
①設(shè)旗桿建筑MN底部的階梯高度為m，在旗桿建筑底部N所在的水平面上，選取A，B兩個位置，使A，B，N三點(diǎn)共線；
②在人眼的位置，分別測量A，B兩個位置的仰角，測得仰角的度數(shù)為x，y，兩觀測點(diǎn)間的距離AB=a，人眼高度AA'=b；
圖1
方法二：由于在試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，利用量角器測量仰角得到的數(shù)據(jù)誤差比較大，于是D組同學(xué)將C組的方法做了改進(jìn)，不測量角度，轉(zhuǎn)而利用三角函數(shù)定義，測量三角形兩邊之比（見圖 2）。
①設(shè)旗桿建筑MN底部的階梯高度為m，在旗桿建筑底部N所在的水平面上，選取A，B兩個位置，使A，B，N三點(diǎn)共線，人眼的位置為A'和B'；
②分別在C，D位置豎一根桿子，使人的視線經(jīng)過桿的頂端時，剛好能看見旗桿的頂端M，測量BD，AC間的距離a和b，A，B兩個位置間的距離c，桿子的長度DD'為h，在D位置到旗桿的距離DN為d，設(shè)MB高度為x，人的高度為n；
圖2
如果有平面鏡等工具，也可以利用平面鏡放射等光學(xué)原理來設(shè)計(jì)試驗(yàn)。
2.在校內(nèi)測量校外高建筑物的高度
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方法一：由于在校內(nèi)有教學(xué)樓（其他建筑物）可以利用，教師指導(dǎo)C組學(xué)生采取與上文測量旗桿相類似的方法，在豎直方向選擇兩個測量點(diǎn)進(jìn)行操作（見圖3）。
①在教學(xué)樓底部A的豎直方向上，再找一個測量點(diǎn)C（在教學(xué)樓的一層）；
②分別測量A'和C兩個位置的仰角，測得仰角的度數(shù)為x和y，測得人眼高度AA'=b，教學(xué)樓一層的高度為a；
圖3
與此方法同理，學(xué)生也可以借助之前試驗(yàn)中求得的教學(xué)樓高為數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。
方法二：考慮到高建筑物在學(xué)校外，無法看到其底部，因此無法準(zhǔn)確判斷點(diǎn)是否與建筑物底部質(zhì)點(diǎn)共線，容易產(chǎn)生誤差。D小組的學(xué)生沒有采用測量旗桿的方法，而是結(jié)合平面幾何的知識，即三角形中線定理給出了一個更具普遍性和應(yīng)用性的方法（見圖4）。
①由于被測的高樓比較龐大，樓底被遮擋難以確定位置。因此，在被測對象前方，也就是學(xué)校內(nèi)，與被測高樓同一水平面上任取共線的三點(diǎn)A'，E'，D'，使E'為A'D'的中點(diǎn)；
②測得AE=ED=a，學(xué)生分別站在A'，E'，D'處測量仰角，測得 ∠BAC=x,∠BEC=y,∠BDC=z，人眼高度為m，
設(shè)AB=b,BE=c,BD=d，BC=x；
③根據(jù)中線定理，可得b2+d2= 2a2+ 2c2，
由三角函數(shù)知識可以得知：b· ta nx=c· ta ny=d· ta nz=x， 由 此可得則被測高樓的高度為
圖4
三、模型結(jié)果和評估
（一）測量本校旗桿的高度
在實(shí)際模擬中，測得a=5m，b==1.5m， 44x= °， 65y°= ，m=0.6m，代入得
由于大多數(shù)學(xué)校的旗桿高度為10米到12米，因此借助測角儀測得的數(shù)據(jù)，用于模擬計(jì)算旗桿高度較為準(zhǔn)確。
但這種設(shè)計(jì)方式，對于較遠(yuǎn)的建筑而言，由于底部看不清位置，無法準(zhǔn)確選定三點(diǎn)共線的位置，估算的數(shù)值容易有較大誤差。
（二）在校內(nèi)測量校外高建筑物的高度
由于校外的樓比較龐大，學(xué)生在校內(nèi)測量，樓底被遮擋，無法看到其底部，因此無法準(zhǔn)確判斷點(diǎn)是否與建筑物底部質(zhì)點(diǎn)共線，容易產(chǎn)生誤差， 操作時采取方法二，即被測高樓的高度為測 得x= 7 0°，y= 6 5°z=62°，m=1.5m，a=10m， 代 入 得
結(jié) 語
在建模過程完成后，學(xué)生需要回顧自己已經(jīng)解決的模型，正視自己正在解決的模型，展望自己能夠解決的模型。在將自己的新想法付諸實(shí)踐時，需要不斷地學(xué)習(xí)、改進(jìn)，使這些觀念適合現(xiàn)實(shí)的問題情境。由此可見，通過數(shù)學(xué)建?；顒?，能夠有效培養(yǎng)學(xué)生的問題意識、知識應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，在活動中使學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)問題的能力。
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